第11章 整式的乘除【章末复习】 课件2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了整式乘除单元的幂的运算、整式乘除、乘法公式、因式分解等核心考点，通过例题解析与分类讨论、数形结合等数学思想的整合，构建起知识间的逻辑联系，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于融入生活情境题如种植基地樱桃树苗计算、航天模型面积求解等，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过平方差公式的几何图形验证发展推理意识，分层设计基础题到综合题适配不同学生，助力教师精准复习，提升知识巩固效果与核心素养。

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第11章 整式的乘除 章末复习 考点1 幂的运算 1. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 2. 已知，， ，则，， 的大小关 系是( ) A. B. C. D. 3.如果，那么 的值为____. 16 √ √ 返回 2 考点2 整式的乘法 4. ［2025重庆沙坪坝区月考］要使 的展 开式中不含的项，则 的值是( ) A. B. 0 C. 2 D. 3 √ 返回 # 第11章 整式的乘除 章末复习（幻灯片分页内容） ## 第1页：复习导入——构建知识网络 - 本章核心：围绕整式的乘法、除法运算，延伸至乘法公式、因式分解，是代数运算的基础。 - 知识脉络：整式的乘除 → 幂的运算（基础）→ 整式乘除法则 → 乘法公式（特例）→ 因式分解（逆运算）。 - 复习目标：熟练掌握幂的运算性质，灵活运用整式乘除法则和乘法公式，能准确进行因式分解，解决相关代数问题。 ## 第2页：核心知识点1——幂的运算性质（基础） ### 1. 同底数幂的乘法 - 法则：\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数） - 关键：底数相同，指数相加（如\(2^3 \times 2^5 = 2^{8}\)） - 易错提醒：底数不同不能直接用，如\(2^3 \times 3^5\)不能合并；不能误将指数相乘（避免\(a^m \cdot a^n = a^{mn}\)） ### 2. 同底数幂的除法 - 法则：\(a^m \div a^n = a^{m-n}\)（\(a eq 0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，\(m > n\)） - 特殊情况：\(a^0 = 1\)（\(a eq 0\)），\(a^{-p} = \frac{1}{a^p}\)（\(a eq 0\)，\(p\)为正整数） - 示例：\(10^7 \div 10^4 = 10^3\)，\(x^5 \div x^5 = 1\)，\(3^{-2} = \frac{1}{9}\) ### 3. 幂的乘方 - 法则：\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)为正整数） - 示例：\((3^2)^4 = 3^8\)，\((x^3)^5 = x^{15}\) ### 4. 积的乘方 - 法则：\((ab)^n = a^n b^n\)（\(n\)为正整数） - 拓展：\((abc)^n = a^n b^n c^n\) - 示例：\((2x)^3 = 8x^3\)，\((-3xy^2)^2 = 9x^2 y^4\) ## 第3页：核心知识点2——整式的乘除法则 ### 1. 整式的乘法 - （1）单项式×单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘，其余字母连同指数不变作为积的因式 - 示例：\(3x^2 y \times (-2xy^3) = [3×(-2)] \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^3) = -6x^3 y^4\) - （2）单项式×多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加（分配律） - 法则：\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\) - 示例：\(2x(3x - 4y) = 6x^2 - 8xy\) - （3）多项式×多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项 - 法则：\((a + b)(m + n) = am + an + bm + bn\) - 示例：\((x + 3)(x - 2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6\) ### 2. 整式的除法 - （1）单项式÷单项式：系数相除，同底数幂分别相除，其余字母连同指数不变作为商的因式（若除不尽则保留在商中） - 示例：\(12x^3 y^2 \div 4x^2 y = 3xy\) - （2）多项式÷单项式：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 - 法则：\((a + b + c) \div m = a \div m + b \div m + c \div m\) - 示例：\((6x^4 - 8x^3 + 2x^2) \div 2x^2 = 3x^2 - 4x + 1\) ## 第4页：核心知识点3——乘法公式（重点应用） ### 1. 平方差公式 - 公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) - 特征：两个数的和乘这两个数的差，等于这两个数的平方差（“同号平方减异号平方”） - 示例：\((2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9\)，\((-m + n)(-m - n) = (-m)^2 - n^2 = m^2 - n^2\) ### 2. 完全平方公式 - 公式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - 特征：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍（“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号跟着中间走”） - 示例：\((x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2\)，\((3a - 5)^2 = 9a^2 - 30a + 25\) ### 3. 公式变形与拓展 - 常见变形：\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (a - b)^2 + 2ab\)；\((a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab\) - 示例：已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，则\(a^2 + b^2 = 5^2 - 2×3 = 19\) ## 第5页：核心知识点4——因式分解（逆运算） ### 1. 因式分解的定义 - 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（与整式乘法是互逆运算） - 示例：\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)（因式分解），\((x + 2)(x - 2) = x^2 - 4\)（整式乘法） ### 2. 常用因式分解方法 - （1）提公因式法：\(ma + mb + mc = m(a + b + c)\)（先找各项公因式，再提取） - 示例：\(6x^2 y - 9xy^2 = 3xy(2x - 3y)\) - （2）公式法： - 平方差公式逆用：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) - 完全平方公式逆用：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)，\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) - 示例：\(4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1)\)，\(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\) ### 3. 因式分解的步骤 - 一提：先提取公因式；二套：再套用公式；三查：检查是否分解彻底（直到不能再分解为止） - 示例：\(2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x + 2)(x - 2)\)（先提公因式，再套平方差公式） ## 第6页：易错点辨析——避开常见误区 1. 幂的运算符号错误：如\((-a)^3 = -a^3\)（非\(a^3\)），\((-a)^2 = a^2\)（非\(-a^2\)） 2. 整式乘法漏乘项：如\((x + 2)(x - 3)\)误算为\(x^2 - 6\)，忽略中间的\(-3x + 2x\)项 3. 完全平方公式漏写“积的2倍”：如\((a + b)^2\)误算为\(a^2 + b^2\)，正确应为\(a^2 + 2ab + b^2\) 4. 因式分解不彻底：如\(x^4 - 1\)只分解为\((x^2 + 1)(x^2 - 1)\)，未继续分解为\((x^2 + 1)(x + 2)(x - 2)\) 5. 混淆因式分解与整式乘法：如将\((x + 1)(x - 1)\)当作因式分解结果（实际是乘法运算），正确因式分解应是\(x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\) ## 第7页：典例精析——分层突破 ### 1. 基础计算类（幂的运算+整式乘除） - 例1：计算下列各式： （1）\(a^3 \cdot a^5 - (a^4)^2\) 解：原式\(= a^8 - a^8 = 0\) （2）\((-2x^2 y)^3 \div (-4xy^2)\) 解：原式\(= -8x^6 y^3 \div (-4xy^2) = 2x^5 y\) ### 2. 公式应用类（乘法公式+变形） - 例2：用乘法公式计算： （1）\((3x - 2y)(3x + 2y)\) 解：原式\(=(3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2\) （2）\((2a + 3b)^2 - (2a - 3b)^2\) 解：原式\(= [4a^2 + 12ab + 9b^2] - [4a^2 - 12ab + 9b^2] = 24ab\) ### 3. 因式分解类（提公因式+公式法） - 例3：分解因式： （1）\(3x^2 - 12xy + 12y^2\) 解：原式\(= 3(x^2 - 4xy + 4y^2) = 3(x - 2y)^2\) （2）\(x^2(x - y) - (x - y)\) 解：原式\(= (x - y)(x^2 - 1) = (x - y)(x + 1)(x - 1)\) ### 4. 综合应用类 - 例4：已知\(x + y = 4\)，\(xy = 2\)，求代数式\(x^2 + y^2 + 3xy\)的值。 解：\(x^2 + y^2 + 3xy = (x + y)^2 + xy = 4^2 + 2 = 18\) ## 第8页：课堂练习——分层巩固 ### 基础题（夯实基础） 1. 计算：①\(a^2 \cdot a^4 = \)______；②\((x^3)^2 \div x^4 = \)______；③\((-3ab^2)^2 = \)______ 2. 用公式计算：\((x - 1)(x + 1) - (x - 2)^2\) 3. 分解因式：①\(9x^2 - 6x + 1 = \)______；②\(2a^3 - 8a = \)______ ### 提高题（能力提升） 1. 已知\(2^m = 3\)，\(2^n = 5\)，求\(2^{m + n}\)和\(2^{3m}\)的值。 2. 分解因式：\((x^2 + 4)^2 - 16x^2\) 3. 先化简，再求值：\((2x + y)(2x - y) - (x + 2y)^2 + 5y^2\)，其中\(x = 1\)，\(y = -2\) ## 第9页：课堂小结与课后作业 ### 课堂小结 1. 一个核心：整式乘除的本质是幂的运算，乘法公式是多项式乘法的特例，因式分解是整式乘法的逆运算。 2. 两大重点：熟练运用幂的运算性质、乘法公式；掌握因式分解的“一提二套三查”步骤。 3. 三个关键：注意运算符号、避免漏乘漏项、确保因式分解彻底。 ### 课后作业 1. 计算：①\((-x)^3 \cdot x^2 + (-x^4)\)；②\((2x + 1)(x - 3) - (x + 2)^2\) 2. 分解因式：①\(x^2 y - 4y^3\)；②\((a + b)^2 - 12(a + b) + 36\) 3. 已知\(a - b = 3\)，\(ab = -2\)，求\(a^2 + b^2\)和\((a + b)^2\)的值。 4. 思考：如何分解因式\(x^2 - 5x + 6\)？（预习十字相乘法） 3 5. 若为整数，则代数式 的值一定可以 ( ) A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被9整除 【点拨】，为整数， 该代数式的 值一定可以被3整除. √ 返回 4 6.现有一长方形地块，长比宽多20米.若将长增加10米，宽缩 短5米，所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原 长方形地块的长为____米. 50 【点拨】设原长方形地块的长为米，则宽为 米，则 变化后的长为米，宽为 米，由题意得， ，解得 .故原长方形地块 的长为50米. 返回 5 7. 某种植基地有大、小两块长方形试验田，大 长方形试验田每排种植 棵樱桃树苗，种植了 排，小长方形试验田每排种植 棵樱桃树苗， 种植了排，其中 . 6 （1）大长方形试验田比小长方形试验田多种植多少棵樱桃树苗？ 【解】由题意得， 棵，即大长方形试验田比小长方 形试验田多种植 棵樱桃树苗. 7 （2）当， 时，两块试验田一共种植多少棵樱桃树苗？ 棵， 当， 时， （棵）， 即两块试验田一共种植268棵樱桃树苗. 返回 8 考点3 整式的除法 8. 已知，那么， 的取值依次为 ( ) A. 2，3 B. 4，3 C. 1，3 D. 4，1 √ 返回 9 9. 有两块总面积相等的场地， 左边场地为正方形，由四部分 构成，各部分的面积数据如图 A. B. 1 C. D. 所示.右边场地为长方形，长为 ，则宽为( ) √ 返回 10.火星的体积约为 立方米，地球的体积约为 立方米，地球体积约是火星体积的____倍 （保留一位小数）. 6.6 返回 11 11.先化简，再求值： ， 其中， . 12 【解】原式 . 当， 时，原式 . 返回 考点4 乘法公式 12. 的计算结果为( ) A. B. C. D. 13. 已知 ，那么代数 式 的值是( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 √ √ 返回 14 14.乘法公式的探究及应用. （1）如图①，可以求出阴影 部分的面积是________ （写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方 形，它的宽是______，长是______，面积是______________； （写成多项式乘法的形式） （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 _______________________；（用式子表达） 15 （4）运用你所得到的公式， 计算下列各题： ① ； 【解】原式 . ② . 原式 . 返回 16 考点5 因式分解 15. 下列因式分解最后结果正确的是( ) A. B. C. D. √ 返回 17 16. ［2025淄博期中］已知， ，则整式 的值为( ) A. B. C. D. 3 【点拨】，， . . √ 返回 18 17. 已知，， 是三个连续的正整数， ，，那么 _______. 1 156 【点拨】 ， ，，是三个连续正整数，， ， ，， . 返回 19 18. 分解因式： （1） ； 【解】 . 20 （2） . . 返回 21 思想1 分类讨论思想 19.若，则 _______. 3或 【点拨】， ， ， ， ，或.当时， ；当 时，，即或 . 返回 22 20.若，均为正整数，且，则 的值是 ______. 4或5 【点拨】 ， ，即， 均为正整数， 或 或5. 返回 23 思想2 数形结合思想 21.著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数 形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直 观，形少数时难入微”.如图是由四个长为 ，宽为 的长方形拼摆而成的正方形，其 中 .根据图形写出一个正确的等 式，可以表示为_________________________. 返回 24 思想3 整体思想 22.［2025南阳期末］已知 ，求代数式 的值. 【解】，， ， ， 原式 . 返回 25 ［时间：60分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题4分，共32分） 1. ［2024深圳］下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 2. 已知，，则 的值为( ) A. 2 B. C. 0 D. √ √ 返回 26 3. 某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计 进行优化.已知芯片电路的一种原始布线规律可以表示为 .现在需要将其按照一定的规则进行重新布局， 相当于将其除以 ，则新的电路布线规律可以表示为( ) A. B. C. D. 4. 若，则不等式 的解集是 ( ) A. B. C. D. √ √ 返回 27 5. 神舟十九号载人飞船成 功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱. 李华在手工课上制作了一个火箭模型，如图 是其中一重要零件及各边的长度，则图中零 件的面积为( ) A. B. C. D. √ 返回 28 6. 我们定义：一个整式能表示成 ，是整式 的形式，则称这个整式为“完全式”.例如： 因为，是整式 ，所 以为“完全式”.若 ，是整式，为常数为“完全式”，则 的值为( ) A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 √ 29 【点拨】 ，是整式，为常数为“完全式”， ，解得 . 返回 30 7. 若，其中，， 均为正整数，则 的最大值与最小值的差是( ) A. 1 768 B. 455 C. 252 D. 760 【点拨】， 此时 取得最小值 为， 取 得最大值为 ， 的最大值与最小值的差是760. √ 返回 31 8. 如图，正方形和长方形 的 面积相等，且四边形 也是正方形， 欧几里得在《几何原本》中利用该图得 到了：设 ， A. 6 B. 8 C. 10 D. 20 .若 ，则图中阴影部分的周长是( ) √ 32 【点拨】 四边形，四边形 为正方形， ， ， . ， ， ， ， 33 正方形和长方形 的面积相等， ，整理得 ， ， ， ， 阴影部分的周长为 . 返回 二、填空题（每题3分，共12分） 9.［2025南京鼓楼区模拟］若 ，则代数式 的值为___. 10.若的积中不含 的二次项和一次项， 则 的值为____. 3 12 返回 35 11. 设， 是实数，定义关于“*”的一种运算如 下：，则下列结论： ， 则或；②不存在实数， ，满足 ；； ， 则 .其中正确的是________. ①③④ 36 【点拨】，或 . 故①正确； ， ， ， ， 存在实数，，满足 .故②错 误; 37 ，,.故③正确;， . .故④正确. 返回 12. 计算结果的个 位数字是___. 6 【点拨】原式 ，，，，， ， 个位数字按照2，4，8，6依次循环.， 其 个位数字为6. 返回 39 三、解答题（共56分） 13.（8分）因式分解： （1） ； 【解】 . （2） . . 返回 40 14.（10分） （1）计算： . 【解】 . 41 （2）先化简，再求值： ，其中 . 42 原式 ， ，， ， ， ， 原式 . 返回 15.（12分） 某公司门前一块长为 ， 宽为 的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的 甲、乙两个正方形区域是建筑物，不需要铺地砖.两个正方形 区域的边长均为 . 44 （1）求铺设地砖的面积是多少平方米. 【解】铺设地砖的面积为 . 45 （2）当， 时，需要铺地砖的面积是多少？ 当， 时， . 答：当，时，需要铺地砖的面积是 . 返回 46 谢谢观看！ $