9.2 独立性检验课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦统计中的独立性检验，核心涵盖分类变量、2×2列联表及χ²统计量的应用。课堂导入从实际调查案例切入，先建立列联表概念，再推导χ²公式，衔接假设检验步骤，形成“概念—公式—应用”的学习支架。 其亮点是以真实情境案例（如学生体检、实验鼠体征研究）为载体，通过“自主诊断—题型分析—跟踪训练”环节，培养学生用数学眼光发现数据关联，用数学思维进行逻辑推理和统计计算，用数学语言规范表达结论。题型覆盖基础到综合应用，帮助学生提升数据分析能力，教师可直接用于课堂教学和分层训练。

第9章　统计 9.2　独立性检验 【课标要求】 1.掌握分类变量和列联表的概念,并会依据列联表判断两个分类变量是否独立. 2.能利用2×2列联表进行独立性检验,提升利用图表进行数据分析的能力. 3.理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　列联表 一般地,对于两个分类变量Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ有两类取值,即类A和类B(如吸烟与不吸烟);Ⅱ也有两类取值,即类1和类2(如患呼吸道疾病和未患呼吸道疾病).我们得到如下列联表所示的抽样数据: Ⅰ Ⅱ 合计 类1 类2 类A a b a+b 类B c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 上述表格称为2×2列联表. 名师点睛 列联表是两个或两个以上分类变量的汇总统计表,现阶段我们仅研究两个分类变量的列联表,并且每个分类变量只取两个值,这样的列联表称为2×2列联表. 知识点二　独立性检验 1.定义 用χ2统计量研究两个变量X和Y是否有关的方法称为独立性检验. 2.χ2统计量 χ2=. 3.独立性检验的步骤 要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”,可按下面的步骤进行: (1)提出假设H0:Ⅰ与Ⅱ没有关系; (2)根据2×2列联表及χ2公式,计算χ2的值; (3)根据临界值,做出判断. 其中临界值如下表所示: P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(χ2≥x0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 例如: (1)若χ2>10.828,则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”; (2)若χ2>6.635,则有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”; (3)若χ2>2.706,则有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”; (4)若χ2≤2.706,则认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”,但也不能得出结论“H0成立”,即Ⅰ与Ⅱ没有关系. 名师点睛 独立性检验的基本思想类似于反证法,我们可以利用独立性检验来考察两个对象是否有关,并且能较精确地给出这种判断的把握程度. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)2×2列联表是分类变量的一种统计形式.(　　) (2)必须基于成对样本数据推断两个分类变量之间是否有关联.(　　) (3)利用2×2列联表的数据可以确定与两个分类变量有关的概率和条件概率.(　　) (4)χ2独立性检验主要用于分析两个定类变量之间是否存在相关性.(　　) (5)χ2独立性检验是通过样本数据来估计总体,其本质是一种统计关系.(　) √ √ √ √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】分类变量与2×2列联表 例 1 某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查,统计数据如表所示: 名称 每年体检 每年未体检 合计 老年人 a 7 c 年轻人 6 b d 合计 e f 50 已知抽取的老年人、年轻人各25名,则下列关于列联表数据说法错误的 是(　　) A.a=18 B.b=19 C.c+d=50 D.f-e=-2 D 解析 因为a+7=c=25,6+b=d=25,a+6=e,7+b=f,e+f=50,c+d=50,所以a=18,b=19,e=24,f=26,f-e=2.故选D. 规律方法　2×2列联表是分类变量的一种统计形式.可以直接利用2×2列联表中的数据进行计算分析,也可用定量的方式判断两分类变量是否有关联及关联强弱. 跟踪训练1假设有两个分类变量X与Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 10 18 28 x2 m 26 m+26 合计 m+10 44 m+54 则当X与Y的关系最弱时,整数m=(　　) A.8 B.9 C.14 D.19 C 解析 在两个分类变量的列联表中,当|ad-bc|的值越小时,认为两个分类变量有关的可能性越小. 令|ad-bc|=0,得10×26=18m,解得m≈14.4,又m为整数,所以当m=14时,X与Y的关系最弱.故选C. 【题型二】对独立性检验的理解 例 2 在吸烟与患肺癌是否相关的研究中,下列说法正确的是(　　) A.若χ2>6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关,则在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌 B.由独立性检验可知,当有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关时,若某人吸烟,则他有99%的可能患有肺癌 C.通过计算得到χ2>3.841,是指有95%的把握认为吸烟与患肺癌有关联 D.以上三种说法都不正确 C 解析 若χ2>6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关,而不是在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌,故A不正确;99%是指吸烟与患肺癌有关的概率,而不是吸烟的人有99%的可能患有肺癌,故B不正确;C显然正确,D不正确. 规律方法　χ2≥x0的实质就是两个变量相关的概率为1-P(χ2≥x0). 跟踪训练2(多选题)给出下列实际问题,其中用独立性检验可以解决的问题有(　　) A.两种药物治疗同一种病是否有区别 B.吸烟者得肺病的概率 C.吸烟是否与性别有关系 D.网吧与青少年的犯罪是否有关系 ACD 解析 独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法,而选项B是概率问题,故选ACD. 【题型三】独立性检验的应用 例 3 某校对学生课外活动进行调查,将结果整理成下表,用你所学过的知识进行分析,能否有99.5%的把握认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”? 单位:人　　　 　 性别 课外活动 合计 体育 文娱 男 21 23 44 女 6 29 35 合计 27 52 79 解 提出假设H0:喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系.∵a=21,b=23,c=6,d=29,n=79, ∴χ2= =≈8.106>7.879. ∵当H0成立时,χ2≥7.879的概率约为0.005,∴我们有99.5%的把握认为,喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关系. 规律方法　解决独立性检验问题的基本步骤 (1)根据已知的数据建立列联表; (2)求χ2的值; (3)判断可能性:与临界值比较,得出事件有关的可能性大小. 跟踪训练3地球上生命体内都存在生物钟.研究表明,生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因,简称PER.PER分为PERI(导致早起倾向)和PERo(导致晚睡倾向).某研究小组为研究光照对动物的影响,对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中,出现PERI突变的Sd指标. 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 Sd指标 9.95 9.99 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 Sd指标 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 长期试验发现,若实验鼠Sd指标超过10.00,则认定其体征状况严重. 若编号1~8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组,编号9~16的为非GRPE蛋白干预对照组,试依据小概率值α=0.1的独立性检验,分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关? 附:χ2=(其中n=a+b+c+d). P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 x0 2.706 3.841 6.635 解 根据所给数据,得到2×2列联表: 体征状况 GPRE蛋白干预 非GPRE蛋白干预 合计 体征状况严重 2 5 7 体征状况不严重 6 3 9 合计 8 8 16 提出假设H0:实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系.利用列联表中的数据得χ2=≈2.286<2.706=x0.1, 根据小概率值α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可认为H0成立,即认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关. 【题型四】独立性检验与概率统计的综合应用 例 4 某学校共有1 000名学生,其中男生400名,为了解该校学生在学校的月消费情况,采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查,月消费金额分布在450~950元之间.根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示,将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”. (1)求a的值,并估计该校学生月消费金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)若样本中属于“高消费群”的女生有20名,完成下面2×2列联表.根据这组数据,能否认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关? 性别 消费情况 合计 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 男       女       合计       (参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d) P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解 (1)由题意知100×(0.001 5+a+0.002 5+0.001 5+0.001)=1,解得a=0.003 5,样本平均数=500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10=670. (2)由题意可知,样本中男生40人,女生60人.样本中属于“高消费群”的共有25人,其中女生20人,得出以下2×2列联表: 单位:人 　　　 性别 消费情况 合计 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 男 5 35 40 女 20 40 60 合计 25 75 100 提出假设H0:认为该校学生属于“高消费群”与“性别”无关. 根据列联表中的数据,可以求得 χ2=≈5.6>5.024. 故有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关. 规律方法　通过处理数据、提取信息、构建独立性检验模型、进行推断、获得结论,提升了学生获取有价值信息并能进行定量分析的意识和能力.   跟踪训练4软笔书法又称中国书法,是我国的国粹之一,琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术,软笔书法不仅能够陶冶情操,培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力,拓展孩子的思维与手的灵活性,对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数(每人只学习一种书体),得到相关数据统计表如下: 书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书 人数 24 16 10 20 10 (1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况,得到下表,其中a≤60. 性别 认真完成 不认真完成 合计 男生   a 女生       合计 60     若根据小概率值α=0.10的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关,求该培训机构学习软笔书法的女生的人数. (2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,记4人中学习行书的人数为X,求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据:χ2=,n=a+b+c+d. P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 x0 2.706 3.841 6.635 解 (1)根据题意,完成列联表如下: 性别 认真完成 不认真完成 合计 男生 a 女生 60- 20- 80-a 合计 60 20 80 由题意可得χ2=≥2.706,得a>57.38. 易知a为5的倍数,且a≤60,所以a=60,所以该培训机构学习软笔书法的女生有80-60=20(人). (2)因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24∶16=3∶2, 所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中,学习楷书的有10×=6(人),学习行书的有10×=4(人), 所以X的所有可能取值为0,1,2,3,4, P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=, P(X=4)=. X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×. X的分布列为 $