9.2 独立性检验-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“独立性检验”核心内容，涵盖2×2列联表统计意义及独立性检验方法，通过疫苗接种与感染情况的实例情境导入，引导学生从实际问题抽象出列联表，再逐步学习χ²统计量计算与推断步骤，构建“问题—概念—方法”的学习支架。 其亮点在于以真实情境（如疫苗效果、学生性别与爱好）为载体，通过数学建模将实际问题转化为统计模型，结合数据分析训练χ²值计算与临界值判断，培养学生用数学思维分析关联问题的能力。典例解析与分层训练结合，助力学生掌握通性通法，教师可直接用于课堂教学，提升学生解决实际问题的能力和教学效率。

9.2　独立性检验 1 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义（数学建模）. 2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用（数据分析）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　某地区发现，接种疫苗人群与未接种人群的某种疾病感染情况存在差 异，医学专家需借助科学方法验证疫苗对降低感染风险的作用，经过统计 得到如下列联表数据： 感染情况 接种疫苗 未接种疫苗 合计 感染 32 85 117 未感染 468 335 803 合计 500 420 920 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【问题】　（1）“观察数据，接种疫苗人群的感染比例（32/500）明显低 于未接种人群（85/420），能否直接认为接种疫苗降低了感染风险？” （2）这种差异可能是抽样偶然导致的吗？如何用数学方法严谨验证两者的 关联性？” 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　2×2列联表 一般地，对于两个分类变量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两 类取值，即类1和类2. 我们得到如下列联表所示的抽样数据： Ⅱ 类1 类2 合计 Ⅰ 类A a b a＋b 类B c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 上述表格称为2×2列联表. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关联，则应满足 ≈ ，即ad－bc≈0.因此，｜ad－bc｜越小，说明两个分类变量之间关 联性越弱；｜ad－bc｜越大，说明两个分类变量之间关联性越强. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　独立性检验 1. 定义：用χ2统计量研究两个分类变量Ⅰ和Ⅱ是否有关的方法称为独立 性检验. 统计量χ2的计算公式： χ2＝ . 2. 步骤：要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行： （1）提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系； （2）根据2×2列联表与公式计算χ2的值； （3）根据临界值，做出判断. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 临界值如表所示： P（χ2≥x0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P（χ2≥x0） 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 例如： （1）若χ2＞10.828，则有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”,否则没有充分的证据推断H0 不成立,可以认为“Ⅰ与Ⅱ没有关系”； （2）若χ2＞6.635，则有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系” ,否则没有充分的证据推断H0 不成立,可以认为“Ⅰ与Ⅱ没有关系”； （3）若χ2＞3.841，则有95%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系” ,否则没有充分的证据推断H0 不成立,可以认为“Ⅰ与Ⅱ没有关系”。 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列实际问题用独立性检验可以解决的问题有（　　） A. 一种药物对某种病的治愈率 B. 两种药物治疗同一种病是否有区别 C. 吸烟人群是否与性别有关系 D. 网吧与青少年的犯罪是否有关系 解析： 　独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，因 此可以解决的问题有B、C、D. √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临 界值表来确定推断“X和Y有关系”的可信度，如果χ2＞6.635，那么就推 断“X和Y有关系”的把握约为（　　） A. 0.1% B. 1% C. 99% D. 99.9% 解析：因为P（χ2＞6.635）≈0.01，故有99%的把握认为“X和Y有关系”. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式的对 比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如2×2列联 表所示（单位：人），则其中m＝ ，n＝ ⁠. 80分及80分以上 80分以下 合计 试验班 32 18 50 对照班 24 m 50 合计 56 44 n 解析：由题意得 解得 26 100 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜2×2列联表 【例1】　在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有 色盲，试作出性别与色盲的2×2列联表. 解：根据题目所给的数据作出如下的2×2列联表： 患色盲 不患色盲 合计 男 38 442 480 女 6 514 520 合计 44 956 1 000 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　2×2列联表是对两个分类变量的汇总统计表，列表时关键是对涉及的 变量分清类别. 制作2×2列联表的基本步骤： 第一步：合理选取两个变量，且每一个变量都可以取两个值； 第二步：抽取样本，整理数据； 第三步：画出2×2列联表. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 下面是一个2×2列联表，则表中a，b的值分别为（　　） y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合计 b 46 100 A. 94，96 B. 52，50 C. 52，54 D. 54，52 解析： 　由a＋21＝73，得a＝52，由b＋46＝100，得b＝54.故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据： 种子经过处理 种子未处理 合计 得病 32 101 133 不得病 192 213 405 合计 224 314 538 根据以上数据计算比例关系，可知（　　） A. 种子是否经过处理决定是否生病 B. 种子是否经过处理跟是否生病无关 C. 种子是否经过处理跟是否生病有关 D. 以上都是错误的 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由列联表中的数据可知，种子经过处理，得病的比例为 ，明 显比未经过处理得病的比例 低.所以可知种子是否经过处理跟是否生病 有关. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜独立性检验 角度1　有关“相关的检验” 【例2】　（链接教科书第177页例1）为了了解某班学生喜爱打篮球是否与 性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表： 喜爱 不喜爱 合计 男 5 女 5 合计 45 已知在45人中随机抽取1人，是男同学的概率为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）请将上面的2×2列联表补充完整； 解： 依题意，男同学有45× ＝25（人）， 女同学有45－25＝20（人）. 补全2×2列联表如下： 喜爱 不喜爱 合计 男 20 5 25 女 5 15 20 合计 25 20 45 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）喜爱打篮球是否与性别有关？ 解： 提出假设H0：喜爱打篮球与性别无关. 根据表中数据，计算χ2＝ ＝ ≈13.613， 因为当H0成立时，P（χ2≥10.828）≈0.001，所以我们有99.9%的把握认 为，喜爱打篮球与性别有关系. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 角度2　有关“无关的检验” 【例3】　（链接教科书第178页例2）某调查机构对196个接受心脏搭桥手 术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他 们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示： 又发作过心脏病 未发作心脏病 合计 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术 29 167 196 合计 68 324 392 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别. 解：提出假设H0：这两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别，根据 列联表中数据可求得， χ2＝ ≈1.779＜2.706， 所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能做出这两种手术对病 人又发作心脏病的影响有差别的结论. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 用独立性检验求解实际问题的基本步骤 （1）认真读题，根据相关数据列出2×2列联表； （2）提出假设H0：X和Y相互独立； （3）计算：将2×2列联表中的数据代入公式求出χ2的值； （4）根据临界值，做出判断. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 〔多选〕为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实 验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的 数据计算得χ2≈9.616.则下列结论正确的是（　　） A. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物有效” B. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效” C. 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效” D. 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物无效” 解析： 　因为χ2≈9.616，所以7.879＜χ2＜10.828，所以根据小概率值α ＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”；根据小概率值α＝0.005 的独立性检验，分析认为“药物有效”.故选B、C. √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 某社区为推进智慧社区建设，给居民提供了一款手机APP. 为了解居民 对该APP的满意度，从管辖范围内的某小区居民中随机抽查了200人，其中 男女各占一半，得到如下表格. 使用APP 不使用APP 合计 女性 60 男性 70 合计 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）请补全题表，并判断是否有99.9%的把握认为居民是否使用该APP与 性别有关； 解： 补全表格如下： 使用APP 不使用APP 合计 女性 60 40 100 男性 30 70 100 合计 90 110 200 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 提出假设H0：居民是否使用该APP与性别没有关系. 因为χ2＝ ＝ ≈18.182， 因为当H0成立时，χ2≥10.828的概率为0.001， 所以我们有99.9%的把握认为居民是否使用该APP与性别有关. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）从以上使用该APP的居民中按性别进行分层抽样抽取6人，再从这6人 中随机抽取3人了解居民对该APP的满意度，记抽取的3人中男性用户的人 数为X，求X的分布列与数学期望. 附：χ2＝ （其中n＝a＋b＋c＋d）. α＝P（χ2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：从使用该APP的居民中按性别进行分层抽样抽取的6人中，女性 有4人，男性有2人， 所以X可能取0，1，2. 则P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P ​ ​ ​ 所以E（X）＝ ＝1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 下列不是分类变量的是（　　） A. 血型 B. 性别 C. 国籍 D. 身高 解析： 　身高的取值为实数，其大小与运算都有实际含义，不能区别不 同的现象或性质，所以不是分类变量. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，2×2列联表中a，b的值分别为（　　） Y1 Y2 合计 X1 c a e X2 23 d 48 合计 b 78 121 A. 54，43 B. 53，43 C. 53，42 D. 54，42 解析： 　由2×2列联表，可得b＋78＝121，则b＝43，又由 解得a＝53. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的 把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是（　　） A. χ2＞6.635 B. χ2＜6.635 C. χ2＞7.879 D. χ2＜7.879 解析： 　有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为 0.5%，对应的临界值为7.879，由独立性检验的思想可知应为χ2＞7.879. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 根据下表得χ2≈ .（结果保留3位小数） 不看电视 看电视 男 37 85 女 35 143 4.514 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：完善列联表： 不看电视 看电视 合计 男 37 85 122 女 35 143 178 合计 72 228 300 计算χ2＝ ≈4.514. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由公式χ2＝ （其中n＝a＋b＋c＋d）计算出χ2的值，并由 此得出结论：有99%的把握认为学生是否喜欢跳舞与性别有关，则χ2可以 为（　　） A. 3.565 B. 4.204 C. 5.233 D. 6.842 解析： 　因为有99%的把握认为学生是否喜欢跳舞与性别有关，所以χ2＞ 6.635，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下 为非优秀，得到2×2列联表如下： 优秀 非优秀 合计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正确 的是（　　） A. 列联表中c的值为30，b的值为35 B. 列联表中c的值为15，b的值为50 C. 列联表中c的值为20，b的值为50 D. 由列联表可得出成绩与班级有关系 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意得 ＝ ，解得c＝20，∵10＋c＋b＋30＝105，∴b ＝45.又 ＝ ， ＝ ，∵ ＜ ，∴成绩与班级有关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 某学校学生服务中心为了了解在校学生对学校后勤工作的满意度， 随机调查了200名学生，其中男女生比例为3∶2，并对这些学生进行了 问卷调查，学生对后勤工作给出了满意或不满意的总体评价，得到如 下2×2列联表： 满意 不满意 合计 男生 104 女生 24 合计 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 A. 2×2列联表中男生不满意的人数为18 B. 2×2列联表中女生满意的人数为54 C. 没有99.5%的把握认为“男生与女生对后勤工作的评价有差异” D. 有99.5%的把握认为“男生与女生对后勤工作的评价有差异” 下列说法中正确的是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意得男生共120人，女生共80人，补全2×2列联表： 满意 不满意 合计 男生 104 16 120 女生 56 24 80 合计 160 40 200 提出假设H0：男生与女生对后勤工作的评价没有差异.由列联表中的数据 可以求得χ2＝ ≈8.333＞7.879，所以有99.5%的把握 认为，男生与女生对后勤工作的评价有差异. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分 别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若有97.5%的把握认为X与Y有关系，则 c＝（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　列2×2列联表如下： y1 y2 合计 x1 10 21 31 x2 c d 35 合计 10＋c 21＋d 66 故χ2＝ ≥5.024.把选项A、B、C、D代入验证可 知选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕有两个分类变量X，Y，其一组的调查数据如表所示， Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中a，15－a均为大于5的整数，若有95%的把握认为X与Y有关系，则a 的值可以为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由列联表中数据，得χ2＝ ＝ ＞3.841，由a，15－a均为大于5的整数，得5＜a＜10， a∈Z，解得a＝8或a＝9，A、B错误，C、D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量 的电离辐射照射小白鼠.照射14天后的结果如下表所示： 死亡 存活 合计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 合计 20 30 50 进行独立性检验的原假设是 ⁠ ，χ2≈ .（结果保留两位小数） 解析：提出假设H0：小白鼠的存活情况与电离辐射的剂量无关，由列联表 中的数据得χ2＝ ≈5.33. 小白鼠的存活情况与电离辐射的剂量无 关 5.33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关 系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据P （χ2≥x0）＝0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无 关；若依据P（χ2≥x0）＝0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支 持该活动有关，则χ2可取的整数值为 ⁠. 附表： P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析：由题知χ2∈[5.024，6.635），故χ2可取的整数值为6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来 的 倍. 解析：由公式χ2＝ 中所有值变为原来的2倍，得 （χ2）'＝ ＝ ＝2· ＝2χ2，故χ2也变为原来的2倍. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 〔多选〕某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和 性别是否有关联，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女 生人数相同，男生喜欢攀岩的占80%，女生不喜欢攀岩的占70%，则（ ） A. 参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多 B. 参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多 C. 若参与调查的男、女生人数均为100，则依据独立性检验的思想认为喜 欢攀岩和性别有关联 D. 无论参与调查的男、女生人数为多少，都可以依据独立性检验的思想认 为喜欢攀岩和性别有关联 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 由题意设参与调查的男、女生人数均为m，则得到如下2×2列联表： 喜欢攀岩 不喜欢攀岩 合计 男生 0.8m 0.2m m 女生 0.3m 0.7m m 合计 1.1m 0.9m 2m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参 与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，故A正确，B错 误；由列联表中的数据，计算得到χ2＝ ＝ ，当m ＝100时，χ2＝ ＝ ≈50.505＞10.828，所以当参与调查的男、女生 人数均为100时，依据独立性检验，我们有99.9%的把握认为，喜欢攀岩和 性别有关联，故C正确，D错误，故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否 有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的 ，男生追星人 数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若有95%的把握认为 是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有 人. 参考数据及公式如下：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.05 0.01 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下： 追星 不追星 合计 男生 ​ ​ x 女生 ​ ​ ​ 合计 ​ x ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则χ2＞3.841，由χ2＝ ＝ ＞3.841，解得x＞10.24，因为 ， ， 均为整数，所 以若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有12人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 某校对有心理障碍的学生进行测试得到如下列联表： 焦虑 说谎 懒惰 合计 女生 5 10 15 30 男生 20 10 50 80 合计 25 20 65 110 试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量 ， ， . 由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表： 焦虑 不焦虑 合计 女生 5 25 30 男生 20 60 80 合计 25 85 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 原假设为H0：焦虑与性别无关. 可得 ＝ ≈0.863＜2.706， 所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能做出焦虑与性别有关 的结论. 同理列出说谎是否与性别有关的2×2列联表： 说谎 不说谎 合计 女生 10 20 30 男生 10 70 80 合计 20 90 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 ＝ ≈6.366＞3.841， 所以我们有95%的把握认为，说谎与性别有关. 同理得 ＝ ≈1.410＜2.706. 所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能做出懒惰与性别有关 的结论. 综上，三种心理障碍中说谎与性别关系最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯.某研究 小组为研究转笔与学习成绩的关系，从全市若干所学校中随机抽取100 名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人.经调查，得到这100 名学生近期考试的分数的频率分布直方图如图.记分数在600分以上的 为优秀，其余为合格. （1）请完成下列2×2列联表.并判断能否有99%的把握认为成绩是否优秀 与上课是否转笔有关； 上课转笔 上课不转笔 合计 合格 25 优秀 10 合计 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45人，补全2×2列联表如下所示， 上课转笔 上课不转笔 合计 合格 25 45 70 优秀 20 10 30 合计 45 55 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 提出假设H0：成绩是否优秀与上课是否转笔没有关系. χ2＝ ＝ ≈8.129. 因为当H0成立时，P（χ2≥6.635）≈0.01，这里的χ2≈8.129＞6.635， 所以我们有99%的把握认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机 抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和 数学期望； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 根据频率分布直方图知，大于600分 的频率为（0.012 5＋0.002 5）×20＝0.3， 小于600分的频率为1－0.3＝0.7， 故由分层抽样知，抽取的10人中，合格有 10×0.7＝7人，优秀的有10×0.3＝3人， 则从这10人中随机抽取5人，合格人数X服从 超几何分布， 由题意知，X的取值范围为{2，3，4，5}， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 故P（X＝2）＝ ＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝4） ＝ ＝ ，P（X＝5）＝ ＝ ， 故X的分布列为 X 2 3 4 5 P ​ ​ ​ ​ E（X）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查， 记20人中上课转笔的人数为Y，求Y的期望和方差. 附：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 由题意随机抽取1人则其上课转笔的 概率为 ＝0.45， 故根据题意Y～B（20，0.45）， 所以E（Y）＝20×0.45＝9，D（Y）＝ 20×0.45×（1－0.45）＝4.95. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $