8.2.4 超几何分布 课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦超几何分布，系统呈现定义、概率公式及均值，通过次品抽取、三好学生选取等实例导入，衔接概率基础，为统计应用搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合“自主诊断”辨析概念，通过志愿者、电子元件抽样等实例培养数学眼光，对比超几何与二项分布发展数学思维，规律方法总结助学生用数学语言表达。学生提升应用能力，教师获得系统教学资源。

第8章　概率 8.2.4　超几何分布 【课标要求】 1.通过具体实例,了解超几何分布及其均值. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点　超几何分布 若一个随机变量X的分布列为P(X=r)=,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,r=m,m+1,m+2,…,l,m=max{0,n-N+M},l=min{n,M},则称X服从超几何分布,记为X~H(n,M,N),并将P(X=r)=记为H(r;n,M,N). 当X~H(n,M,N)时,E(X)=kPk=,其中l=min{n,M}. 名师点睛 1.一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X~H(n,M,N). 2.超几何分布与二项分布都可以描述随机抽取的n件产品数的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以近似地看成二项分布. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)超几何分布的考察对象至少可以分成两类.(　　) (2)超几何分布的本质是不放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的.(　　) (3)超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要.(　　) × √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】超几何分布的概率 例 1 [链接教材例1](1)设10件同类型的零件中有2件是不合格品,从其中任取3件,以X表示取出的3件中的不合格的件数,则P(X=1)=(　　) A. B. C. D. D 解析 根据超几何分布的概率公式得P(X=1)=.故选D. (2)某学习小组共12人,其中有5名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加竞赛,用ξ表示这5人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于的 是(　　) A.P(ξ=1) B.P(ξ≤1) C.P(ξ≥1) D.P(ξ≤2) B 解析 由题意可得P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=, ∴P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=.故选B. 规律方法　求超几何分布的分布列的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值. (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率. 跟踪训练1(1)某党支部有10名党员,7男3女,从中选取2人做汇报演出,若X表示选中的女党员数,则P(X<2)=(　　) A. B. C. D.1 C 解析 由题意,知X服从超几何分布,X的可能取值为0,1,2,故P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,于是P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=.故选C. (2)在箱子中有10个小球,其中有4个红球,6个白球.从这10个球中任取3个,记X表示白球的个数,则P(X=2)=　　　　　.  　 解析 由已知得X=2,表示2个白球,1个红球, 故P(X=2)=,故答案为. 【题型二】超几何分布的均值与方差 例 2 [链接教材例2]某地盛行糕点有n种,该地的糕点店从中准备了m(m<n)种糕点供顾客选购.已知某顾客喜好的糕点有k(k<n)种,则当其随机进入一家糕点店时,会发现该店中有若干种糕点符合其喜好.记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数,则E(X)=(　　) A. B. C. D. A 解析 由题意可知从含有顾客喜好的k(k<n)种糕点的n种糕点中,任取m(m<n)种糕点,其中恰有X种顾客喜好的糕点,则X服从超几何分布,所以P(X=N)=(N=0,1,2,…,t),其中t=min{k,m},m<n,k<n,所以E(X)=,故选A. 规律方法　求超几何分布的均值与方差时,可先求出X的分布列,然后利用定义求均值和方差,均值也可直接利用超几何分布的均值公式求解. 跟踪训练2奥运会志愿者有6名男同学,4名女同学.在这10名志愿者中,3名同学来自A大学,其余7名同学来自B大学、C大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学,到机场参加活动.(每名同学被选中的可能性相等). (1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率; (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的期望和方差. 解 (1)设事件A为选出的3名同学是来自互不相同的大学,则P(A)=. (2)由题可知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴E(X)=0×+1×+2×+3×, D(X)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×. 【题型三】超几何分布与二项分布的关系 例 3 袋中有6个白球、3个黑球,从中随机地连续抽取2次,每次取1个球. (1)若每次抽取后都放回,设取到黑球的次数为X,求X的分布列和期望; (2)若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为Y,求Y的分布列和期望. 解 (1)由题意,每次抽取后都放回,取得黑球的次数X的可能取值为0,1,2,其中每次抽取到黑球的概率均为,所以2次取球可以看成2次的独立重复试验,则X~B(2,),可得P(X=0)=,P(X=1)=×(1-)=, P(X=2)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=2×. (2)若每次抽取后都不放回,取到黑球的个数Y的可能取值为0,1,2,可得P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P E(Y)=0×+1×+2×. 规律方法　二项分布与超几何分布之间的联系与区别 (1)二项分布不需要知道总体容量,超几何分布需要; (2)二项分布是“有放回”抽取(独立重复),超几何分布是“不放回”抽取; (3)当总体的容量N非常大,样本容量比较小时,超几何分布近似于二项分布,并且随着N的增加,这种近似的精确度也增加. 跟踪训练3某试验机床生产了12个电子元件,其中8个合格品,4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本,用X表示样本中合格品的个数. (1)若有放回地抽取,求X的分布列与期望; (2)若不放回地抽取,求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. 解 (1)有放回地抽取,P(取到合格品)=,P(取到次品)=,根据题意可得X的可能取值为0,1,2,3,4, 所以P(X=0)=)0()4=,P(X=1)=)1()3=, P(X=2)=)2()2=,P(X=3)=)3()1=, P(X=4)=)4()0=. 所以X的分布列为 P 0 1 2 3 4 X 所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×. (2)由题意得总体中合格品的比例为,因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过, 所以样本中合格品的比例大于小于,即样本中合格品的个数为2或3. P(X=2)=,P(X=3)=, 所以P(样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过) =. $