8.2.4 超几何分布-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“超几何分布”，涵盖概念、均值及应用，通过自主招生选题情境导入，衔接古典概型，构建“情境—概念—辨析—应用”学习支架，帮助学生从实际问题抽象模型，逐步掌握知识脉络。 其亮点在于以数学建模和数学运算为核心，通过摸奖游戏概率计算等典例及通性通法总结，培养学生抽象能力与逻辑思维。自我诊断和分层作业设计，既巩固基础又拓展思维，助力教师高效教学，提升学生解决实际问题的能力。

8.2.4　超几何分布 1 1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值（数学抽象）. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个 进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个. 【问题】　如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数 为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点　超几何分布 1. 超几何分布 （1）概念：一般地，若一个随机变量X的分布列为P（X＝r）＝ ，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝m，m＋1，m＋ 2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝min{n，M}，则称X服从超几 何分布； （2）记法：X服从超几何分布，记为 ，并将P （X＝r）＝ 记为H（r；n，M，N）； X～H（n，M，N）　 　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）在H（r；n，M，N）中，r，n，M，N的含义： 　　提醒：　超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③ 实质是古典概型. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 超几何分布的均值 当X～H（n，M，N）时，E（X）＝ kPk＝ （其中l＝ min{n，M}）. 　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）超几何分布的总体里只有两类物品. （　√　） （2）超几何分布的模型是不放回抽样. （　√　） （3）超几何分布与二项分布的期望值都为np. （　√　） （4）将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布.（　　） （5）盒中有4个白球和3个黑球，有放回地摸取3个球，黑球的个数X服从 超几何分布. （　×　） （6）某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超 几何分布. （　×　） √ √ √ × × × 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，用X表示任选10个村庄中交通不 方便的村庄数，则X服从超几何分布，其参数为（　　） A. N＝15，M＝7，n＝10 B. N＝15，M＝10，n＝7 C. N＝22，M＝10，n＝7 D. N＝22，M＝7，n＝10 解析： 　由超几何分布的概念可知A正确. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是 红球的概率是（　　） A. B. C. D. 解析： 　取出的红球的个数服从超几何分布，故P＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜超几何分布的辨析 【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由： （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分 布列； （2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发 芽的种子的个数记为X，求X的分布列； 解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红球的个 数记为X，求X的分布列. 解： 符合超几何分布的特征，样本分为两类，随机变量X表示抽取n 件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 （1）总体是否分为两类明确的对象； （2）是否为不放回抽样； （3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　〔多选〕下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　） A. 在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的 次品数为X B. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲 型彩电的台数 C. 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数 为随机变量X D. 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从 超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服 从超几何分布. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜超几何分布的概率 【例2】　（链接教科书第131页例1）某校高三年级某班的数学课外活动小 组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中 男生的人数.求至少有2名男生参加数学竞赛的概率. 解：依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝4， P（X＝2）＝ ＝ ， P（X＝3）＝ ＝ ， P（X＝4）＝ ＝ ， ∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝ ＋ ＋ ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运 用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行 记忆. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球 和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3个 红球就中奖，求中奖的概率. 解：设摸出红球的个数为X， 由题意得X～H（5，10，30）， 则中奖的概率为P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）＝ ＋ ＋ ≈0.159 99＋0.029 47＋0.001 77＝0.191 23. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜超几何分布的概率分布 【例3】　（链接教科书第132页练习1题）一个袋中装有6个形状、大小完 全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1， 2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个 数为随机变量X，求随机变量X的概率分布. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：由题意知X＝0，1，2，3. P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ . 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机 变量η的概率分布. 解：由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝ ＝ ，所以η的 概率分布为 η 0 1 P ​ ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. （变条件）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3 次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 解：由题意知，X服从二项分布， 则X～B（3， ），由P（X＝k）＝ （1－ ）3－k·（ ）k求出各式概 率， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 求超几何分布的概率分布的步骤 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 二项分布与超几何分布的区别与联系 区别 （1）二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要； （2）二项分布是“有放回”抽取（独立重复），超几何分布是 “不放回”抽取 联系 在n次不放回试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很 小，那么此时超几何分布可以近似为二项分布 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品. （1）若从10件产品中任意抽取1件，设取到一等品的件数为ξ，求ξ的 分布列； 解： 若只抽取1件，则只有抽到一等品与抽不到一等品两种情况，故 X的取值只有0和1两种情况，服从两点分布， P（ξ＝1）＝ ，则P（ξ＝0）＝1－P（ξ＝1）＝1－ ＝ . 因此随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P ​ ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件.每次抽取后都放 回，设取到一等品的件数为η，求η的分布列； 解：若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为 ，η服从 二项分布， 因此η～B（3， ），所以P（η＝0）＝ （ ）0（ ）3＝ ， P（η＝1）＝ （ ）1（ ）2＝ ， P（η＝2）＝ （ ）2（ ）1＝ ， P（η＝3）＝ （ ）3（ ）0＝ . 因此随机变量η的分布列为 η 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）若从这10件产品中随机抽取3次，每次抽取1件且每次抽取后都不放 回，设取到一等品的件数为X，求X的分布列. 解： 若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1 次抽取了3件，因此一等品的件数X服从超几何分布H（3，3，10）， 所以从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P（X＝m）＝ ，m＝0，1，2，3. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜超几何分布的均值与方差 【例4】　（链接教科书第131页例2）某大学志愿者协会有6名男同学，4名 女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、 化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到 希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； 解： 设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P （A）＝ ＝ . 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布及 均值. 解： 依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4， n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3. P（X＝r）＝ （r＝0，1，2，3）， 所以X的概率分布为 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 所以随机变量X的均值E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ （或E （X）＝ ＝ ）. X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求超几何分布的均值与方差的步骤 （1）先判断随机变量是否服从超几何分布，若服从，则找出参数N， M，n的值； （2）利用公式P（X＝r）＝ ，n，N，M∈N*，M≤N， n≤N，r＝m，m＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝ min{n，M}求出分布列； （3）利用均值与方差的定义求出均值E（X）和方差D（X），也可应用 E（X）＝ ＝np求均值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽取次品数X的均值； 解： 法一　由题意知X的可能取值为0，1，2. P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ . ∴随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P ​ ​ ​ E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法二　由题意知P（X＝r）＝ ，r＝0，1，2， ∴随机变量X服从超几何分布， n＝3，M＝2，N＝10， ∴E（X）＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差. 解：由题意知，抽取1次取到次品的概率为 ＝ ， 随机变量Y服从二项分布Y～B（3， ）， ∴E（Y）＝3× ＝ ， D（Y）＝3× ×（1－ ）＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕一个袋中有3个同样大小的黑球，编号为1，2，3，还有2个同 样大小的白球，编号为4，5，现从中任取2个球，下列变量服从超几何分布 的是（　　） A. X表示取出的最大号码 B. X表示取出的两个号码的差的绝对值 C. 取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的2个球的总得分 D. X表示取出的黑球个数 √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　A，B中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布 的数学模型计算概率，即A，B中的变量不服从超几何分布；C、D中的变 量符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超 几何分布的数学模型计算概率，故选C、D. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率 是（　　） A. B. C. D. 解析： 　设取出红球的个数为X，易知X服从超几何分布.∴P（X＝2） ＝ ＝ ，故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞 赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取 时，对应的概 率为 . 解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的 可以看出“从5 名三好学生中选取了3名”. 3 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3 人中女生的人数，求X的均值. 解：由题意，X的可能取值为0，1，2， P（X＝r）＝ ，r＝0，1，2. X的概率分布为 X 0 1 2 P ​ ​ ​ 所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＝1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 下列关于超几何分布的说法错误的是（　　） A. 超几何分布的模型是不放回抽样 B. 超几何分布的总体里可以只有一类物品 C. 超几何分布中的参数是N，M，n D. 超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由超几何分布的定义，可知超几何分布模型为不放回抽样，故A 正确；超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M （M≤N）件，从所有物品中任取n（n≤N）件，这n件中所含这类物品 的件数X是一个离散型随机变量，它取值为r时的概率为P（X＝r）＝ ，故B错误，C、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个 红球的概率为（　　） A. B. C. D. 解析： 　若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N ＝100，M＝80，n＝10的超几何分布.任取10个球中恰有6个红球，即X＝ 6，P（X＝6）＝ （注意袋中球的个数为80＋20＝100）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品 数的数学期望值是（　　） A. N B. （n－1） C. n D. （n＋1） 解析： 　设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中 不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，∴抽到的次品数 的数学期望值E（X）＝ ，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知某10件产品中含有次品，从这10件产品中抽取2件进行检查，其次 品数为ξ.若P（ξ＝1）＝ ，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产 品的次品率为（　　） A. 10% B. 20% C. 30% D. 40% 解析： 　设这10件产品中有n件次品，则P（ξ＝1）＝ ＝ ，即n2 －10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又该产品的次品率不超过40%，所以 n≤4，所以n＝2，所以这10件产品的次品率为 ×100%＝20%.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道. 现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合 格，则下列说法正确的是（　　） A. 答对0道题和答对3道题的概率相同，都为 B. 答对1道题的概率为 C. 答对2道题的概率为 D. 合格的概率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，答对0道题的概率为P0＝ ＝ ，答对3道题的概率 为P3＝ ＝ ，故A错误；对于B，答对1道题的概率为P1＝ ＝ ， 故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝ ＝ ，故C正确；对于D， 合格的概率为P＝ ＋ ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球、4个白球，现从中任 取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论中正确的是 （　　） A. P（X＝1）＝ B. 随机变量X服从二项分布 C. 随机变量X服从超几何分布 D. E（X）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确.X 的取值分别为0，1，2，3，4，则P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝ 4）＝ ＝ . 法一　E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ . 法二　X服从超几何分布，且参数分别为N＝6＋4＝10，M＝4，n＝4， 则E（X）＝ ＝ .故A、D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲 班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的 概率为 ⁠. 解析：设甲班恰有X人被选到，则X～H（4，4，12），则P（X＝2）＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中 女教师的人数为X，则P（X≤1）＝ ⁠. 解析：由题意知，X服从参数为N＝7，n＝3，M＝2的超几何分布，因此 P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝ ＋ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 某科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从 中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率 为 ⁠. 解析：成员有11＋4＋5＝20（人），从中任选2人的不同选法有 种，其 中不属于同一国家的有 ＋ 种，根据等可能性事件发生的 概率计算公式，可得所求概率为P＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连 续抽取3次，每次取1个球. （1）求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差； 解： 有放回抽样时，取到黄球的次数X可能的取值为0，1，2，3. 每次抽到黄球的概率均为 ，3次取球可以看成3重伯努利试验，则X～B （3， ）， 则期望E（X）＝3× ＝ ，方差D（X）＝3× ×（1－ ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列. 解： 不放回抽样时，取到的黄球个数Y可能的取值为0，1，2. P（Y＝0）＝ ＝ ，P（Y＝1）＝ ＝ ，P（Y＝2）＝ ＝ ，故Y的分布列为 Y 0 1 2 P ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化， 阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在 左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10 个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10 为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为 ＝ ；若任取的3个数 中有1个阴数，则概率为 ＝ ，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P ＝ ＋ ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕2024年夏季奥运会在法国巴黎举办，为了弘扬奥林匹克精 神，某市多所中小学开展了奥运会项目科普活动.为了调查学生对奥运会项 目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所 学校中了解奥运会项目的人数如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 若从这10所学校中随机选取3所学校进行奥运会项目的宣讲活动，记X为被 选中的学校中了解奥运会项目的人数在30以上的学校数，则下列说法中正 确的是（　　） A. X的可能取值为0，1，2，3 B. P（X＝0）＝ C. E（X）＝ D. D（X）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，故A正确；分析可 得X服从超几何分布，其分布列为P（X＝k）＝ （k＝0，1，2， 3），则P（X＝0）＝ ＝ ，故B错误；E（X）＝ ＝ ，故C正 确；D（X）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＋ （3－ ）2× ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出 三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形 的个数X不少于2的概率为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为 半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D，E这5 个点中任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数 为 ＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、 △ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ，因此，所求概率为P＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题 中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备 选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确 完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的概率分布，并计算其均值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：设X为甲正确完成面试题的数量，Y为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得X服从超几何分布， 且N＝6，M＝4，n＝3，X的可能取值为1，2，3， ∵P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ， P（X＝3）＝ ＝ ， ∴X的概率分布为 X 1 2 3 P ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 ∴E（X）＝1× ＋2× ＋3× ＝2. 由题意可得Y～B（3， ）， ∴P（Y＝0）＝ ×（ ）0×（ ）3＝ ， P（Y＝1）＝ ×（ ）1×（ ）2＝ ＝ ， P（Y＝2）＝ ×（ ）2×（ ）1＝ ＝ ， P（Y＝3）＝ ×（ ）3×（ ）0＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 ∴Y的概率分布为 Y 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ ∴E（Y）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 解： D（X）＝（1－2）2× ＋（2－2）2× ＋（3－2）2× ＝ ， D（Y）＝np（1－p）＝3× × ＝ ， ∵D（X）＜D（Y），E（X）＝E（Y）， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n （2≤n≤5，n∈N且n≠3）个，其余的球为红球. （1）若n＝5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次 取出的球中恰有2个红球的概率； 解： 设“从袋中任取1个球为红球”为事件A，则P（A）＝ ，所以 三次取出的球中恰有2个红球的概率为P＝ ×（ ）2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）从袋中任取2个球，如果这2个球的颜色相同的概率是 ，求红球的 个数； 解： 设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则 P（B）＝ ＝ ＝ ， 整理得n2－7n＋12＝0，解得n＝3（舍）或n＝4， 所以红球的个数为10－3－4＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）在（2）的条件下，从袋中任取2个球.若取出1个白球记1分，取出1个 黑球记2分，取出1个红球记3分，用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出 ξ的概率分布，并求ξ的数学期望E（ξ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：ξ的可能取值为2，3，4，5，6， P（ξ＝2）＝ ＝ ，P（ξ＝3）＝ ＝ ， P（ξ＝4）＝ ＝ ，P（ξ＝5）＝ ＝ ， P（ξ＝6）＝ ＝ ， 所以ξ的概率分布为 ξ 2 3 4 5 6 P ​ ​ ​ ​ ​ 所以E（ξ）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $