8.2.4 超几何分布（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学超几何分布核心知识点，从自主招生答题实例引入，系统梳理概念、记法、特点及均值计算，通过辨析、概率求解、分布列构建等题型，搭建从具体问题到抽象模型的学习支架。 资料以实例驱动数学抽象，通过摸奖游戏、产品抽样等情境培养数学建模与运算能力，对比二项分布深化思维。课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练与母题探究，帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

8.2.4　超几何分布 课标要求 1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值（数学抽象）. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 　　某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个. 【问题】　如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　超几何分布 1.超几何分布 （1）概念：一般地，若一个随机变量X的分布列为P（X＝r）＝，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝m，m＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝min{n，M}，则称X服从超几何分布； （2）记法：X服从超几何分布，记为　X～H（n，M，N）　，并将P（X＝r）＝　　记为H（r；n，M，N）； （3）在H（r；n，M，N）中，r，n，M，N的含义： 　　提醒：　超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 2.超几何分布的均值 当X～H（n，M，N）时，E（X）＝kPk＝　　（其中l＝min{n，M}）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）超几何分布的总体里只有两类物品.（　√　） （2）超几何分布的模型是不放回抽样.（　√　） （3）超几何分布与二项分布的期望值都为np.（　√　） （4）将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布.（　×　） （5）盒中有4个白球和3个黑球，有放回地摸取3个球，黑球的个数X服从超几何分布.（　×　） （6）某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布.（　×　） 2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，用X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄数，则X服从超几何分布，其参数为（　　） A.N＝15，M＝7，n＝10 B.N＝15，M＝10，n＝7 C.N＝22，M＝10，n＝7 D.N＝22，M＝7，n＝10 解析：A　由超几何分布的概念可知A正确. 3.袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 解析：B　取出的红球的个数服从超几何分布，故P＝＝. 题型一｜超几何分布的辨析 【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由： （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； （2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； （3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红球的个数记为X，求X的分布列. 解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题. （3）符合超几何分布的特征，样本分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布. 通性通法 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 （1）总体是否分为两类明确的对象； （2）是否为不放回抽样； （3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 【跟踪训练】 　〔多选〕下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　） A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的次数为随机变量X D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 解析：ABD　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. 题型二｜超几何分布的概率 【例2】　（链接教科书第131页例1）某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数.求至少有2名男生参加数学竞赛的概率. 解：依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝4， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， P（X＝4）＝＝， ∴P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋＋＝. 通性通法 　　超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆. 【跟踪训练】 　在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率. 解：设摸出红球的个数为X， 由题意得X～H（5，10，30）， 则中奖的概率为P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）＝＋＋ ≈0.159 99＋0.029 47＋0.001 77＝0.191 23. 题型三｜超几何分布的概率分布 【例3】　（链接教科书第132页练习1题）一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布. 解：由题意知X＝0，1，2，3. P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的概率分布. 解：由题意可知η＝0，1，服从两点分布.又P（η＝1）＝＝，所以η的概率分布为 η 0 1 P 2.（变条件）将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 解：由题意知，X服从二项分布， 则X～B（3，），由P（X＝k）＝（1－）3－k·（）k求出各式概率， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 通性通法 1.求超几何分布的概率分布的步骤 2.二项分布与超几何分布的区别与联系 区别 （1）二项分布不需要知道总体容量，超几何分布需要； （2）二项分布是“有放回”抽取（独立重复），超几何分布是“不放回”抽取 联系 在n次不放回试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，那么此时超几何分布可以近似为二项分布 【跟踪训练】 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品. （1）若从10件产品中任意抽取1件，设取到一等品的件数为ξ，求ξ的分布列； （2）若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件.每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为η，求η的分布列； （3）若从这10件产品中随机抽取3次，每次抽取1件且每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为X，求X的分布列. 解：（1）若只抽取1件，则只有抽到一等品与抽不到一等品两种情况，故X的取值只有0和1两种情况，服从两点分布， P（ξ＝1）＝，则P（ξ＝0）＝1－P（ξ＝1）＝1－＝. 因此随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P （2）若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，η服从二项分布， 因此η～B（3，），所以P（η＝0）＝（）0（）3＝， P（η＝1）＝（）1（）2＝， P（η＝2）＝（）2（）1＝， P（η＝3）＝（）3（）0＝. 因此随机变量η的分布列为 η 0 1 2 3 P （3）若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品的件数X服从超几何分布H（3，3，10）， 所以从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P（X＝m）＝，m＝0，1，2，3. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 题型四｜超几何分布的均值与方差 【例4】　（链接教科书第131页例2）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； （2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布及均值. 解：（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）＝＝. 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为. （2）依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3. P（X＝r）＝（r＝0，1，2，3）， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝（或E（X）＝＝）. 通性通法 求超几何分布的均值与方差的步骤 （1）先判断随机变量是否服从超几何分布，若服从，则找出参数N，M，n的值； （2）利用公式P（X＝r）＝，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，r＝m，m＋1，m＋2，…，l，m＝max{0，n－N＋M}，l＝min{n，M}求出分布列； （3）利用均值与方差的定义求出均值E（X）和方差D（X），也可应用E（X）＝＝np求均值. 【跟踪训练】 　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽取次品数X的均值； （2）放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差. 解：（1）法一　由题意知X的可能取值为0，1，2. P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝. ∴随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P E（X）＝0×＋1×＋2×＝. 法二　由题意知P（X＝r）＝，r＝0，1，2， ∴随机变量X服从超几何分布， n＝3，M＝2，N＝10， ∴E（X）＝＝＝. （2）由题意知，抽取1次取到次品的概率为＝， 随机变量Y服从二项分布Y～B（3，）， ∴E（Y）＝3×＝， D（Y）＝3××（1－）＝. 1.〔多选〕一个袋中有3个同样大小的黑球，编号为1，2，3，还有2个同样大小的白球，编号为4，5，现从中任取2个球，下列变量服从超几何分布的是（　　） A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的两个号码的差的绝对值 C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的2个球的总得分 D.X表示取出的黑球个数 解析：CD　A，B中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即A，B中的变量不服从超几何分布；C、D中的变量符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故选C、D. 2.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：C　设取出红球的个数为X，易知X服从超几何分布.∴P（X＝2）＝＝，故选C. 3.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取3时，对应的概率为. 解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的可以看出“从5名三好学生中选取了3名”. 4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的均值. 解：由题意，X的可能取值为0，1，2， P（X＝r）＝，r＝0，1，2. X的概率分布为 X 0 1 2 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝1. 1.下列关于超几何分布的说法错误的是（　　） A.超几何分布的模型是不放回抽样 B.超几何分布的总体里可以只有一类物品 C.超几何分布中的参数是N，M，n D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 解析：B　由超几何分布的定义，可知超几何分布模型为不放回抽样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M（M≤N）件，从所有物品中任取n（n≤N）件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为r时的概率为P（X＝r）＝，故B错误，C、D正确. 2.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（　　） A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：D　若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布.任取10个球中恰有6个红球，即X＝6，P（X＝6）＝（注意袋中球的个数为80＋20＝100）. 3.有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的数学期望值是（　　） A.N B.（n－1） C.n D.（n＋1） 解析：C　设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，∴抽到的次品数的数学期望值E（X）＝，故选C. 4.已知某10件产品中含有次品，从这10件产品中抽取2件进行检查，其次品数为ξ.若P（ξ＝1）＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（　　） A.10% B.20% C.30% D.40% 解析：B　设这10件产品中有n件次品，则P（ξ＝1）＝＝，即n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又该产品的次品率不超过40%，所以n≤4，所以n＝2，所以这10件产品的次品率为×100%＝20%.故选B. 5.〔多选〕某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格，则下列说法正确的是（　　） A.答对0道题和答对3道题的概率相同，都为 B.答对1道题的概率为 C.答对2道题的概率为 D.合格的概率为 解析：CD　对于A，答对0道题的概率为P0＝＝，答对3道题的概率为P3＝＝，故A错误；对于B，答对1道题的概率为P1＝＝，故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝＝，故C正确；对于D，合格的概率为P＝＋＝，故D正确. 6.〔多选〕在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球、4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论中正确的是（　　） A.P（X＝1）＝ B.随机变量X服从二项分布 C.随机变量X服从超几何分布 D.E（X）＝ 解析：ACD　由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确.X的取值分别为0，1，2，3，4，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝. 法一　E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 法二　X服从超几何分布，且参数分别为N＝6＋4＝10，M＝4，n＝4，则E（X）＝＝.故A、D正确.故选A、C、D. 7.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为. 解析：设甲班恰有X人被选到，则X～H（4，4，12），则P（X＝2）＝＝. 8.学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，则P（X≤1）＝. 解析：由题意知，X服从参数为N＝7，n＝3，M＝2的超几何分布，因此P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝. 9.某科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为. 解析：成员有11＋4＋5＝20（人），从中任选2人的不同选法有种，其中不属于同一国家的有＋种，根据等可能性事件发生的概率计算公式，可得所求概率为P＝＝. 10.已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球. （1）求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差； （2）求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列. 解：（1）有放回抽样时，取到黄球的次数X可能的取值为0，1，2，3. 每次抽到黄球的概率均为，3次取球可以看成3重伯努利试验，则X～B（3，）， 则期望E（X）＝3×＝，方差D（X）＝3××（1－）＝. （2）不放回抽样时，取到的黄球个数Y可能的取值为0，1，2. P（Y＝0）＝＝，P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝， 故Y的分布列为 Y 0 1 2 P 11.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：A　由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A. 12.〔多选〕2024年夏季奥运会在法国巴黎举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了奥运会项目科普活动.为了调查学生对奥运会项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解奥运会项目的人数如图所示. 若从这10所学校中随机选取3所学校进行奥运会项目的宣讲活动，记X为被选中的学校中了解奥运会项目的人数在30以上的学校数，则下列说法中正确的是（　　） A.X的可能取值为0，1，2，3 B.P（X＝0）＝ C.E（X）＝ D.D（X）＝ 解析：ACD　由题意可得X的可能取值为0，1，2，3，故A正确；分析可得X服从超几何分布，其分布列为P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3），则P（X＝0）＝＝，故B错误；E（X）＝＝，故C正确；D（X）＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝，故D正确. 13.把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为. 解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D，E这5个点中任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为＝10.其中直角三角形有：△ABC、△ABD、△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈{0，1，2，3}，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，因此，所求概率为P＝＝. 14.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的概率分布，并计算其均值； （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 解：（1）设X为甲正确完成面试题的数量，Y为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得X服从超几何分布， 且N＝6，M＝4，n＝3，X的可能取值为1，2，3， ∵P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， ∴X的概率分布为 X 1 2 3 P ∴E（X）＝1×＋2×＋3×＝2. 由题意可得Y～B（3，）， ∴P（Y＝0）＝×（）0×（）3＝， P（Y＝1）＝×（）1×（）2＝＝， P（Y＝2）＝×（）2×（）1＝＝， P（Y＝3）＝×（）3×（）0＝， ∴Y的概率分布为 Y 0 1 2 3 P ∴E（Y）＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. （2）D（X）＝（1－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝， D（Y）＝np（1－p）＝3××＝， ∵D（X）＜D（Y），E（X）＝E（Y）， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的可能性较大. 15.在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，n∈N且n≠3）个，其余的球为红球. （1）若n＝5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率； （2）从袋中任取2个球，如果这2个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； （3）在（2）的条件下，从袋中任取2个球.若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分，用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的概率分布，并求ξ的数学期望E（ξ）. 解：（1）设“从袋中任取1个球为红球”为事件A，则P（A）＝，所以三次取出的球中恰有2个红球的概率为P＝×（）2×＝. （2）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则 P（B）＝ ＝＝， 整理得n2－7n＋12＝0，解得n＝3（舍）或n＝4， 所以红球的个数为10－3－4＝3. （3）ξ的可能取值为2，3，4，5，6， P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝， P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝， P（ξ＝6）＝＝， 所以ξ的概率分布为 ξ 2 3 4 5 6 P 所以E（ξ）＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $