8.2.3 二项分布 课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“n重伯努利试验及二项分布”核心知识点，课堂导入从伯努利试验定义切入，通过实例辨析其条件，逐步过渡到二项分布的定义、分布列及数字特征，构建连贯的知识学习支架。 其亮点在于通过“自主诊断”强化概念抽象能力，“题型分析”结合摸球、安检等现实问题培养数学思维，“跟踪训练”以纪念品销售等实例提升数学语言表达能力。学生能深化理解，教师可高效开展教学。

第8章　概率 8.2.3　二项分布 【课标要求】 1.通过具体实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征. 2.能用二项分布解决简单的实际问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　n重伯努利试验及求法 1.定义 我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 2.n重伯努利试验概率的求法 在n重伯努利试验中,每次试验事件A发生的概率均为p(0<p<1),即P(A)=p,P()=1-p=q.事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为 Pn(k)=pkqn-k,k=0,1,2,…,n. 名师点睛 n重伯努利试验的条件必须满足:(1)是伯努利试验(只包含两个可能结果的试验);(2)是在相同的条件下,重复地做n次试验;(3)各次试验的结果相互独立,每次试验中发生的机会是均等的. n重伯努利试验也称为n次独立重复试验. 知识点二　二项分布 1.定义 若随机变量X的分布列为P(X=k)=pkqn-k,其中0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,则称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p).其概率分布如表所示. X 0 1 2 … n P p0qn pqn-1 p2qn-2 … pnq0 2.二项分布的均值与方差 当X~B(n,p)时,E(X)=np,D(X)=np(1-p),σ=. 名师点睛 二项分布的特点: (1)对立性,即一次试验中只有两个相互对立的结果,即“成功”和“不成功”,而且有且只有一个发生. (2)重复性,试验在相同条件下独立重复地进行n次,且每一次试验“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)n重伯努利试验的每次试验只有发生和不发生两种情况.(　　) (2)n重伯努利试验的各次试验结果相互独立.(　　) (3)在相同条件下,不放回地抽样试验是n重伯努利试验.(　　) (4)两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1时的二项分布.(　　) (5)二项分布的随机变量是在n次独立重复试验中事件发生的次数.(　　) √ √ × √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】n重伯努利试验的判断 例 1 判断下列试验是不是n重伯努利试验: (1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; (2)口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球,依次从中抽取5个球,恰好抽出4个白球.  解 (1)因为试验的条件不同(质地不同),所以不是n重伯努利试验. (2)每次抽取的结果有三种不同的颜色,且每种颜色出现的可能性不相等,所以不是n重伯努利试验. 规律方法　n重伯努利试验的条件 (1)每次试验在相同条件下可重复进行. (2)每次试验相互独立,互不影响. (3)每次试验都只有两种结果,即事件发生、不发生. 跟踪训练1(1)下列事件:①运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”;②甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;③甲、乙两名运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”;④在相同的条件下,甲射击10次,5次击中目标.其中是独立重复试验的是(　　) A.① B.② C.③ D.④ D 解析 ①和③符合互斥事件的概念,是互斥事件;②是相互独立事件;④是独立重复试验,所以只有④符合题意.故选D. (2)下列问题中的随机变量不是伯努利型的序号是　　　　　.  ①某运动员射击一次,击中目标的次数为随机变量X; ②某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X; ③抛掷一颗骰子,所得点数为随机变量X; ④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=1,取出白球;X=0,取出红球. ③ 解析 伯努利型分布即两点分布,其中①某运动员射击一次,击中目标的次数有两种可能,故为伯努利型;②某医生做一次手术,手术成功的次数为两种可能,故为伯努利型;③抛掷一颗骰子,所得点数可能为1,2,3,4,5,6,故不是伯努利型;④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=1,取出白球;X=0,取出红球,两种可能,故为伯努利型.故答案为③. 【题型二】n重伯努利试验的概率 例 2 [链接教材例1](1)袋中装有标号为1,2,3,4,5且质地、大小相同的5个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个号码的和是偶数,则获奖.若有4人参与摸球,则恰好2人获奖的概率是(　　) A. B. C. D. A 解析 从袋子中一次性摸出两个球,共有=10种情况,其中两个号码的和为偶数的有{1,3},{1,5},{2,4},{3,5},共4种情况,所以一个人摸球,能够获奖的概率为,所以4人参与摸球,恰好2人获奖的概率 P=.故选A. (2)“五一”临近,某火车站有三个安检入口,每个安检入口每天通过的旅客人数超过1 100的概率不低于0.2,假设三个安检入口均能正常工作,则这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率为　　　　.  0.104 解析 由题意可知旅客人数X超过1 100的概率不低于0.2,即P(X>1 100)≥0.2, 所以这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率为P=×0.22×(1-0.2)+×0.23×(1-0.2)0=0.104. 故答案为0.104. (3)在学校大课间体育活动中,甲、乙两名同学进行定点投篮比赛,每局比赛甲、乙每人各投篮一次,若一方命中且另一方未命中,则命中的一方本局比赛获胜,否则为平局.已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为,且每局比赛甲、乙命中与否互不影响,各局比赛也互不影响.求: ①一局投篮比赛,甲、乙平局的概率; ②一局投篮比赛,甲获胜的概率; ③三局投篮比赛,甲至少获胜两局的概率. 解 ①设事件A表示“甲命中”,事件B表示“乙命中”, 则P(A)=,P(B)=, ∴一局投篮比赛,甲、乙平局的概率为 P(AB)+P()=+(1-)×(1-)=. ②一局投篮比赛,甲获胜的概率为 P(A)=×(1-)=. ③三局投篮比赛,甲至少获胜两局的概率为 P=)2×)3=. 规律方法　n重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努利试验. (2)分拆:判断所求事件是否需要分拆. (3)计算:对每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率的加法公式计算. 跟踪训练2(1)现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同),每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名,那么跟测试之前的排名比较,这3轮测试中恰好有1轮测试结果出现2家公司排名不变的概率为(　　) A. B. C. D. C 解析 由题意,在1轮测试5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较,出现2家公司排名不变的概率为,其次,3轮测试每次发生上述情形的概率均为,所以,这3轮测试中恰好有1轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为P=×()×.故选C. (2)将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次,至少出现一次6点向上的概率是　　　　　.  　 解析 根据题意,该试验为独立重复试验,记6点向上的次数为X,则n=3,p=,故P(X=k)=)k()3-k, 因此至少出现一次6点向上的概率为P(X≥1)=1-P(X=0)=1-)0()3 =1-.故答案为. 【题型三】二项分布的性质及应用 角度1二项分布的分布列 例 3 [链接教材例3](1)如图所示,已知一质点在外力的作用下,从原点0出发,每次向左移动的概率为,向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度,设经过5次移动后,该质点位于X的位置,则P(X>0)=(　　) A. B. C. D. C 解析 由题意可知,当X>0时,X的可能取值为1,3,5,且X~B(5,),所以P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+P(X=1)=·()+. 故选C. (2)若随机变量X服从二项分布B(5,),则P(X=4)=　　　　　.  　 解析 依题意,P(X=4)=·()4·(1-)=.故答案为. 跟踪训练3(1)现有8件产品,其中4件是次品,从中有放回地取3次(每次1件),若X表示取得次品的次数,则P(X≤2)=(　　) A. B. C. D. D 解析 因为是有放回地取产品,所以每次取产品取到次品的概率为. 从中取3次,X为取得次品的次数,则X~B(3,),P(X≤2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=×()2××()×()2+)3=.故选D. (2)扬州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品.纸伞的制作工序大致分为三步:第一步削伞架,第二步裱伞面,第三步绘花刷油.已知某工艺师在每个步骤制作合格的概率分别为,只有当每个步骤制作都合格才认为制作成功1次. ①求该工艺师进行3次制作,恰有1次制作成功的概率; ②若该工艺师制作4次,其中制作成功的次数为X,求X的分布列. 解 ①由题意可知,1次制作成功的概率为,所以该工艺师进行3次制作,恰有1次制作成功的概率P=. ②由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4,X~B(4,),它的分布列为P(x=k)=(1-)4-k(k=0,1,2,3,4), 即 X 0 1 2 3 4 P 角度2二项分布的均值与方差 例 4 [链接教材例3](1)某同学参加学校数学知识竞赛,规定每个同学答题20道,已知该同学每道题答对的概率为0.6,则该同学答对题目数量的均值和方差分别为(　　) A.16,7.2 B.12,7.2 C.12,4.8 D.16,4.8 C 解析 设该同学答对题目数量为ξ,因为该同学每道题答对的概率为0.6,共答20道题,所以ξ~B(20,0.6),所以E(ξ)=20×0.6=12,D(ξ)=20×0.6×(1-0.6) =4.8,故选C. (2)若随机变量X~B(6,p),D(X)=,则E(3X-2)=　　　　　.  7 解析 因为X~B(6,p),则D(X)=6p(1-p)=,解得p=,则E(X)=6×=3,因此,E(3X-2)=3E(X)-2=7.故答案为7. 规律方法　解决此类问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布,第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p);若X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). 跟踪训练4(1)若一批产品的一等品率为0.9,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,Χ表示抽到的一等品件数,则D(X)=　　　　　.  9 解析 由题意可知,该事件满足独立重复试验,是二项分布模型,其中p=0.9,n=100,则D(X)=np(1-p)=100×0.9×0.1=9.故答案为9. (2)已知随机变量X服从二项分布B(12,0.25),且E(aX-3)=3(a∈R),则 D(aX-3)=　　　　　.  9 解析 因为X~B(12,0.25),所以E(X)=12×0.25=3,D(X)=12×0.25×(1-0.25) =,又E(aX-3)=aE(X)-3=3,即3a-3=3,解得a=2,所以D(aX-3)=D(2X-3)= 22D(X)=4×=9.故答案为9. 角度3二项分布的最值问题 例 5 某市为了传承中华优秀传统文化,该市组织中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为,且每次答题相互独立,若该同学连续作答20道试题后结束比赛,记该同学答对m道试题的概率为f(m),则当m=　　　　　时,f(m)取得最大值.  13或14 解析 由题意得f(m)=,0≤m≤20且m∈N,则即 故 又m∈N,所以m=13或m=14,故当m=13或m=14时,f(m)取得最大值.故答案为13或14. 规律方法　二项分布的最值问题的求解思路 可以用≤1(0≤k≤n-1,k∈N)来求,还可以考虑用不等式组(k∈N,1≤k≤n-1)来求. 跟踪训练5如果X~B(15,),则使P(X=k)最大的k值为(　　) A.3 B.4 C.4或5 D.3或4 D 解析 ≥1,得k≤3. 所以当k≤3时,P(X=k+1)≥P(X=k),当k>4时,P(X=k+1)<P(X=k),其中k=3时,P(X=k+1)=P(X=k),从而k=3或k=4时,P(X=k)取得最大值.故选D. 【题型四】二项分布的实际应用 例 6 [链接教材例2]为了提高产品质量,某厂开展有奖生产竞赛,竞赛规则如下:2人一组,每组做①号产品和②号产品两种,同组的两人,每人只能做1种产品且两人做不同产品,若做出的产品是“优质品”,则可获得奖金,每件①号产品的“优质品”的奖金为50元,每件②号产品的“优质品”的奖金为40元.现有甲、乙两人同组,甲做①号产品每天可做3件,做②号产品每天可做4件,做的每件①号产品或②号产品是“优质品”的概率均为;乙做①号产品每天可做4件,做②号产品每天可做3件,做的每件①号产品或②号产品是“优质品”的概率均为.做产品时,每件产品是否为“优质品”相互独立,甲、乙两人做产品也相互独立. (1)若甲做①号产品,记X1为甲每天所得奖金数,Y1为乙每天所得奖金数,求X1,Y1的分布列; (2)若要甲、乙两人每天所得奖金之和的数学期望最大,则甲应做①号产品还是②号产品?请说明理由.  解 (1)X1可能的取值为0,50,100,150,P(X1=0)=,P(X1=50) =,P(X1=100)=)2(1-)=,P(X1=150)=()3=, 所以X1的分布列如下: X1 0 50 100 150 P Y1可能的取值为0,40,80,120, P(Y1=0)=()3=,P(Y1=40)=)2=, P(Y1=80)=)2()=,P(Y1=120)=()3=, 所以Y1的分布列如下: Y1 0 40 80 120 P (2)由题意可知甲、乙两人每天做出的优质品数服从二项分布,甲做①号产品,乙做②号产品每天获得的奖金期望为3××50+3××40=,甲做②号产品,乙做①号产品每天获得的奖金期望为4××40+4××50=, 又,所以甲应做②号产品. 规律方法　二项分布描述了在固定试验次数下,成功事件发生次数的概率分布.其参数包括试验次数n和成功概率p.二项分布在现实世界中有着广泛的应用,如:质量控制中检验产品是否满足特定标准;客户满意度的调查是评估客户满意程度的分布;医学研究中的分析疾病发病率或治疗效果;金融分析中的预测投资回报分布等. 跟踪训练6已知某款纪念品的生产成本为80元/件,为了确定其销售价格,调查了对这款纪念品有购买意向的消费者(以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者)的心理价位,并将收集的100名消费者的心理价位整理如下: 心理价位/(元/件) 90 100 110 120 人数 10 20 50 20 假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某名消费者的心理价位时,该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求,规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x(单位:元/件),90<x≤120,且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布,频率视为概率. (1)若x=100,试估计消费者购买该纪念品的概率;已知某时段有4名消费者进店,X为这一时段该纪念品的购买人数,试求X的分布列和数学期望E(X); (2)假设共有M名消费者,设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y(单位:元),当该纪念品的销售价格x定为多少时,Y的数学期望E(Y)达到最大值? 解 (1)当x=100时,消费者购买该纪念品的概率P==0.9, 由题意得X~B(4,0.9),P(X=i)=0.9i(1-0.9)4-i,i=0,1,2,3,4, P(X=0)=0.14=, 同理P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P E(X)=4×0.9=3.6. (2)由(1)知,当90<x≤100时,E(Y)=M××(x-80)≤18M(x=100时等号成立),当100<x≤110时,E(Y)=M××(x-80)≤21M(x=110时等号成立),当110<x≤120时,E(Y)=M××(x-80)≤8M(x=120时等号成立),M>0,因此E(Y)=21M最大,此时x=110.所以当该纪念品的销售价格定为110元时,Y的数学期望E(Y)达到最大值,为21M. $