6.2.2 空间向量的坐标表示（第1课时 空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示）课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系建立、点与向量的坐标表示及线性运算坐标表示，从平面直角坐标系过渡，通过单位正交基底构建空间坐标系，形成从二维到三维的学习支架，衔接平面向量知识。 其亮点是以课标为纲，结合平行六面体、直三棱柱等实例，通过自主诊断和题型训练，培养学生空间观念（数学眼光）、运算推理能力（数学思维）及用坐标精确表达向量关系（数学语言）。如例1建系求顶点坐标，助力学生提升空间素养，为教师提供系统教学资源。

第6章　空间向量与立体几何 6.2.2　空间向量的坐标表示 第1课时　空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示 【课标要求】 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性. 2.会用空间直角坐标刻画点的位置,能用空间直角坐标表示空间向量. 3.掌握空间向量线性运算的坐标表示. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　空间直角坐标系及空间中点的坐标表示 1.空间直角坐标系 如图,在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间向量的坐标表示与点的坐标 (1)在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k.有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(a1,a2,a3). (2)如图,在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一点P,我们称向量为点P的位置向量.把与向量对应的有序实数组(x,y,z)叫作点P的坐标,记作P(x,y,z),其中x,y,z分别叫作点P的横坐标、纵坐标、竖坐标. 知识点二　空间向量的坐标运算 空间向量坐标运算法则 (1)设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 则a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2), a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2), λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R. 空间向量平行的坐标表示为 a∥b(a≠0)⇔x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1(λ∈R). (2)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)空间中有两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点C的坐标为().(　　) (2)若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则a+b=(2,1,-3).(　　) (3)已知点B(2,-3,1),向量=(-3,5,2),则点A的坐标是(-1,2,3).(　　) √ √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】求空间点的坐标 例 1 [链接教材练习,T1]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=4,AD=2,平行六面体高为2,顶点D在底面A1B1C1D1上的射影O是C1D1中点,建立适当的空间直角坐标系,并写出该平行六面体各个顶点的坐标. 解 如图,以O为坐标原点,分别以OC1,OD所在直线为y轴、z轴,以过点O作B1C1的平行线为x轴建立空间直角坐标系. 设点A1(x,y,z),点A1在平面xOy上,且z=0,由图可知它到y轴投影D1对应数值为-2,则y=-2,到x轴投影对应数值为2,则x=2,即A1(2,-2,0),同理得B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,-2,0),A(2,0,2),B(2,4,2),C(0,4,2),D(0,0,2). 规律方法　求相关点的空间坐标时,关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模.同一几何图形中,由于空间直角坐标系建立的不同,从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同.建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征,尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段,如若找不到,就要想办法构造. 跟踪训练1(1)点P(-2,1,3)关于x轴的对称点的坐标是　　　　,关于坐标平面xOy的对称点的坐标是　　　　.  (-2,-1,-3) (-2,1,-3) 解析 在空间直角坐标系中,点P(-2,1,3)关于x轴的对称点的横坐标不变,纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数,即(-2,-1,-3);点P(-2,1,3)关于坐标平面xOy的对称点的横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,即(-2,1,-3). (2)设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2,建立如图所示的空间直角坐标系,求各个顶点的坐标. 解 在空间直角坐标系中,O为底面正方形的中心,P1P2⊥y轴,P1P4⊥x轴,SO在z轴上. ∵P1P2=2,且P1,P2,P3,P4均在xOy平面上, ∴P1(1,1,0),P2(-1,1,0). 在xOy平面内,P3与P1关于原点O对称,P4与P2关于原点O对称,∴P3(-1,-1,0),P4(1,-1,0). 又SP1=2,OP1=, ∴在Rt△SOP1中,SO=,∴S(0,0,). 【题型二】求空间向量的坐标 【例2】[链接教材练习,T2]在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=, AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,如图所示,在空间直角坐标系中,求的坐标. 解 由题可得=-=-()=- =-=-×4i-×2j-4k=-2i-j-4k=(-2,-1,-4). -()=,-4i+2j-4k=(-4,2,-4). 规律方法　用坐标表示空间向量的步骤 跟踪训练2 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1.如图所示,在空间直角坐标系中,求向量的坐标. 解 因为PA=AD=AB=1, 所以可设=i,=j,=k. 因为 =) =-(-) =j+k, 所以=(0,). 【题型三】空间向量的坐标运算 例 3 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4). (1)求; (2)是否存在实数x,y,使得=x+y成立?若存在,求x,y的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0), =(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2). =(1,1,0)+(-1,0,2)=(0,1,2). =(1,1,0)-(-1,0,2)=(2,1,-2). (2)存在.理由如下: 由题可得=(-2,-1,2), 则(-1,0,2)=x(1,1,0)+y(-2,-1,2), 所以(-1,0,2)=(x-2y,x-y,2y), 所以解得 所以存在实数x=1,y=1,使得结论成立. 题后反思　1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定,即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.特别地,当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标即是终点的坐标. 2.进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则. 跟踪训练3(1)若A(3,2,4),B(1,2,-8),点C在线段AB上,且,则点C的坐标是　　　　　.  (,2,-4)　 解析 ∵点A(3,2,4),B(1,2,-8),C为线段AB上一点,且,∴ =(-2,0,-12),设点C的坐标为(x,y,z),则=(x-3,y-2,z-4),则(x-3,y-2,z-4) =(-2,0,-12), 即解得即C(,2,-4). (2)已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3).求点P的坐标,使得)成立. 解 ∵=(2,6,-3),=(-4,3,1), ∴=(6,3,-4). 设点P的坐标为(x,y,z),则=(x-2,y+1,z-2). ∵)=(3,,-2), ∴解得则点P的坐标为(5,,0). 【题型四】空间向量平行的坐标表示及应用 角度1空间向量的共线与共面 例 4 [链接教材练习,T6](1)已知两平行向量分别为a=(4-2m,m-1,m-1), b=(4,2-2m,2-2m),则实数m的值为(　　) A.1 B.3 C.1或3 D.以上答案都不正确 C 解析 由题意知a∥b,因为b=(4,2-2m,2-2m)≠0,a=(4-2m,m-1,m-1),所以a∥b的充要条件是a=λb,所以显然m=1符合题意,当m≠1时,由m-1=λ(2-2m),得λ=-,代入4-2m=4λ,得m=3.综上,m的值为1或3.故选C. (2)已知空间向量=(1,2,4),=(5,-1,3),=(m,n,-1).若P,A,B,C四点共面,则10m+17n=　　　　　.  -11 解析 因为P,A,B,C四点共面,所以共面,所以存在唯一实数对(x,y),使得=x+y,即所以10m+17n=44x+33y=11(4x+3y)=-11. 规律方法　1.在空间直角坐标系下,两向量的共线问题,可利用向量的共线定理,通过列方程组求解.要证三向量a,b,c共面,即证存在x,y∈R,使得c=xa+yb. 2.在空间直角坐标系下,两向量的共线、三向量的共面问题,均可灵活应用共线、共面的基本定理,利用向量坐标通过方程求解. 跟踪训练4(1)已知向量a=(-1,0,3),b=(1,-1,1),c=(-1,2x,1),若(a-b)∥c,则实数x=(　　) A B.- C D.- A 解析 a-b=(-2,1,2),c=(-1,2x,1),因为(a-b)∥c,所以,解得x=.故选A. (2)已知点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0).若点P(x,1,2)在平面ABC内,则x=　　　　　.  -2 解析 =(0,1,-1),=(1,0,-1),因为点P(x,1,2)在平面ABC内,所以存在m,n使得=m+n,即(x,1,1)=m(0,1,-1)+n(1,0,-1),故解得x=-2.故答案为-2. 角度2空间向量平行的应用 例 5 [链接教材例3]已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A(3,-1,2), B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3).求证:四边形ABCD为梯形. 证明 ∵=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),且,∴共线. 又=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2), 且, ∴不共线.∴四边形ABCD为梯形. 规律方法　将证线线平行转化为证两向量共线.若证明AB∥PQ,则=(λ∈R,λ≠0). 跟踪训练5 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=3,点S,P分别在棱CC1,AA1上,且|CS|=|SC1|,|AP|=2|PA1|,点R,Q分别为AB,D1C1的中点.求证:直线PQ∥直线RS. 证明 如图,以点D为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(3,0,0),C(0,4,0),B(3,4,0),D1(0,0,3),A1(3,0,3),C1(0,4,3),B1(3,4,3).由题意知P(3,0,2),Q(0,2,3),S(0,4,1),R(3,2,0),∴=(-3,2,1),=(-3,2,1), ∴.又PQ,RS不共线,∴PQ∥RS. $