6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式，系统梳理向量数量积、垂直条件、模、夹角余弦的坐标公式，以及空间两点距离与中点坐标公式，承接空间向量基本概念，为空间几何问题解决构建运算与距离计算的学习支架。 以天平秤盘拉力问题情境引入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过题型分类（数量积运算、距离计算、夹角求解）及通性通法总结，培养数学运算与逻辑推理能力。课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用与数学语言表达。

第2课时　空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式 课标要求 1.掌握空间向量的数量积的坐标表示（数学抽象、数学运算）. 2.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题（数学运算）. 　　在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），若3根细绳两两之间的夹角均为. 【问题】　若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量数量积的坐标表示 　设空间两个非零向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），它们的夹角为＜a，b＞，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b ｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞ a⊥b a·b＝0 模 ｜a｜＝ ｜a｜＝ 夹角余弦 cos＜a，b＞＝ 知识点二　空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 （1）AB＝　　　　　　　　　　　　； （2）线段AB的中点M的坐标为（，，）. 1.已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，1），若a⊥（b－c），则x＝（　　） A.－2 B.2 C.3 D.－3 2.已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（　　） A.4 B.2 C.4 D.3 3.已知a＝（－，2，），b＝（3，6，0），则｜a｜＝　　　　，a与b夹角的余弦值等于　　　　. 题型一｜空间向量数量积的坐标运算 【例1】　（链接教科书第27页习题4题）已知向量a＝（2，1，－3），b＝（0，－3，2），c＝（－2，1，2），则a·（b＋c）＝（　　） A.18 B.－18 C.3 D.－3 通性通法 关于空间向量数量积坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量数量积坐标运算公式计算； （2）求参数值：首先把向量坐标形式表示出来，然后通过数量积运算建立方程（组），解方程（组）求出参数. 【跟踪训练】 1.已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），则a·（－2b）＝　　　，（a－b）·（2a－3b）＝　　　　. 2.已知空间向量a＝（1，n，2），b＝（－2，1，2）.若2a－b与b垂直，则n＝　　　　. 题型二｜空间两点间的距离 【例2】　（链接教科书第25页例4）已知点M（3，2，1），N（1，0，5），求： （1）线段MN的长度； （2）到M，N两点的距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件. 通性通法 利用空间两点间的距离公式求线段长度的一般步骤 【跟踪训练】 　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度. 题型三｜利用数量积公式求夹角 【例3】　如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求与所成角的余弦值. 通性通法 求空间向量夹角的方法技巧 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； （2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； （3）代入空间向量的夹角公式cos θ＝求解. 【跟踪训练】 1.已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则与的夹角为（　　） A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90° 2.设向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2），若cos＜a，b＞＝，则实数λ的值为（　　） A.2 B.－2 C.－2或 D.2或－ 1.设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离CM的值为（　　） A. B. C. D. 2.〔多选〕已知向量a＝（1，1，－1），b＝（2，－1，0），c＝（0，1，－2），则下列结论正确的是（　　） A.a·（b＋c）＝4 B.（a－b）·（b－c）＝－8 C.记a与b－c的夹角为θ，则cos θ＝ D.若（a＋λb）⊥c，则λ＝3 3.若a＝（x，2，－4），b＝（－1，y，3），c＝（1，－2，z），且a，b，c两两垂直，则x＝　　　　，y＝　　　　，z＝　　　　. 4.已知向量a＝（2，－1，－2），b＝（1，1，－4）. （1）计算｜2a－3b｜； （2）求＜a，b＞. 提示：完成课后作业　第六章　6.2　6.2.2　第2课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式 【基础落实】 知识点一 x1X2十y1y2十z122xx2+yy2十z122=0 知识点二 (1)(x2-x)2+(y2-y1)2+(2-z,) 自我诊断 1.Ab-c=(-2,3,1),∴.a(b-c)=4+3x+2=0,∴.x=-2 2.AAB=(1+3)2+(1+3)2+(1+3)2=43 3.3 6 9 解析：|a|=a·a=V元C=3,a与b夹角的余弦值cos<a,b>= a·b =-6+12+0=6 I ab 3×3只6 9 【典例研析】 【例1】B因为b+c=(-2,-2,4),所以a(b+c)=-4-2-12= 18.故选B. 跟踪训练 1.-25解析：a(-2b)=-2ab=-2(0+1十0)=-2，a-b=（1,0, -1),2a-3b=2（1,1,0)-3(0,1,1)=(2,-1,-3)..(a b)·(2a-3b)=(1,0,-1)·(2,-1,-3)=2十3=5. 2号解桥：Q=(1,,2》,b=(-2,1,2》,20b=(4,2m 5 1,2).2a-b与b垂直，.(2a-b)b=0,-8+2n-1+4=0,解得n=2 【例2】解：(1)根据空间两点间的距离公式得线段MW的长度 MW=(3-1)2+(2-0)2+(1-5)2=26. (2)因为点P(x,y,z)到M,N两点的距离相等， 所以(x-3)2+(y-2)2+(z-1)2 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =(x-1)2+(y-0)2+(z-5)2, 化简得x十y一2z+3=0, 因此，到M,N两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是x十y一2z十 3=0. 跟踪训练 解：以CA,CB,CC}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. CE B 因为CC=CB=CA=2, 所以 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),B1(0,2,2) 由中点坐标公式，可得D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0), 所以DE=(1-0)2+(1-1)2+(0-2)2=5, EF=7(0-1)2+(1-0)2+(2-0)2=6. 【例3】 解：以CA,C,CC}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐 标系C-xyz. 依题意得B(0,1,0),A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2), .BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2), .BA1CB1=1X0+(-1)×1+2X2=3. 又|BA1I=6,|CB1I=V5, BA1·CB1V30 '.cos<BA,CB,>=BAlCB10 ·独家授权侵权必究。 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 故AB与瓦C所成角的余弦值为30 10 跟踪训练 1.C设AC与AB的夹角为9.由题意得AC=(-1,1,0),AB= AC.AB 3 1 (0,3,3),.c0s0= 1ACAB-2x322,0°≤0≤180°，·.0 =60°，故选C. 8 2.C·向量a=(1,1,2)，6=(2,-1,2),c0s<a,b>=号c0s< a·b 2-λ+48 a,b>a:b5+2.39解得1=-2或九=5 随堂检测 1.C4B的中点M(2,多3，又C(0,0,所以Gm=2,3),故 点M到点C的距商CM-1商1=2+()2+= 2 2.ABD由题意得a·(b+c)=（1,1,-1)·（2,0,-2)=2+0+2=4: (u-b)·(b-c)=(-1,2,-1)·(2,-2,2)=-2-4-2=-8:c0s0 a·(b-c)（1,1,-1)·(2,-2,2)1 =Talb-c 12+12+( =-3;由(a+b)⊥c,得(a +入b)·c=0,即(1+2入，1-入，-1)·(0,1，-2)=0，得1-入+2=0， 解得入=3.综上可知，选项A、B、D正确. a·b=0, 3.-64-26-17解析：因为a⊥b,a⊥c,b⊥c,所以ac=0,即 bc=0, -x+2y-12=0, x=-64, x-4-4z=0, 解得y=一26， -1-2y+3z=0, z=-17. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.解：(1)2a-3b=2（2,-1,-2)-3(1,1,-4)=(4,-2,-4)- (3,3,-12)=(1,-5,8), |2a-3b|=12+乙i=310. a.b (2)cos<a,b>=Talb 3 2 3×3221 又<a,b>∈[0，，故<a,b>=平 ·独家授权侵权必究·