6.2.2 第1课时 空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

6.2　空间向量的坐标表示 6.2.2　空间向量的坐标表示 第1课时　空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示 第6章　空间向量与立体几何 [学习目标]　1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.　 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.　3.掌握空间向量的平行及线性运算的坐标表示. [素养目标]　水平一:利用空间向量的坐标运算解决平面问题.(数学建模) 水平二:立体几何问题坐标化、代数化.(直观想象) 学习引语 如图,在教室(立体空间)内如何确定电灯位置? 探究活动1　空间直角坐标系及空间中点的坐标表示 内容索引 探究活动2　空间向量的坐标表示及运算 课时作业 巩固提升 探究活动3　空间向量平行的坐标表示及应用 课堂达标·素养提升 4 探究活动1　空间直角坐标系及空间中点的坐标表示 问题　类比平面直角坐标系,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为3,三棱柱的高为2,如何建立适当的空间直角坐标系? 提示　分别取BC,B1C1的中点D,D1,以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示. 1.空间直角坐标系 如图,在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:　　　　　　　,它们都叫作坐标轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点,三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面,分别称为　　　平面、 　　　平面和　　　平面.  知识生成 x轴、y轴、z轴 xOy yOz zOx 2.空间中点的坐标的求法 如图,在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一点P,我们称向量为点P的位置向量.把与向量对应的有序实数组(x,y,z)叫作点P的坐标,记作　　　　　.  P(x,y,z) 温馨提醒　1.基向量:|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0. 2.画空间直角坐标系O-xyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°. 3.建立的坐标系均为右手直角坐标系. 4.坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x轴上 (x,0,0) xOy平面上 (x,y,0) y轴上 (0,y,0) yOz平面上 (0,y,z) z轴上 (0,0,z) zOx平面上 (x,0,z) 坐标原点 (0,0,0) [例1]　已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为a,侧棱长为l,试建立适当的空间直角坐标系,写出各点的坐标. 知识应用 [解]　设正四棱锥的底面中心为点O,因为OA⊥OB,点P在平面ABCD上的射影为O,所以以O为坐标原点,以OA,OB,OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 则OA=a, PA=PB=PC=PD=l, 所以PO==. 故各点坐标依次为A,B,C,D,P. 1.建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上. 2.对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间点的坐标的关键.　 反思感悟 1.如图所示,在底面为矩形的四棱锥D-OABC中,建立空间直角坐标系O-xyz,若OD=2,OA=4,OC=6,M是BD的中点,则点M的坐标为　　 　　.  解析:设点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1,M2,M3,点M1的横坐标为2,点M2的纵坐标为3,点M3的竖坐标为1,所以点M的坐标是(2,3,1). 跟踪训练 (2,3,1) 探究活动2　空间向量的坐标表示及运算 问题　能否由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算,它们是否成立? 提示　成立,空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算. 1.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k.有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=　　　　　　　　　　.  知识生成 (a1,a2,a3) 2.(1)设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 则a+b=　　　　　　　　　　　　,  a-b=　　　　　　　　　　,  λa=　　　　　　　　　,λ∈R.  (2)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=-= 　　　　　　　　　　　　　.这就是说,一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的　　　坐标减去它的　　　坐标.  (x1+x2,y1+y2,z1+z2) (x1-x2,y1-y2,z1-z2) (λx1,λy1,λz1) (x2-x1,y2-y1,z2-z1) 终点 起点 [例2]　如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D', AB=1,BC=2,AA'=3.求: (1)向量,,的坐标; (2)+2,+-2的坐标. 知识应用 [解]　(1)由已知得A(0,0,0),C',B,D', 则=,=,=. (2)+2=+2=, +-2=+-2(0,2,3)=. 1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定,即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.特别地,当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标即是终点的坐标. 2.进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则.　 反思感悟 2.已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3).求点P的坐标,使=(-). 跟踪训练 解:∵=(2,6,-3),=(-4,3,1), ∴-=(6,3,-4). 设点P的坐标为(x,y,z), 则=(x-2,y+1,z-2), ∵(-)==, ∴解得 则点P的坐标为. 探究活动3　空间向量平行的坐标表示及应用 问题　类比平面向量,在空间向量中,a∥b的坐标表示是什么? 提示　a=λb,即===λ. 已知空间向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),且a≠0,则a∥b⇔b=λa⇔ 　　　　　　　　　　　　　　　　　(λ∈R).  若x2y2z2≠0(b与三个坐标平面都不平行),a∥b⇔==. 知识生成 x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1 [例3]　已知空间四点A,B,C和D,求证:四边形ABCD是梯形. 知识应用 [证明]　依题意=,=, 所以=-=-(-2,3,1)=(4,-8,2). 同理=,=,=. 由=2,可知. 考察向量与,由于≠,故不存在实数t,使得=t,即与不共线,所以四边形ABCD是梯形. 判断空间向量平行的步骤 1.向量化:将空间中的平行转化为向量的平行. 2.向量关系代数化:写出向量的坐标. 3.对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或==(x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.　 反思感悟 3.若四边形ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为(　　) A.(5,12,-2) B.(12,5,-2) C.(5,13,-3) D.(13,5,-3) 跟踪训练 C 解析:由四边形ABCD是平行四边形知 =.设D(x,y,z), 则=(x-4,y-1,z-3), 又=(1,12,-6), ∴解得 即点D坐标为(5,13,-3). 4.设a=(2,4,m+1),b=(4,3n-1,8),若a∥b,则m+n=　　　　.  解析:∵a∥b,∴==, ∴m=3,n=3, ∴m+n=6. 6 课堂小结 1．知识清单 (1)空间直角坐标系及空间中点的坐标表示． (2)空间向量的坐标表示及运算． (3)空间向量平行的坐标表示及应用． 2．方法归纳 数形结合． 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知点A,B,则向量的坐标为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析:因为A,B,所以=. A 2.已知向量a=,b=,则a-2b=(　　) A. B. C. D. B 解析:因为a=,b=, 所以a-2b=(-3,2,5)-2(1,5,-1) =(-3,2,5)-(2,10,-2) =. 3.已知a=,则下列向量中与a平行的是(　　) A. B. C. D. B 解析:对于A,因为≠≠,所以A不正确; 对于B,因为==,所以B正确; 对于C,因为≠≠,所以C不正确; 对于D,因为≠≠,所以D不正确. 4.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, B1E=A1B1,则的坐标是　 　　　.  解析:由题图知B(1,1,0),E, 所以=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.在空间直角坐标系O-xyz中,下列说法正确的是(　　) A.向量的坐标与点B的坐标相同 B.向量的坐标与点A的坐标相同 C.向量的坐标与向量的坐标相同 D.向量的坐标与向量-的坐标相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:因为点A,B不一定为坐标原点,所以选项A,B,C都不正确;因为=-,所以选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.点P(-3,8,-5)关于平面xOy对称的点的坐标是(　　) A.　　　　　　　 B.(-3,8,5) C.(3,8,5) D.(-3,-8,5) 解析:点P(-3,8,-5)关于平面xOy对称的点的坐标是(-3,8,5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 3.已知点B,=,则点A坐标为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:设A, 则==, 所以解得 所以点A坐标为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,则向量在基底{i,j,k}下的坐标是(　　) A.(1,1,1) B. C.(3,2,5) D.(3,2,-5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:=++=++ =3i+2j+5k, ∴向量在基底{i,j,k}下的坐标是(3,2,5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.设m是实数,已知a=,b=,若a∥b,则m的值为(　　) A.-6 B.-3 C.3 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 解析:因为a=,b=, 所以∃λ∈R,使得a=λb,即=λ·,即即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(多选)已知向量a=(1,-1,0),b=(2,1,-2),则下列向量中与a,b共面的向量是(　　) A.c1=(3,0,-2) B.c2=(-1,2,2) C.c3=(0,-3,2) D.c4=(5,1,-2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AC 解析:对于A,设c1=xa+yb,则得解得即c1=a+b,故A正确; 对于B,设c2=xa+yb,则得该方程组无解,故不存在x,y的值满足c2=xa+yb,故B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对于C,设c3=xa+yb,则得解得即c3=2a-b,故C正确; 对于D,设c4=xa+yb,则得该方程组无解,故不存在x,y的值满足c4=xa+yb,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.若{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=3i+j-5k,b=2j+2k,则向量a+b的坐标是　　　 　.  解析:a+b=3i+3j-3k=(3,3,-3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3,3,-3) 8.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n=　　　　.  解析:因为=(m-1,1,m-2n-3), =(2,-2,6), A,B,C三点共线,所以==, 解得m=0,n=0,故m+n=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 9.如图,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设=a,=b,=c. (1)用向量a,b,c表示; (2)在如图的空间直角坐标系中,求的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)=+=+=+(-)=+-(+)= -+=-a+b+c. (2)a==(1,0,0),b==(0,1,0), ∵A(0,0,0),P, ∴c==, ∴=-a+b+c=-(1,0,0)+(0,1,0)+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 10.已知空间四点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面,则x的值为(　　) A.4 B.1 C.10 D.11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 解析:=(-2,2,-2),=(-1,6,-8), =(x-4,-2,0). 因为A,B,C,D四点共面,所以,,共面. 所以存在实数λ,μ,使=λ+μ, 即(x-4,-2,0)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ), 所以解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(多选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图,以D为原点建立空间直角坐标系,E为CC1中点,F为A1B1的中点,则(　　) A.= B.= C.= D.= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 BD 解析:由题意可知B,∴=,故A错误;E,∴=,故B正确; F,C,∴=,故C错误; =,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.如图,在三棱锥P-ABC中,∠ABC为直角,PB⊥平面ABC, AB=BC=PB=1,M为PC的中点,N为AC的中点,则以{,,}为基底, 的坐标为　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:=-=(+)-(+)=-,故=. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2). (1)若,,求点D的坐标. (2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)设D(x,y,z), 则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2), =(-x,-y,2-z),=(-1,1,0). 因为,, 所以存在实数m,n,有 解得 即D(-1,1,2). 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)依题意得=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2). 假设存在实数α,β,使得=α+β成立, 则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2) =(-α,α-β,2β), 所以解得 故存在α=β=1, 使得=α+β成立. 13 $$