6.1.3 共面向量定理 课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“共面向量定理”，系统涵盖共面向量含义、定理及线面平行、点共面证明应用。课堂导入从空间向量基础切入，通过“要点深化”先明确共面向量概念及辨析，再引出定理，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点是通过自主诊断、题型分析（如例2线面平行证明、例3四点共面）和跟踪训练，以问题驱动培养数学思维。结合几何直观与向量语言表达，体现数学眼光与语言，总结规律方法助学生掌握策略，提升空间观念和推理能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

第6章　空间向量与立体几何 6.1.3　共面向量定理 【课标要求】 1.了解向量共面的含义. 2.理解共面向量定理. 3.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　共面向量 一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 名师点睛 1.共面向量不仅包括在同一个平面内的向量,还包括平行于同一平面的向量. 2.空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量就不一定共面了. 知识点二　共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xa+yb. 这就是说,向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示. 名师点睛 1.向量p与向量a,b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才能成立的,若a与b共线,则不成立. 2.三个向量共面,又称这三个向量线性相关;若三个向量不共面,则称这三个向量线性无关. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)空间两个单位向量e1,e2一定共面.(　　) (2)若三个非零向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面.(　　) (3)设e1,e2为不共线的两个单位向量,若a=e1+e2,b=e1-2e2,c=2e1-e2,则a,b,c共面.(　　) √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】共面向量的概念 例 1 [链接教材练习,T1]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量是(　　) A.有相同起点的向量 B.等长的向量 C.共面向量 D.不共面向量 C 解析 如图所示,向量显然不是有相同起点的向量,A不正确;由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是模相等的向量,B不正确;又因为,所以共面,C正确,D不正确.故选C. 题后反思　若a,b不共线且同在平面α内,则p与a,b共面的意义是p在α内或p∥α. 跟踪训练1(多选题)下列说法错误的有(　　) A.空间的任意三个向量都不共面 B.空间的任意两个向量都共面 C.三个向量共面,即它们所在的直线共面 D.若p与a,b共面,则存在实数x,y,使p=xa+yb ACD 【题型二】共面向量定理 例 2 [链接教材例5](1)已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=,向量b=,则与a,b必共面的向量为(　　) A B C D B 解析 由已知,得a与b不共线,xa+yb=x()+y()=(x+y)+(-x+y)+(x+y),对于A,若与a,b共面,则存在唯一的有序实数对(x,y),使=xa+yb,即该方程组无解,故选项A错误;对于B,若与a,b共面,则存在唯一的有序实数对(x,y),使=xa+yb,即解得=-a+b,与a,b共面,故选项B正确; 对于C,若与a,b共面,则存在唯一的有序实数对(x,y),使=xa+yb,即该方程组无解,故选项C错误;对于D,由选项A及选项C的判断知,选项D错误.故选B. (2)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形, AB∥CD,AB=4,CD=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.证明:直线EE1∥平面FCC1. 证明 由题意知=2,∵F是AB的中点,∴,∴四边形AFCD是平行四边形,∴.∵E,E1分别是AD,AA1的中点,∴.又∵不共线,根据向量共面的充要条件可知共面.又∵EE1不在平面FCC1内,∴直线EE1∥平面FCC1. 题后反思　如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使p=xa+yb.在判定空间的三个向量共面时,注意“两个向量a,b不共线”的要求. 跟踪训练2(1)若a,b,c不共面,则(　　) A.b-c,b+c,a不共面 B.b+c,b-2c,3c不共面 C.b+c,2a,a+b+c不共面 D.b+c,b-c,2b不共面 A 解析 由题知a,b,c不共面,对于A,因为不存在实数x,y使得x(b-c)+y(b+c)=a成立,故b-c,b+c,a不共面,A正确;对于B,因为(b+c)-(b-2c)=3c,故b+c,b-2c,3c共面,B错误;对于C,因为b+c+×2a=a+b+c,故b+c,2a,a+b+c共面,C错误;对于D,因为(b+c)+(b-c)=2b,故b+c,b-c,2b共面,D错误.故选A. (2)已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD, ,求证:VA∥平面PMN. 证明 如图,设=a,=b,=c,则=a+c-b. 由题意知b-c,a-b+c, 因此. 又不共线,所以共面. 又VA不在平面PMN内,所以VA∥平面PMN. 【题型三】空间四点共面 例 3 (1)[链接教材例6]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是CC1上靠近点C的三等分点,点N满足=t,若N为AM与平面BDA1的交点,则t=(　　) A B C D C 解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由M是CC1上靠近点C的三等分点,得,于是=t=t+t. 由N为AM与平面BDA1的交点,得点N,B,D,A1共面, 则t+t+=1,所以t=.故选C. (2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:A1,B,N,M四点共面. 证明 设=a,=b,=c,则=b-a. ∵M为线段DD1的中点,∴=c-a. 又AN∶NC=2∶1, ∴(b+c), ∴(b+c)-a=(b-a)+(c-a)=,∴为共面向量. 又三个向量有相同的起点A1, ∴A1,B,N,M四点共面. 规律方法　解决向量共面问题的策略 (1)若已知点P在平面ABC内,则有=m+n(m,n∈R)或=x+y+z(x,y,z∈R,x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数. (2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个不共线的向量表示. 跟踪训练3(1)已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,若=2,则A,B,C,M四点共面的充要条件是(　　) A.λ= B.λ= C.λ=- D.λ=- A 解析 A,B,C,M四点共面的充要条件是=x+y=x()+y(),整理可得(1-x-y)-x-y,令1-x-y=z,由=2λ,则解得λ=.故选A. (2)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证: ①E,F,G,H四点共面; ②BD∥平面EFGH.  证明 如图,连接EG,BG. ①因为)=,由向量共面的充要条件知向量共面,即E,F,G,H四点共面. ②因为,所以EH∥BD. 又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH, 所以BD∥平面EFGH. $