6.1.3 共面向量定理（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦共面向量定理这一核心知识点，承接空间向量基本概念，通过生活情境（李老师回家位移合成）引入共面向量概念，系统阐述定理内容，进而延伸至空间共面问题判断、线面平行证明及四点共面等应用，构建完整学习支架。 该资料以情境化问题驱动数学抽象，如通过位移合成引出共面向量概念，培养数学眼光。题型分层设计（判断证明、线面平行、参数求解）强化逻辑推理，配套跟踪训练与课后作业，助力课中教学实施与课后查漏补缺，体现用数学语言解决空间问题的学科特色。

6.1.3　共面向量定理 课标要求 1.了解共面向量的概念，理解共面向量定理（数学抽象）. 2.能运用共面向量定理解决空间中的共面问题（逻辑推理）. 李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处.在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成（如图所示）. 【问题】　以上三个位移是同一个平面内的向量吗？为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　共面向量 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 　　提醒：（1）共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量；（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了. 知识点二　共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得　　　　　　.即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.（　　） （2）空间中任意三个向量一定是共面向量.（　　） （3）若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x＋y.（　　） 2.若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则（　　） A.m，n，p共线 B.m与p共线 C.n与p共线 D.m，n，p共面 3.若＝λ＋μ，λ，μ∈R，则直线AB与平面CDE的关系是　　　　. 题型一｜空间向量共面的判断与证明 【例1】　（链接教科书第15页练习1题）对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是（　　） A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 通性通法 向量共面的判定方法 　　充分利用题目条件将其中一个向量表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb（a，b不共线），则向量p，a，b共面. 【跟踪训练】 1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量，，是（　　） A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量 2.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面. 题型二｜利用共面向量定理证明线面平行 【例2】　（链接教科书第13页例5）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点.求证：EF∥平面PAD. 通性通法 利用空间向量证明线面平行的一般方法 　　证明线面平行时，只需把直线上的一个向量用平面内的两个不共线向量线性表示，并且说明直线在平面外即可. 【跟踪训练】 　如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，E是PD的中点，求证：PB∥平面AEC. 题型三｜共面向量定理的应用 角度1　利用共面向量定理证明四点共面 【例3】　（链接教科书第14页例6）（1）〔多选〕对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　　） A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ （2）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 角度2　利用共面向量定理求参数 【例4】　已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ＝（　　） A.2　　　　　　　　　 B.－2 C.1 D.－1 通性通法 四点共面的证明方法 （1）先证三向量共面，即＝x＋y，又三向量有公共点P，则P，A，B，C四点共面； （2）若存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得对于空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面. 【跟踪训练】 1.已知空间中A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若P为该平面外一点，且＝－x－，则实数x＝（　　） A.－ B.－ C. D. 2.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判定在下列条件下，点P是否与A，B，M共面. （1）＋＝3－； （2）＝4－－. 1.下列说法正确的是（　　） A.空间的任意三个向量都不共面 B.空间的任意两个向量都共面 C.三个向量共面，即它们所在的直线共面 D.若三个向量两两共面，则这三个向量一定也共面 2.已知，是空间两个不共线的向量，＝3－2，那么必有（　　） A.，共线 B.，共线 C.，，共面 D.，，不共面 3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为（　　） A.1 B.0 C.3 D. 4.如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M＝AA1，CN＝CC1，且∠A1AD＝∠A1AB＝∠DAB＝60°.求证：D，M，B1，N四点共面. 提示：完成课后作业　第六章　6.1　6.1.3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.3　共面向量定理 【基础落实】 知识点二 p＝xa＋yb 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）× 2.D　由于（a＋b）＋（a－b）＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面. 3.AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE 解析：∵＝λ＋μ（λ，μ∈R），∴，，共面，∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE. 【典例研析】 【例1】　A　由共面向量定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量. 跟踪训练 1.C　如图所示.向量，，不是有相同起点的向量，故A错误；三个向量的模不一定相等，故B错误；又在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∵＝，而线段D1A，D1C，AC构成△D1AC的三个边，故向量，，是共面向量，故C正确，D错误. 2.证明：因为点M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋＝（ ·＋）＋＋（ ＋）＝＋. 又与不共线，根据共面向量定理可知，，共面. 【例2】　证明：因为＝－＝（＋）－ ＝＋ ＝＋＝＋， 所以向量，，共面， 又EF⊄平面PAD，DA，PD⊂平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 跟踪训练 　证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB＝DC，而E是PD的中点，所以PD＝2ED.所以＝＋＋＝2＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋， 又因为与不共线，可知，，共面， 而PB⊄平面EAC，所以PB∥平面AEC. 【例3】　（1）BC　点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求. （2）证明：设＝a，＝b，＝c，则＝b－a， ∵M为DD1的中点，∴＝c－a. 又∵AN∶NC＝2∶1， ∴＝＝（b＋c）， ∴＝－＝（b＋c）－a＝（b－a）＋（c－a）＝＋， ∴，，为共面向量. 又三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面. 【例4】　B　＝6－4＋λ，即－＝6－4＋λ，整理得＝6－3＋λ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. 跟踪训练 1.C　由共面向量定理的推论，知－x－＝1，解得x＝. 2.解：（1）∵＋＝3－， ∴＝＋（－）＋（－） ＝＋＋， ∴－＝＋， ∴＝＋， ∴，，为共面向量， 又，，过同一点P， ∴P与A，B，M共面. （2）由＝4－－，得4＋（－1）＋（－1）＝2≠1. 又＝x＋y＋z中，P，A，B，M共面的条件为x＋y＋z＝1， ∴P与A，B，M不共面. 随堂检测 1.B 2.C　由共面向量定理知，，，共面. 3.D　∵＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，∴x＝. 4.证明：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，连接MD，DN，NB1，B1M，如图. 因为A1M＝AA1，CN＝CC1， 所以＝＋＝＋＝＋， ＝＋＝＋＝＋， 所以＝，即DN＝MB1且DN∥MB1，所以四边形DMB1N为平行四边形，即D，M，B1，N四点共面. 学科网（北京）股份有限公司 $