6.1.3 共面向量定理（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.1.3 共面向量定理 第六章 空间向量及其运算 苏教版普通高中教科书 数学选择性必修第二册 学 习 目 标 1 2 3 理解共面向量的定义，掌握共面向量定理的内容及推导过程；能运用共面向量定理证明向量共面、线面平行和四点共面问题，提升向量运算和逻辑推理能力。 体会空间向量与平面向量的联系与推广，掌握类比、转化的数学思想方法。 感受空间向量在刻画空间位置关系中的作用，培养空间想象能力；在探究和解题过程中，体验数学的严谨性和逻辑性，增强数学学习的兴趣。 一、激趣导思，明晰任务 问题1： 平面向量中，共线向量的定义是什么？共线向量定理的内容是什么？ 能平移到同一直线上的向量为共线向量； 若a≠0，则b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa。 问题2： 空间中任意两个向量是否可以平移到同一平面内？为什么？ 结合空间向量的平移性，得出任意两个空间向量都是共面向量 二、新知讲解，归纳概括 什么是共面向量的定义？ 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， ， ， 而 ， ， 在同一平面内， 此时，我们称 ， ， 是共面向量。 向量是可以平移的！ 二、新知讲解，归纳概括 1、共面向量的定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量。 注意：任意两个空间向量都是共面向量； 我们知道，任意两个空间向量都是共面向量， 那么任意三个空间向量都是共面向量吗？ 什么样的三个空间向量才是共面向量呢？ 二、新知讲解，归纳概括 2、共面向量的定理 空间中任意向量可以被两个不共线的向量线性表示 三、典例剖析，巩固新知 三、典例剖析，巩固新知 三、典例剖析，巩固新知 三、典例剖析，巩固新知 四、课堂练习，当堂检测 四、课堂练习，当堂检测 四、课堂练习，当堂检测 五、小结反思，提炼升华 1、共面向量的定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量。 2、共面向量的定理 五、小结反思，提炼升华 1.知识层面： 掌握共面向量的定义、共面向量定理的内容，以及四点共面的向量判定方法； 2.方法层面： 学会运用共面向量定理证明向量共面、线面平行和四点共面，掌握“向量分解”的基本方法； 3.思想层面： 体会类比（平面向量→空间向量）、转化（线面平行→向量共面、四点共面→向量共面）的数学思想，感受空间向量对空间几何问题的刻画作用。 六、作业布置，课后提升 基础题： 教材习题6.1的第1、2、5题，巩固共面向量的线性表示和基本运算； 提升题：教材习题6.1的第4、6题，强化线面平行和四点共面的证明； 拓展题：思考教材“思考”问题：若 结合x+y+z=1，能得到什么结论？培养学生的探究能力。 感谢聆听! 例5　如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE. 求证：MN∥平面CDE. 【解析】 因为点M在BD上，且BM＝eq \f(1,3)BD， 所以eq \o(MB,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DB,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))， 同理eq \o(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up16(→))， 所以eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AN,\s\up16(→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up16(→)))) 例5　如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE. 求证：MN∥平面CDE. 所以eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AN,\s\up16(→)) ＝eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up16(→)). 又eq \o(CD,\s\up16(→))与eq \o(DE,\s\up16(→))不共线，根据共面向量定理， 可知eq \o(MN,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))，eq \o(DE,\s\up16(→))共面． 因为MN不在平面CDE内， 所以MN∥平面CDE. 【解析】 类比上述结论，猜想，已知eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))不共面，若eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))＋zeq \o(OC,\s\up16(→))，且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面. 证明如下： 由x＋y＋z＝1，可得x＝1－y－z， 则eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))＋zeq \o(OC,\s\up16(→)) ＝(1－y－z)eq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))＋zeq \o(OC,\s\up16(→)) ＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋y(eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))＋z(eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))， 例6　在平面向量中有如下结论： 已知eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))不共线，若eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))，且x＋y＝1，则P，A，B三点共线． 你能据此得到空间向量中类似的结论吗？ 所以 eq \o(OP,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝yeq \o(AB,\s\up16(→))＋zeq \o(AC,\s\up16(→))， 即eq \o(AP,\s\up16(→))＝yeq \o(AB,\s\up16(→))＋zeq \o(AC,\s\up16(→)). 由 A，B，C三点不共线，可知eq \o(AB,\s\up16(→))和eq \o(AC,\s\up16(→))不共线， 所以eq \o(AP,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))共面且有公共起点A， 所以P，A，B，C四点共面． 例6　在平面向量中有如下结论： 已知eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))不共线，若eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))，且x＋y＝1，则P，A，B三点共线． 你能据此得到空间向量中类似的结论吗？ $