6.2.2第2课时 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量数量积的坐标运算及空间两点间距离公式，涵盖数量积坐标表示、垂直判断、夹角计算及距离公式推导应用，通过衔接空间向量坐标表示基础，搭建从向量表示到坐标运算的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以课标为纲，通过表格对比向量与坐标形式、题型分类（如参数计算、正方体中向量应用）及跟踪训练，培养数学思维（推理与运算能力）和数学语言表达。实例丰富，如正方体动点问题中用坐标运算解决垂直与距离问题，助力学生深化理解，教师可高效开展分层教学。

第6章　空间向量与立体几何 6.2.2　空间向量的坐标表示 第2课时　空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式 【课标要求】 1.会用坐标法计算空间向量的数量积,会判断空间向量的垂直,会求空间两向量的夹角. 2.理解空间两点间距离公式的推导方法. 3.掌握空间两点间的距离公式及简单应用. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　空间向量的数量积 设空间两个非零向量为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),它们的夹角为<a,b>,则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|·cos<a,b> x1x2+y1y2+z1z2 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 模 |a|= |a|= 夹角 余弦 cos<a,b>= cos<a,b>= 名师点睛 (1)数量积的结果为实数. (2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 知识点二　空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 在空间直角坐标系中,设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 (1)AB= (2)线段AB的中点M的坐标为(). 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若P(1,2,2),则OP=(　　) (2)若=(0,2,2),则||=4.(　　) (3)若A(1,4,2),B(-2,1,3),则AB=(　　) (4)已知向量a=(1,-1,-2),b=(1,-3,-3),则a·b=10.(　　) √ × √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】空间向量数量积的坐标运算 例 1 [链接教材练习,T3](1)已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于(　　) A.1 B C D D 解析 由已知得|a|=,|b|=2,且a·b=0,所以(ka+b)·(a+kb)=2,得k|a|2+k|b|2+(k2+1)a·b=2,即2k+8k=2,解得k=.故选D. (2)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是棱CC1上一动点,点O是面ABCD的中心,则的值为(　　) A.1 B C.2 D.不确定 A 解析 如图,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,因为正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,点O是面ABCD的中心,P是棱CC1上一动点,所以A(1,0,0),O(,0).设P(0,1,z),则=(-1,1,z),=(-,0),所以= -1×(-)+1×+0·z=1,故选A. 题后反思　关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量数量积的坐标运算公式计算. (2)求参数值问题 首先把向量用坐标形式表示出来,然后通过数量积运算建立方程(组),解方程(组)求出参数. 跟踪训练1(1)若a=(2,3,2),b=(1,2,2),c=(-1,2,2),则(a-b)·c的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 C 解析 因为a=(2,3,2),b=(1,2,2),c=(-1,2,2),所以(a-b)·c=(1,1,0)·(-1,2,2) =-1+2+0=1.故选C. (2)已知O为原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则取得最小值时,点Q的坐标为(　　) C 解析 若点Q在直线OP上运动,则,设=t=(t,t,2t),于是有Q(t,t,2t).因为=(1,2,3),=(2,1,2),所以A(1,2,3),B(2,1,2),因此=(1-t,2-t, 3-2t),=(2-t,1-t,2-2t),于是得=(1-t)(2-t)+(2-t)(1-t)+(3-2t)(2-2t) =6t2-16t+10=6(t-)2-,则当t=时,()min=-,此时点Q(),所以当取得最小值时,点Q的坐标为().故选C. 【题型二】空间向量数量积坐标运算的应用 角度1空间向量模长及两点间距离公式问题 例 2 [链接教材例4](1)如图,在边长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,=3,点P在底面正方形ABCD上移动(包含边界),且满足B1P⊥D1E,则线段B1P的长度的最大值为(　　) A B C.3 D B 解析 依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,3),E(1,3,0),B1(3,3,3),设P(x,y,0)(x,y∈[0,3]), 所以=(x-3,y-3,-3),=(1,3,-3), 即=x+3y-3=0⇒x=3-3y, 所以0≤3-3y≤3⇒y∈[0,1], 而||=, 由二次函数的单调性可知t=10y2-6y+18=10(y-)2+18-,当y=1时,tmax=22,则|B1P|max=.故选B. (2)若a=(2,3,5),b=(0,1,-4),则|a-2b|=　　　　　.  解析 a-2b=(2,3,5)-2×(0,1,-4)=(2,1,13), 故|a-2b|=.故答案为. 规律方法　(1)若a=(a1,a2,a3),则|a|= (2)利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 跟踪训练2已知点M(3,2,1),N(1,0,5),求: (1)线段MN的长度; (2)到M,N两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件. 解 (1)根据空间两点间的距离公式得 MN==2, 所以线段MN的长度为2. (2)因为点P(x,y,z)到M,N两点的距离相等,所以 =,化简得 x+y-2z+3=0, 因此,到M,N两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是x+y-2z+3=0. 角度2空间向量垂直问题 例 3 [链接教材练习,T2]已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,若棱AD上存在点M,使得B1M⊥MC,则AB的取值范围是(　　) C 解析 如图,以A为坐标原点,以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AM=x(0≤x≤1),AB=a(a>0),则M(0,x,0),B1(a,0,1),C(a,1,0),所以=(-a,x,-1),=(a,1-x,0).因为B1M⊥MC,所以,所以=-a2+x(1-x)=0,即a=,当0≤x≤1时,a∈(0,),所以AB的取值范围是(0,],故选C. 规律方法　若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. 跟踪训练3(1)已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a⊥(a+b),则y的值为(　　) A.6 B.10 C.12 D.14 C 解析 因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=(2,-1,3)·(2-4,-1+y,3+2)=-4+1-y+15=0,解得y=12,故选C. (2)已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2). ①求|a-2b|; ②当|c|=2时,向量ka+b与c垂直,求实数x和k的值. 解 ①∵a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2), ∴a-2b=(-2,-1,2)-2(-1,1,2)=(0,-3,-2), ∴|a-2b|=. ②∵|c|=2,∴=2, 解得x=0,c=(0,2,2). ∵ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2),且向量ka+b与c垂直,∴(ka+b)·c=0, 即2-2k+4k+4=2k+6=0,∴k=-3. ∴实数x和k的值分别为0和-3. 角度3空间向量夹角问题 例 4 [链接教材习题6.2,T8](1)(多选题)设空间两个单位向量=(m,n,0),=(0,n,p)与向量=(1,1,1)的夹角都等于,则cos∠AOB=(　　) A B C D AC 解析 ∵空间两个单位向量=(m,n,0),=(0,n,p)与向量=(1,1,1)的夹角都等于,∴∠AOC=∠BOC=,||=.∵ =||·||·cos∠AOC=,又=m+n,∴m+n=.又为单位向量,∴m2+n2=1,联立 =(m,n,0),=(0,n,p),∴cos∠AOB=n2=.故选AC. (2)已知空间向量a=(x,1,-2)与b=(1,-1,2)夹角为钝角,则实数x的取值范围为　　 　.  (-∞,-1)∪(-1,5)　 解析 因为空间向量a=(x,1,-2)与b=(1,-1,2)夹角为钝角,所以cos<a,b>=<0,得到x-1-4<0,即x<5, 由,得到x=-1,此时a=(-1,1,-2)与b=(1,-1,2)共线反向,夹角为π,不合题意, 所以实数x的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,5).故答案为(-∞,-1)∪(-1,5). 规律方法　若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cos<a,b>=(a≠0,b≠0). 跟踪训练4(1)已知A(1,0,0),B(0,-1,1),+的夹角为120°,则λ的值为(　　) A.- B.- C.± D.± A 解析 因为+λ=(1,0,0)+λ(0,-1,1)=(1,-λ,λ),=(0,-1,1),所以|+λ|=,||=,(+λ)·=2λ,所以cos 120° ==-,所以λ<0,且4λ=-,解得λ=-.故选A. (2)若a=(-1,λ,-2),b=(2,-2,-1),a与b的夹角为,则λ的值为　　　.  - 解析 因为a=(-1,λ,-2),b=(2,-2,-1),a与b的夹角为,所以cos ,解得λ=-.故答案为-. A. B. C. D. A.0, B.,1 C.0, D.,1 $