6.2.2第2课时空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式同步练习-2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

6.2.2　空间向量的坐标表示 第2课时　空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式 一、基础达标 1.已知a=(-1,3,1),b=(2,0,-4),c=(3,-2,3),则a·(b+c)=(　　) A.-12 B. C.2 D. 2.已知a=(2,-1,-1),b=(k,-1,2),若a+b与a垂直,则k=(　　) A.- B.-2 C.2 D. 3.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为(1,2,2),(2,-2,1),则||等于(　　) A.18 B.12 C.2 D.3 4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量的夹角为(　　) A.- B. C. D. 5.(多选题)已知a=(1,2,0),b=(-2,0,1),a与b的夹角为θ,则下列判断错误的有(　　) A.a⊥b B.a∥b C.|a|=|b| D.cos θ= 6.在空间直角坐标系中,向量a满足|a|=3,且与向量b=(1,1,1)的夹角的余弦值为,请写出一个向量a的坐标:　　　　.  7.已知a=(1,4,-2),b=(-2,2,4). (1)若(ka+b)⊥(a-3b),求实数k的值; (2)若c=b,求cos<a,c>的值. 二、能力提升 8.(2024通州高二月考)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k=(　　) A. B.1 C. D. 9.设x,y∈R,a=(1,1,1),b=(1,y,z),c=(x,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|2a+b|=(　　) A.2 B.0 C.3 D.3 10.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 11.(多选题)已知空间向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),c=(1,3,4),则下列说法正确的是(　　) A.|b|>|c| B.b·c=7 C.若a⊥(λb-c),则λ=-4 D.与a方向相同的单位向量为(,0) 12.已知空间有三点A(1,0,-1),B(0,2,1),C(3,6,1),若在直线BC上存在一点M,使得AM⊥BC,则点M的坐标为　　　　　.  13.已知向量a=(1,1,0),b=(m,0,2),cos<a,b>=-,若向量a+kb与2a+b所成角为钝角,则实数k的取值范围是　　　　　.  14.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=. (1)若|c|=3,c∥,求c; (2)求a与b的夹角的余弦值; (3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k. 三、拓展探究 15.(多选题)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段A1C上一点,则∠APD1可以为(　　) A. B. C. D. 16.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)若,且||=2,求点P的坐标; (2)求以为邻边的平行四边形的面积. 参考答案 1.A　由已知可得,b+c=(5,-2,-1),所以a·(b+c)=-1×5+3×(-2)+1×(-1)=-12.故选A. 2.A　∵a+b=(k+2,-2,1),∴(a+b)·a=2k+4+2-1=0,解得k=-.故选A. 3.D　由题意,得||==3.故选D. 4.D　由已知得=(2,-2,4)-(2,-5,1)=(0,3,3),=(1,-4,1)-(2,-5,1)=(-1,1,0),所以cos<>=.因为空间向量的夹角θ范围是0°≤θ≤180°,所以向量的夹角为.故选D. 5.ABD　对于A,a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2≠0,故A错误;对于B,设a=λb,则则λ无解,故B错误;对于C,|a|=,|b|=,所以|a|=|b|,故C正确;对于D,cos θ==-,故D错误. 故选ABD. 6.(1,2,2)(答案不唯一)　设a=(x,y,z),由则向量a的一个坐标为(1,2,2).(答案不唯一,坐标(x,y,z)满足即可) 7.解 (1)ka+b=k(1,4,-2)+(-2,2,4)=(k-2,4k+2,-2k+4),a-3b=(1,4,-2)-3(-2,2,4)=(7,-2,-14),由(ka+b)⊥(a-3b),即(ka+b)·(a-3b)=0,∴7(k-2)-2(4k+2)-14(-2k+4)=0,解得k=. (2)由已知得c=b=(-1,1,2),a=(1,4,-2), ∴cos<a,c>==-. 8.A　∵a=,b=, ∴ka+b=,2a-b=. 又∵ka+b与2a-b互相垂直,∴=0, ∴3k-3+2k-4=0,解得k=.故选A. 9.D　由a⊥c⇒a·c=0⇒x-4+2=0⇒x=2,由b∥c⇒⇒y=-2,z=1.所以|2a+b|=|2(1,1,1)+(1,-2,1)|=|(3,0,3)|=3.故选D. 10.C　由题意知,a+b=(-1,-2,-3)=-a, 故(a+b)·c=-a·c=7,得a·c=-7, 而|a|=, 所以cos<a,c>==-,所以<a,c>=120°. 11.BC　对于A,∵|b|=,|c|=,∴|b|<|c|,A错误;对于B,b·c=-1×1+0×3+2×4=7,B正确;对于C,∵λb-c=(-λ-1,-3,2λ-4),∴a·(λb-c)=-λ-1-3=0,解得λ=-4,C正确;对于D,a=(,0),D错误.故选BC. 12.(-,1)　设M(x,y,z),则=(x-1,y,z+1),=(x,y-2,z-1),又=(3,4,0),,则解得即点M的坐标为(-,1).故答案为(-,1). 13.k<-1　因为a=(1,1,0),b=(m,0,2),cos<a,b>=-,所以cos<a,b>==-,解得m=-1,所以b=(-1,0,2),所以a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).因为向量a+kb与2a+b所成角为钝角,所以(a+kb)·(2a+b)=1-k+2+4k<0,解得k<-1.若向量a+kb与2a+b共线,则,解得k=,此时a+b与2a+b共线同向,综上可得k<-1. 14.解 (1)因为=(-2,-1,2),且c∥,所以可设c=λ=(-2λ,-λ,2λ). 又|c|=3,则=3|λ|=3,得λ=±1. 故c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)由题可得a==(1,1,0),b==(-1,0,2), 则cos<a,b>==-. (3)由(2)得|a|=,|b|=,a·b=-1. 又ka+b与ka-2b互相垂直,则(ka+b)·(ka-2b)=0⇔k2a2-ka·b-2b2=0⇔k2|a|2-ka·b-2|b|2=0⇔2k2+k-10=0,解得k=2或k=-. 15.BD　如图,分别以A1B1,A1D1,A1A为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),D1(0,1,0),C(1,1,1),A1(0,0,0),=(1,1,1),P在线段A1C上,则=t=(t,t,t)(0≤t≤1),即P(t,t,t),=(-t,-t,1-t),=(-t,1-t,-t),cos∠APD1==1-=1-,易知t=时,3t2-2t+1=为最小值,又t=0时,3t2-2t+1=1,t=1时,3t2-2t+1=2,所以≤3t2-2t+1≤2,从而-≤1-,即-≤cos∠APD1≤.因为0≤∠APD1≤π,所以≤∠APD1≤.故选BD. 16.解 (1)∵,∴设=λ, 又=(3,-2,-1),∴=(3λ,-2λ,-λ), 又||==2,得λ=±2, ∴=(6,-4,-2)或=(-6,4,2). 又A(0,2,3),设P(x,y,z), ∴ ∴P(6,-2,1)或(-6,6,5). (2)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2), cos<>=, 又<>∈[0,π],∴∠BAC=. ∴以为邻边的平行四边形的面积 S=||||sin=14×=7. 1 学科网（北京）股份有限公司 $