6.2.1 空间向量基本定理 课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，涵盖定理内容、基底概念及推论，通过课标要求导入，衔接平面向量知识，结合自主诊断辨析基底正误，搭建从平面到空间的学习支架。 其亮点是题型分层设计，含基底判断、向量表示及定理应用，如例1用反证法判断基底培养推理能力，例3结合正四面体求模长与垂直提升运算能力。学生能发展空间观念，教师可借助题后反思高效教学。

第6章　空间向量与立体几何 6.2.1　空间向量基本定理 【课标要求】 1.掌握空间向量基本定理及其推论,理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示,而且这种表示是唯一的. 2.在简单问题中,会选择适当的基底来表示任一个空间向量. 要点深化·核心知识提炼 知识点　空间向量基本定理及其推论 1.空间向量基本定理:如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xe1+ye2+ze3. 2.基底的有关概念 定义在空间向量基本定理中,如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么空间的每一个向量都可由向量e1,e2,e3线性表示.我们把{e1,e2,e3}称为空间的一个基底,e1,e2,e3叫作基向量 正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫作正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示 3.空间向量基本定理的推论 设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x+y+z 名师点睛 1.任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底. 2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念. 3.不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同. 4.任意一个空间基底都可生成空间的所有向量. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)零向量可以作为一个基向量.(　　) (2)空间的基底有且仅有一个.(　　) (3)两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底.(　　) (4)若PA,PB,PC能构成空间的一个基底,则P,A,B,C四点不共面.(　　) × × √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】基底的判断 例 1 [链接教材练习,T1]已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{}能否作为空间的一个基底. 解 假设共面,则存在实数x和y,使得=x+y,则e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,所以此方程组无解,所以不共面,所以{}能作为空间的一个基底. 规律方法　基底的判断思路 判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面.若不共面,就可以作为一个基底.常用反证法来判断. 跟踪训练1(多选题)下列结论正确的是(　　) A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线 C.若a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R且λ,μ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底 D.若不能构成空间的一个基底,则O,A,B,C四点共面 BD 解析 对于选项A,任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底,所以A错误;对于选项B,三个非零向量不共面,则此三个向量可以构成空间的一个基底,若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这三个向量共面,则已知的两个向量共线,所以选项B正确;对于选项C,因为c=λa+μb(λ,μ∈R且λ,μ≠0),所以a,b,c共面,不能构成基底,所以选项C错误;对于选项D,因为共起点,若O,A,B,C四点不共面,则必能作为空间的一个基底,所以选项D正确.故选BD. 【题型二】用基底表示空间向量 例 2 [链接教材例1](1)已知{a,b,c}是空间的一个基底,向量p=a+2b+3c,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,用基底{a+b,a-b,c}表示向量 p=　　　 　　.  (a+b)-(a-b)+3c 解析 设p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,即a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc.因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以有所以p=(a+b)-(a-b)+3c. 故答案为(a+b)-(a-b)+3c. (2)如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设=a, =b,=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示 解 如图,连接BO, 则) =(-b-a+c) =-a-b+c, =-a+=-a+)=-a-b+c, ) =-a+c+(-c+b)=-a+b+c, a. 题后反思　对于第(1)题,本质上是用三个向量线性表示第四个向量,用待定系数法即可;对于第(2)题反映了用基底表示向量的步骤:①定基底,根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.②找目标,用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.③下结论,利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 跟踪训练2(1)定义:设{a1,a2,a3}是空间的一个基底,若向量p=xa1+ya2+za3,则称实数组(x,y,z)为向量p在基底{a1,a2,a3}下的坐标.已知{a,b,c}是空间的单位正交基底,{2(a-b),b,2b-c}是空间的另一个基底.若向量p在基底{2(a-b), b,2b-c}下的坐标为(1,-2,1),则向量p在基底{a,b,c}下的模长为(　　) A.3 B C.9 D.6 A 解析 由题意得向量p在基底{2(a-b),b,2b-c}下的坐标为(1,-2,1),则 p=2(a-b)-2b+2b-c=2a-2b-c, 所以向量p在{a,b,c}下的坐标为(2,-2,-1), 所以模长为=3,故A项正确.故选A. (2)(多选题)如图,点M是四面体OABC的棱BC的中点,点N是△OBC的重心,点P在线段AN上,且=2,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　　) Ab+c Bb+c+a Cb+c-a Da+b+c AD 解析 因为点N是△OBC的重心,所以,对于A,)=b+c,A正确;对于B,b+c-a,B错误;对于C,b+c)-a=b+c-a,C错误;对于D,=a+b+c-a)=a+b+c,D正确.故选AD. 【题型三】空间向量基本定理的应用 例 3 已知正四面体OABC的棱长为2,点G是△OBC的重心,点M是线段AG的中点,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示,并求出||; (2)求证:OM⊥BC. (1)解 由点M是线段AG的中点,得),由点G是△OBC的重心,得×()=),所以)=)]=a+b+c.因为正四面体OABC中,|a|=|b|=|c|=2,∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°,故a·b=a·c=b·c=2×2×=2,所以=(a+b+c)2=a2+b2+c2+a·b+a·c+c·b=2,即||=. (2)证明 由(1)可知,a+b+c,=c-b,所以 =(a+b+c)·(c-b)=a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c=0,所以OM⊥BC. 题后反思　用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤:首先根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的空间向量,也可以确定一个单位正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量.最后把空间向量的运算转化为基向量的运算. 跟踪训练3如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱的长度都为1,且两两夹角为60°.求: (1)AC1的长; (2)异面直线BD1与AC所成角的余弦值. 解 (1)设=a,=b,=c, 则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°, 所以a·b=b·c=c·a=. ||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×()=6, 所以||=,即AC1的长为. (2)因为=b+c-a,=a+b,所以||=,||==(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1,所以cos<>=,所以异面直线BD1与AC所成角的余弦值为. $