第6章 培优课空间直角坐标系的构建策略课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何中空间直角坐标系的构建策略，通过“用墙角、造墙角、找直角”三种方法，结合例题解析与跟踪训练，搭建从空间向量知识到立体几何问题解决的学习支架，帮助学生掌握建系关键步骤。 其亮点在于以题型分类为框架，通过题后反思提炼方法，培养学生数学思维（逻辑推理）和数学语言（向量坐标表达）。例如例2通过作辅助线构造垂直关系建系，体现探究过程，跟踪训练强化应用。学生能提升空间观念和解题能力，教师可高效开展分层教学。

第6章 空间向量与立体几何 培优课 空间直角坐标系的构建策略 1 要点深化·核心知识提炼 2 利用空间向量的方法解决立体几何问题,关键是依托图形建立空间直角坐标系,将 其他向量用坐标表示,通过向量运算,判定或证明空间元素的位置关系,以及空间角、空 间距离问题的探求,所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要.下面简述空间建系的 三种方法,以求能对空间几何问题做到有的放矢,化解自如. 3 题型分析·能力素养提升 4 【题型一】用“墙角” 例1 已知直四棱柱中,,底面是直角梯形,为直角,, , ,,试求异面直线与 所成角的余弦值. 解 如图,以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴、 轴、轴,建立空间直角坐标系 , 则,,, , 所以, , 所以, . 题后反思 用墙角：有三条两两垂直的直线,直接建系. 故异面直线与所成角的余弦值为 . 5 跟踪训练1 如图,在三棱柱中,四边形 是边长为4 的正方形.平面 平面,, . （1）求证： 平面 ; 证明 因为四边形为正方形,所以 . 因为平面 平面,且平面 平面 , 所以 平面 . 6 （2）求二面角 的余弦值; 解 由（1）知,, . 由题意知,,,,所以 . 7 如图,以为原点建立空间直角坐标系,则 , , ,,所以, . 设平面的一个法向量为,则 即 令,则,,所以 . 同理,可得平面的一个法向量为 , 所以, . 由题知二面角为锐角,所以二面角 的余 弦值为 . 8 （3）证明：在线段上存在点,使得,并求 的值. 证明 设是线段上的一点,且 , 所以,解得 , , ,所以 . 由,即,解得 . 因为,所以在线段上存在点,使得,此时 . 9 【题型二】造“墙角” 例2 如图,在四棱锥中, ,,与 都 是边长为2的等边三角形. 10 （1）证明： ; 证明 如图,取的中点，连接，可得四边形 是正方形.过点作 平面，垂足为 ，连接 , ,,.因为与 都是等边三角形， 所以，所以，因此， 是 正方形的对角线的交点，可得.因为 平面 ，所以是在平面内的射影，所以.因为在中，, 分 别为,的中点，所以，所以 . 11 （2）求二面角 的余弦值. 解 以为原 点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为 轴,建立如图所 示的空间直角坐标系 , 则,,,,所以 , , 设平面的一个法向量为 , 则取,得 , 设平面的一个法向量为 , 12 则取,得 . 设二面角的平面角为 ,则 为钝角, 则 . 二面角的余弦值为 . 题后反思 造墙角：通过作辅助线并加以证明,“造”出“墙角”,从而可建系. 跟踪训练2 如图,在三棱柱中, 平面,为棱 的中点,已知 ,,, ,试建立合适的空间直角坐标系,求出图中所有点 的坐标. 14 解 如图,过点作垂直交于 点. 因为 平面, 平面,所以 . 因为,所以 平面 . 以为坐标原点,,,所在直线为轴、轴、 轴,建立空间 直角坐标系 . 因为,,, , 所以,,,则各点坐标分别为 , ,,,,,,,,,,, . 15 【题型三】找“直角” 例3 如图,在四棱锥中,底面为菱形, 底面, , ,是上的一点, . 16 （1）证明: 平面 ; 证明 以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 , 设,则,,,0, , , ,,,, , , , ,,, 平面 . 17 （2）设二面角的大小为 ,求与平面 所成角的大小. 解 , , 设平面的法向量为 , 则 取 . 设平面的法向量为 , 则 18 取,, . 平面 平面,,故 , , , , . 设与平面所成的角为 , , 则, , 与平面所成角的大小为 . 题后反思 本题中没有三条两两垂直的直线,但有许多垂直的直线,可作为两条坐标轴. 跟踪训练3 如图1,在等腰梯形中,,, ,是 的 中点.将沿折起,使平面 平面（如图2）,连接,.求平面 与 平面 所成的锐二面角的大小. 图1 图2 20 解 如图,取的中点,连接, . 因为在等腰梯形中,,, ,是 的中点, 所以与 都是等边三角形, 所以, . 又平面 平面,平面 平面, 平面,所以 平面 ,所以 . 以为坐标原点,,,所在直线为轴、轴、 轴, 21 建立空间直角坐标系 ,如图, 则,,, , 所以, . 设平面的法向量为 , 则 取,得 , 又因为平面的法向量 , 所以, , 所以平面与平面所成的锐二面角为 . 22 $