6.2.1 空间向量基本定理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

该高中数学课件围绕空间向量基本定理展开，涵盖基底、正交基底及推论等核心知识。通过“知识辨析”问题导入，如“空间向量能否用三个给定向量表示”，衔接平面向量知识，搭建从二维到三维的学习支架，帮助学生理解基底概念及唯一性。 其亮点在于以问题驱动和典例分析为特色，结合数学思维与数学语言，如正四面体中用基底表示向量并证明线面垂直，培养学生推理能力与空间观念。采用“一语破的”小结明确关键结论，助力学生构建知识体系，教师可提升教学效率，学生能深化空间向量的理解与应用。

6.2　空间向量的坐标表示 6.2.1　空间向量基本定理 必备知识 清单破 知识点 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 　　如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 p= xe1+ye2+ze3. 2.基底 　　如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么空间的每一个向量都可由向量e1,e2,e3线性表示.我们把 {e1,e2,e3}称为空间的一个基底,e1,e2,e3叫作基向量. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 　　如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫作正交基底.特别地,当 一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示. 3.推论 　　设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得  =x +y +z . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 知识辨析 1.空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示吗? 2.若a,b,c能构成空间的一个基底,则a,b,c中会不会有零向量? 3.空间向量的基底是否唯一?对于某一空间向量,它的表达式是否唯一? 4.已知e1,e2,e3不共面,且 =e1+2e2-e3, =-3e1+e2+2e3, =e1+e2-e3,则{ , , }能否作为空 间的一个基底? 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 一语破的 1.不一定.空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量表示. 2.不会.构成基底的三个向量不共面,而零向量与任意向量都共线,从而与任意向量都共面,所 以a,b,c中不会有零向量. 3.基底不唯一,但是当基底选定之后,空间中的向量均可由该基底唯一表示.对于某一空间向 量,它的表达式并不唯一. 4.能.假设 , , 共面,则存在实数λ,μ,使得 =λ +μ ,∴e1+2e2-e3=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+ (2λ-μ)e3,∴ 此方程组无解,∴ , , 不共面,∴{ , , }能作为空间的一个 基底. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 　  1.用基底表示空间向量 　　若未给定基底,则先选择基底,选择时,要尽量选择共起点的三个向量,再看基向量的模及 其夹角是否已知或易求.基底确定后,利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则和共线 向量的特点,把目标向量逐步分解,向基底靠近,最后化简整理求出结果. 2.用基底法解决立体几何问题 　　利用基底法可解决立体几何中线面关系问题及与夹角、距离(长度)有关的问题,解题时, 首先要确定基底,将所需向量用基底表示出来,然后通过向量运算解决问题.基底法是向量法 中的一种. 关键能力 定点破 定点 空间向量基本定理的应用 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例　如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,E是棱CD的中点,O在线段BE上,且 =2 .设  =a, =b, =c,以{a,b,c}为基底,用向量法解决下列问题: (1)用基底表示向量 ; (2)证明:AO⊥平面BCD.   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解析    (1)连接AE. = + = +  = + ( - )=  +  =  + × ( +  )=  +  +  = a+ b+ c. (2)证明:由题意知,a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a= , = - =b-a, = - =c-a. ∵ · = (a+b+c)·(b-a)= (a·b-a2+b2-b·a+c·b-c·a)=0,∴ ⊥ ,∴AO⊥BC. ∵ · = (a+b+c)·(c-a)= (a·c-a2+b·c-b·a+c2-c·a)=0,∴ ⊥ ,∴AO⊥BD. 又BC∩BD=B,BC,BD⊂平面BCD, ∴AO⊥平面BCD. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 $