6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，核心内容为直线的方向向量、平面的法向量及平面方程表示。课堂导入从空间向量基础出发，通过概念辨析搭建知识支架，衔接立体几何后续学习。 其亮点在于以“数学眼光”抽象概念本质，“数学思维”通过正方体、四棱锥等实例训练推理与运算，“数学语言”用方程和向量表达空间关系。题型与跟踪训练结合具体几何体，帮助学生从具体到抽象，教师使用能系统落实课标，提升教学效率。

第6章　空间向量与立体几何 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 【课标要求】 1.了解直线的方向向量与平面的法向量. 2.会用待定系数法求平面的法向量. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　直线的方向向量 把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量. 名师点睛 (1)在空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合. (2)在直线上取有向线段表示的向量,或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量,均为直线的方向向量.一条直线的方向向量有无数个. 知识点二　平面的法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作n⊥α.此时,我们把向量n叫作平面α的法向量. 名师点睛 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无数个,它们相互平行. 知识点三　平面的方程表示 1.在空间直角坐标系中,平面可以用关于x,y,z的三元一次方程来表示. 2.平面α经过点P(x0,y0,z0),平面α的一个法向量为n=(A,B,C),M(x,y,z)是平面α内任意一点,则平面α可以用方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0来表示. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)表示平面的方程都是三元一次方程.(　　) (2)经过点(1,2,3),且以(4,5,6)为法向量的平面可以用方程 4(x-1)+5(y-2)+6(z-3)=0来表示.(　　) (3)若一个平面可以用方程(x-1)-3(y-2)+4(z-3)=0来表示,则向量(2,6,8)为它的一个法向量.(　　) × √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】直线的方向向量 例 1 [链接教材练习,T5]在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为　　　　　,直线BC1的一个方向向量为　　　 　　.  (0,0,1)　 　(0,1,1)(答案不唯一) 解析 因为DD1∥AA1,=(0,0,1),故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1). 因为BC1∥AD1,=(0,1,1), 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1). 题后反思　理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量. (2)直线的方向向量不唯一. 跟踪训练1已知向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是(　　) A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 A 解析 由题意得a∥b,所以 解得x=-1. 【题型二】平面的法向量 例 2 [链接教材例1](1)已知点A(1,2,3),B(1,1,0),C(0,1,1),则下列向量是平面ABC的法向量的是(　　) A.(-1,3,-1) B.(-1,-3,-1) C.(1,3,1) D.(-1,3,1) A 解析 由题意知=(0,-1,-3),=(-1,-1,-2),对于A,∵(-1,3,-1)·(0,-1,-3)=0-3+3=0,(-1,3,-1)·(-1,-1,-2)=1-3+2=0,∴(-1,3,-1)与均垂直,∴(-1,3,-1)是平面ABC的一个法向量,A正确;对于B,∵(-1,-3,-1)·(-1,-1,-2)=1+3+2=6, ∴(-1,-3,-1)与不垂直,∴(-1,-3,-1)不是平面ABC的一个法向量,B错误;对于C,∵(1,3,1)·(0,-1,-3)=0-3-3=-6,∴(1,3,1)与不垂直,∴(1,3,1)不是平面ABC的一个法向量,C错误;对于D,∵(-1,3,1)·(0,-1,-3)=0-3-3=-6,∴(-1,3,1)与不垂直,∴(-1,3,1)不是平面ABC的一个法向量,D错误.故选A. (2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点.以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系. ①求平面BCC1B1的一个法向量; ②求平面MCA1的一个法向量. 解 ①因为y轴垂直于平面BCC1B1,所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. ②因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点,所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2),因此=(-3,2,0),=(0,-2,2). 设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量,则n2⊥,n2⊥,所以　所以 取z=3,则x=2,y=3,于是n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量. 规律方法　确定平面法向量的两种方法 (1)几何体中有具体的直线与平面垂直,只需证明线面垂直,取该垂线的方向向量即得平面的法向量; (2)几何体中没有具体的直线与平面垂直,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下: 一 设出平面的法向量为n=(x,y,z) 二 找出(求出)平面中两个不共线的向量的坐标a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 三 根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 四 解方程组,取其中的一个解作为法向量(由于一个平面的法向量有无数个,因此可在方程组的解中取一个较简单的作为平面的一个法向量) 跟踪训练2(1)已知a,b是平面α内的两个不共线的向量,a=(1,2,3),b=(2,1,-1),求平面α的一个法向量. 解 设n=(x,y,z)是平面α的一个法向量,则 不妨设z=1,得解得 ∴n=(,-,1)是平面α的一个法向量. (2)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=,建立适当的空间直角坐标系,分别求平面SCD与平面SBA的一个法向量. 解 ∵SA⊥底面ABCD,底面是直角梯形,且∠ABC=90°, ∴SA,AD,AB两两垂直. 以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),D(,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),则=(,1,0),=(-,0,1), 易知向量=(,0,0)是平面SAB的一个法向量. 设n=(x,y,z)为平面SDC的一个法向量, 则 即取x=2,则y=-1,z=1, 所以平面SDC的一个法向量为n=(2,-1,1). 【题型三】平面的方程表示 例 3 [链接教材例2]在空间直角坐标系中,经过点A(1,2,3),且法向量为 n=(-1,-2,1)的平面的方程为(　　) A.x+2y-z-2=0 B.x-2y-z-2=0 C.x+2y+z-2=0 D.x+2y+z+2=0 A 解析 在平面上任取一点P(x,y,z), ∴=(x-1,y-2,z-3). ∵平面的一个法向量为n=(-1,-2,1), ∴-(x-1)-2(y-2)+(z-3)=0, ∴x+2y-z-2=0.故选A. 规律方法　求平面的方程的两种方法 法向 量法 利用法向量与平面内的任一向量垂直,即n=0求解,其中n为平面的法向量,为平面内的任一向量 待定 系数法 设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0,然后代入相关点的坐标解方程(组) 跟踪训练3(1)在空间直角坐标系中,设平面α经过点P(-1,2,-2),平面α的一个法向量为n=(-1,1,2),M(x,y,z)是平面α内任意一点,求x,y,z满足的关系式. (2)在空间直角坐标系中,已知点P(1,1,2),Q(-1,-2,-3),R(0,1,-1),求经过P,Q,R三点的平面的方程. 解 (1)由题得=(x+1,y-2,z+2). 因为n是平面α的一个法向量,所以n⊥,从而n·=0,即(-1,1,2)·(x+1,y-2,z+2)=0,得到x-y-2z-1=0. (2)设经过P,Q,R三点的平面的方程为Ax+By+Cz+D=0,则令B=-1,求解后得A=9,C=-3,D=-2,所以经过P,Q,R三点的平面的方程为9x-y-3z-2=0. $