6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 6.3.2 空间线面关系的判定（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间向量的应用，涵盖直线方向向量、平面法向量的概念及求法，线面关系判定与探索性问题解决，通过知识辨析衔接向量基础与立体几何应用，搭建从概念到实践的学习支架。 其亮点在于结合数学眼光（空间观念）、数学思维（推理能力）设计内容，如正方体线面平行证明提供坐标法与基底法，引导逻辑推理，探索性问题培养创新意识。学生能提升空间想象与运算能力，教师可高效开展分层教学。

6.3　空间向量的应用 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量    6.3.2　空间线面关系的判定 必备知识 清单破 知识点 1 直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量 　　我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量. 2.平面的法向量 (1)平面的法向量的概念:如果表示非零向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,那么称向 量n垂直于平面α,记作n⊥α.此时,我们把向量n叫作平面α的法向量. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 (2)待定系数法求平面的法向量的步骤: ①设平面的法向量为n=(x,y,z); ②在平面内找两个不共线向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3);(可以利用平面上点的坐标来求向量的 坐标) ③建立方程组  ④解方程组:用一个未知量表示其他两个未知量,然后对用来表示两个未知量的未知量赋予 特殊值(不能取0,赋值时一般尽量保证x,y,z∈Z,这样求得的法向量在后续解题运算中更为简 便),从而得到平面的一个法向量. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 知识拓展 　　若平面α的一个法向量为n=(A,B,C),且平面α经过点P(x0,y0,z0),M(x,y,z)是平面α内任意一 点,则平面α可以用关于x,y,z的三元一次方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0表示. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 　　设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有 下表: 知识点 2 空间线面的平行和垂直 平行 垂直 l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2 l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1 α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 知识辨析 1.直线的方向向量和平面的法向量是否唯一? 2.若一条直线的方向向量与某平面的法向量垂直,能否判定该直线与平面平行? 3.直线l的方向向量与平面α的法向量的方向相同或相反时,直线l与平面α的位置关系如何? 4.已知直线m,平面α,若m⊥α,l为表示平面α的法向量的有向线段所在的直线,且m,l的方向向量 分别为a,b,则a与b有什么关系? 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 一语破的 1.不唯一.直线的方向向量不是唯一的,它们都是共线向量.解题时,可以选取坐标最方便计算 的方向向量.一个平面的法向量也不是唯一的,一个平面的所有法向量都共线.在应用时,可以 根据需要进行选取. 2.不能.未说明直线在平面外,此时该直线与平面平行或直线在平面内. 3.垂直.直线l的方向向量与平面α的法向量共线,则直线l垂直于平面α. 4.a∥b.因为l为表示平面α的法向量的有向线段所在的直线,所以l⊥α,又m⊥α,所以l∥m或l与 m重合,所以a∥b. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   关键能力 定点破 定点 1 利用空间向量解决平行问题 向量法解决平行问题的步骤 (1)向量表示 ①基底表示:选择不共面的三个向量作为基向量(选择依据一:有利于表示,如共起点的三个向 量或首尾相接的三个向量;选择依据二:有利于运算,如三个向量的模与彼此间的夹角已知), 用基向量表示直线的方向向量与平面的法向量. ②坐标表示:选择三条两两互相垂直的直线为坐标轴(必要时要先证线面垂直)建立空间直角 坐标系,写出相关点的坐标,进而求出直线的方向向量与平面的法向量的坐标. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 (2)向量运算 　　根据用向量法解决直线与平面平行的知识(见知识点2),对直线的方向向量与平面的法 向量进行线性表示或数量积运算. (3)解释结论 ①若两直线的方向向量平行,则结合两直线不重合,可以得到两直线平行; ②若直线的方向向量与平面的法向量垂直,则结合直线不在平面内,可以得到直线与平面平 行; ③若两平面的法向量平行,则结合两平面不重合,可以得到两平面平行. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证: (1)MN∥平面A1BD; (2)平面A1BD∥平面CB1D1.   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 证明    设正方体的棱长为1,以{ , , }为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标 系D-xyz,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),M ,N ,∴ =(1, 0,1), =(1,1,0), =(0,-1,1), =(1,1,0), = .   (1)证法一:设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则 即  令x=1,则y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1). 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 ∵ ·n= ×1+0×(-1)+ ×(-1)=0, ∴ ⊥n, 又MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD. 证法二:∵ = = (1,0,1)=  , ∴ ∥ , 又MN⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD, ∴MN∥平面A1BD. (2)设平面CB1D1的法向量为m=(x1,y1,z1), 则 即  第6章　空间向量与立体几何 高中同步 令y1=1,则x1=-1,z1=1,∴m=(-1,1,1). 由(1)知,平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1),∴m=-n,∴m∥n,故平面A1BD∥平面CB1D1. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   向量法解决垂直问题的步骤 (1)向量表示 　　依据空间几何体的结构特征,选择基底表示,或坐标表示,方法同定点1. (2)向量运算 　　根据用向量法解决直线与平面垂直的知识(见知识点2),对直线的方向向量与平面的法 向量进行线性表示或数量积运算. (3)解释结论 ①若两直线的方向向量垂直,则可直接得到两直线垂直; ②若直线的方向向量与平面的法向量平行,则可直接得到直线与平面垂直; ③若两平面的法向量垂直,则可直接得到两平面垂直. 定点 2 利用空间向量解决垂直问题 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例1　如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1 BD.   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 证明    分别取BC,B1C1的中点O,O1,连接AO,OO1. 因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC. 因为四边形BCC1B1为正方形,所以BC⊥OO1. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊥BC, AO⊂平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1, 又OO1⊂平面BCC1B1,所以AO⊥OO1, 所以AO,BC,OO1两两互相垂直. 以{ , , }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0, 2, ),A(0,0, ),B1(1,2,0),所以 =(1,2,- ), =(-1,2, ), =(-2,1,0). 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   证法一:因为 · =1×(-1)+2×2+(- )× =0, · =1×(-2)+2×1+(- )×0=0, 所以 ⊥ , ⊥ ,即AB1⊥BA1,AB1⊥BD, 又BA1∩BD=B,BA1,BD⊂平面A1BD, 所以AB1⊥平面A1BD. 证法二:设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则 即  第6章　空间向量与立体几何 高中同步 令x=1,则y=2,z=- ,故n=(1,2,- ). 又 =(1,2,- ),所以 ∥n, 故AB1⊥平面A1BD. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例2　如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥平面ABCD,且AS=AB,E是SC的 中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 证明    设AS=AB=1,以{ , , }为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),S(0,0,1),E .   证法一:连接AC,交BD于点O,则O ,连接OE. 易知 =(0,0,1), = , ∴ =  ,∴OE∥AS, 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 又AS⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD, 又OE⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABCD. 证法二:设平面BDE的法向量为n=(x,y,z). 易知 =(-1,1,0), = , 由 得  令x=1,则y=1,z=0,∴n=(1,1,0). ∵AS⊥平面ABCD, ∴平面ABCD的一个法向量为 =(0,0,1). ∵n· =0,∴n⊥ ,∴平面BDE⊥平面ABCD. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   1.存在、判断型 　　先假设存在,设出空间点的坐标,然后将待求解的问题转化为代数方程“是否有解”或 “是否有规定范围内的解”的问题.若有解且满足题意,则存在;若有解但不满足题意或无解, 则不存在. 2.位置探究型 　　借助向量,引入参数,综合题目中各已知信息列关系式,解出参数,从而确定位置. 定点 3 利用空间向量解决立体几何中与平行、垂直有关的探索性问题 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例 如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB,垂足为E,将△ADE沿DE折起到 △A1DE的位置,使A1D⊥BE,如图2. (1)求证:A1E⊥平面BCDE; (2)在线段BD上是否存在点P,使得平面A1EP⊥平面A1BD?若存在,求出 的值;若不存在,请 说明理由.        第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解析    (1)证明:∵DE⊥AB, ∴BE⊥DE,A1E⊥DE, 又∵BE⊥A1D,DE∩A1D=D,DE,A1D⊂平面A1DE,∴BE⊥平面A1DE, 又∵A1E⊂平面A1DE,∴A1E⊥BE, 又∵BE∩DE=E,BE,DE⊂平面BCDE, ∴A1E⊥平面BCDE. (2)存在. 由(1)知EB,ED,EA1两两互相垂直,以{ , , }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标 系E-xyz,则B(1,0,0),D(0, ,0),A1(0,0,1),E(0,0,0),∴ =(0,0,1). 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   假设在线段BD上存在一点P,使得平面A1EP⊥平面A1BD. 设P(x,y,0), =λ (0≤λ≤1), 则(x-1,y,0)=λ(-1, ,0),∴P(1-λ, λ,0),∴ =(1-λ, λ,0). 设平面A1EP的法向量为m=(x1,y1,z1), 则 则z1=0, 令x1= λ,得y1=λ-1,故m=( λ,λ-1,0). 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 设平面A1BD的法向量为n=(x2,y2,z2), 易得 =(1,0,-1), =(0, ,-1), 则  取z2= ,得x2= ,y2=1,故n=( ,1, ). ∵平面A1EP⊥平面A1BD, ∴m·n=3λ+λ-1=0,解得λ= ,满足0≤λ≤1, ∴在线段BD上存在点P,使得平面A1EP⊥平面A1BD,且 = . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 $