精品解析：甘肃武威市第六中学2025-2026学年高二年级下学期5月月考数学试题

高二年级数学试卷 一、单选题 1. 已知是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.3 D. 与 的取值有关 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元． /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88 5. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某学校有两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．已知王同学第2天去餐厅用餐，则第1天去餐厅的概率（ ） A. B. C. D. 7. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（ ） 参考数据及公式如下：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 12人 B. 11人 C. 10人 D. 18人 8. 在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知随机变量满足，，则 C. 已知随机变量，满足，，则 D. 从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为 11. 对于函数，下列说法正确的有（    ） A. 在 处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若 在上恒成立，则 三、填空题 12. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为______. 13. 某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 14. 已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球．小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球．小明第二次摸到白球的概率为______． 四、解答题 15. 企业为了更加了解某设备的维修成本，统计此设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的有关资料如下表所示： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 （1）求线性回归方程的系数，； （2）估计当使用年限为8年时，维修费用是多少. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 16. 如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； 17. “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 18. 如图，在长方体中， ， E为线段上一点. （1）若E为线段的中点，证明：平面平面. （2）若 （i）求平面与平面 BDE 所成二面角的正弦值； （ii）求点 A到平面 BDE 的距离. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，判断的单调性，并求出的极值； （3）若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学试卷 一、单选题 1. 已知是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义可化简所求极限. 【详解】． 故选：A. 2. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A. 0.15 B. 0.2 C. 0.3 D. 与 的取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布曲线对称性可知，，即可求的值. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，所以. 故选：B 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以 4. 为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元． /万元 1 2 3 4 5 /万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50 A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88 【答案】C 【解析】 【分析】求得样本中心点，得到，即可求解. 【详解】由， 可得数据可得样本中心点为： 代入回归方程，解得：， 所以当时，． 故选：C 5. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图及空间向量加法可得，后由题意及模长公式可得答案. 【详解】设，因为六面体是平行六面体， 所以，因为， 代入计算可得： ， 故有：，所以， 所以，因为，所以. 故选：B 6. 某学校有两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．已知王同学第2天去餐厅用餐，则第1天去餐厅的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件概率计算公式和全概率计算公式即可求解. 【详解】设 ：第1天去A餐厅，：第1天去B餐厅，：第2天去A餐厅， 由题意，第1天随机选餐厅， 因此 ； 由题意 ， ， ， 又 ， 因此： . 7. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（ ） 参考数据及公式如下：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 12人 B. 11人 C. 10人 D. 18人 【答案】A 【解析】 【分析】设男生人数为，根据独立性检验的原理，列出不等式，求出x的范围，结合题意确定其值，即可求得答案. 【详解】设男生人数为，则女生人数为,依题意可得列联表如下： 性别 追星 合计 喜欢追星 不喜欢追星 男生 女生 合计 若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则， 由，解得， 因为，为整数，所以若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则x至少为12，即男生至少有12人. 故选：A. 8. 在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用空间向量平行的性质即可判断；对于B，利用空间向量垂直的坐标表示即可判断；对于C，根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算，从而得以判断；对于D，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断. 【详解】对A，，存在实数，使得，则，即， 解得，，故A正确； 对B，，，即，解得，故B错误； 对C，当时，，， ，故C正确； 对D，当时，，， ，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 已知随机变量满足，，则 C. 已知随机变量，满足，，则 D. 从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用条件根概率公式计算判断A；利用方差的性质计算判断B；利用数学期望的性质计算判断C；利用古典概型概率公式计算可判断D. 【详解】A选项，由，有，A选项正确； B选项，，∴，，故B选项错误； C选项，∵，∴，，C选项正确； D选项，从7个数中任取3个数，则基本事件总数为，而这3个数的中位数是4的基本事件数为，故这3个不同的数的中位数为4的概率为，D选项正确. 故选：ACD. 11. 对于函数，下列说法正确的有（    ） A. 在 处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若 在上恒成立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解． 【详解】对于A，函数，， 令，即，解得， 当时，，故在上为单调递增函数， 当时，，故在上为单调递减函数， 在时取得极大值，故A正确； 对于B，在上为单调递增函数，，函数在上有唯一零点， 当时，恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确； 对于C，在上为单调递减函数，，，故C正确； 对于D，由在上恒成立，即在上恒成立， 设，则，令，解得：， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误． 三、填空题 12. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求得，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系： 则， ，， 所以， 即与FG所成的角的余弦值为. 故答案为： 13. 某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】根据表中数据求出，进而得出的值，代入公式计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，， ， 则， ， 所以，. 故答案为：. 14. 已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球．小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球．小明第二次摸到白球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”，求得和，结合全概率公式，即可求解. 【详解】设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”， 则, 若第一次摸到黑球（放回），第二次摸到白球的概率为， 若第一次摸到白球（不放回），第二次摸到白球的概率为， 由全概率公式，可得. 四、解答题 15. 企业为了更加了解某设备的维修成本，统计此设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）的有关资料如下表所示： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 （1）求线性回归方程的系数，； （2）估计当使用年限为8年时，维修费用是多少. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1），； （2）9.92万元. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据结合公式即可求出； （2）将代入回归方程即可求出. 【小问1详解】 由已知数据制成下表： i 1 2 3 4 5 合计 2 3 4 5 6 20 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 由此可得，， ， ； 【小问2详解】 回归直线方程为， 当时，. 故估计当使用年限为8年时，维修费用是9.92万元. 16. 如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，得到，再由为的中点，得到，结合，列出方程求得，得到为的中点，进而证得，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解. （2）根据题意，求得，得到，进而得到，结合，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面. 【小问1详解】 证明：设，则， 所以， 因为为的中点，则，所以， 又因为，则， 因为， 则 ，解得，所以为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为分别为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：因为分别为的中点，所以， 所以， 因为， 所以，所以，所以， 因为，则， 又因为，，且平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 17. “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【小问1详解】 设“甲同学所选的题目回答正确”， 设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、 “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得，，， ，，； 所以 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值为，1，8，15 则， ， ， ， 所以的分布列为： 1 8 15 所以. 18. 如图，在长方体中， ， E为线段上一点. （1）若E为线段的中点，证明：平面平面. （2）若 （i）求平面与平面 BDE 所成二面角的正弦值； （ii）求点 A到平面 BDE 的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）先利用向量法及线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明平面平面； （2）（i）先分别求出平面与平面 BDE 的一个法向量，再求出所成二面角的余弦值，从而得到正弦值； （ii）利用点面距离的向量公式求解即可. 【小问1详解】 以D为坐标原点，以,,的方向分别为,,轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，， 所以，，即，， 又因为，平面,平面， 所以平面 ， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 设，则，， 因为，所以，解得，所以. （i），，设平面 BDE的一个法向量是， 则，即，令，得， 易知平面的一个法向量是， 设平面与平面 BDE 所成二面角的大小为， 则，所以， 所以平面与平面 BDE 所成二面角的正弦值是； （ii）由（i）知，平面 BDE的一个法向量是，， 设点 A到平面 BDE 的距离为，则， 所以点 A到平面 BDE 的距离为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，判断的单调性，并求出的极值； （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为；时，取得极小值 （3）2. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数可得函数的单调区间，根据极值的概念可得极值； （3）分离参数，令，，求导根据导数及对勾函数性质可解. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）知. 令，则， 所以在上单调递增. 又，所以当时，，即 所以在区间上单调递减； 当时，，即， 所以在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值. 【小问3详解】 ，即恒成立，等价于恒成立， 即恒成立. 令，令， 易知在上单调递增，且， 所以存在，使得，即. 当时，，当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 又在上单调递减，所以， 即，所以， 又因为，所以的最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $