甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高二第二学期第二次阶段性考试数学试题

平凉一中2027届高二第二学期第二次阶段性考试数学试题 命题人：刘文斌 审题人：柳曦 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时， 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知三角形ABC的三条边长分别为3,5,7，则三角形ABC最大的内角为(). A.105 B.120 C.135 D.150° 2."+1为纯虚数， 则实数m=() 2-3i c. 3.已知随机享件AB,PA)=号P(©)=片P4列-子，则P(aA)=( ) c.g D.g 4.已知曲线y=are在点x=1处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=() A.e B.2e c e D.2 5.已知a,b是异面直线，且a1i,日，e,分别为直线a,b的单位方向向量，且m=2+3e, i=ke-4,m⊥i,则实数k的值为() A.-6 B.6 C.3 D.-3 6.已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(3X+1)=() X 2 3 1 1 a 3 A. 11 B.3 D. 22 6 2 试卷第1页，共3页 7.已知直线：x+y+1=0与，：(a+1)x+y+2=0,则“a=-2是“4m,的（) 2 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.双曲线兰若=-1(>0，b>0)的左右焦点分别是B,B,0是坐标原点，A,B两 个点在双曲线上满足B=3A,Q4=1R引，则该双曲线的离心率e=() A.2 B.2 c.10 D.√2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知数列a,}满足aH=1-16ueN),且4=2，则() 1 A.4=-1 B.a2=2 C.S6=3 D.2S2022=2022 10.己知直线1：ax-y-a+4=0与圆C:(c-2)+(0y-3)2=9,则() A.直线1过定点1,4) B.当a=1时，直线1被圆C所截的弦长为2√万 C.直线1与圆C必然相交，且相交弦最短时直线1的方程为x-y-3=0 D.直线1与圆C必然相交，且相交弦最长时，a=-1 11.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法 籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安 全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水 稻的特定时期幼苗株高，得出株高（单位：cm)服从正态分布X~N(17.4,2.632),且84.135% 的幼苗株高指标值符合优质种植标准，其中幼苗株高不低于12.14c即为合格种植标准，研 究所采集了1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本，则下列说法正确的是() 附：参考数据与公式：若X~N(u,o),则P(u-o≤X≤u+o)≈0.6827， P(u-2o≤X≤u+2o)≈0.9545，P(u-3o≤X≤u+3o)≈0.9973 A.幼苗株高优质种植标准约为14.77cm B.此地杂交水稻合格率约为0.97725 C.采集样本中，株高指标合格数量依然服从正态分布 试卷第2页，共3页 D.采集样本中，株高指标合格数量最有可能是978株 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知空间向量a=(6,2,1),b=(2,x,-3)若(a-b)1a,则x= 13.已知双曲线C兰云=1(a>0,b>0)的渐近线方程为x±2y=0,则C的离心率为 dB 14.唐代诗人罗隐在《咏蜂》中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占.采得百花成蜜 后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房 均为正六棱柱状.如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧 相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2 号或3号蜂房....此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数.设集合S={a2,a3 ,·,a2025,集合B是集合S的非空子集，则B中所有元素之和为奇数的概率为 135 n-2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(13分)已知数列{a}中，a1=1,当n≥2时，a为(1+x)(n∈N*)的展开式第3项 的二项式系数 (1)求数列an的通项公式： (②)设数列b满足b=数列b的前n项和为Tm,求证：1≤Tm<3. 16.(15分)如图，正方体ABCD-ABGD中，点E在棱CD上. B B BM 2 (1)求证：EB,⊥AD;(2)设M在BB,上，且 8了，是否在CD上存在点B,使平面AD,B1 平面AME,若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由. 试卷第3页，共3页 17.(15分)抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l1:y=x+1相切. (1)求抛物线C的方程. (2)设抛物线C的焦点为F,过F的直线l2交C于A,B,点E(-1,1)满足AE1BE,求直线L2 的方程。 18.（17分)高考数学试卷评阅采用双评+仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评 分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该 题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取 仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差 值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道 大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往 达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大 题，选取了大量“结果正确'的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每 位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示， 以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互 不影响 教师评分 13 1211 甲同学上交了一道结果正确的题参与本次测评 (1)求此题需要仲裁的概率： 各分数所占比例 1 (2)求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下， 最终得了满分的概率： (3)求此题得分X的分布列及数学期望E(X) 19.(17分)已知aeR,函数f(x)=xe-ax2-2ar (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(x)有极小值，且极小值为0，求4的值： (3)当a=0时，函数g(x)=sinx·f(x)-x2在(0，+o)上的零点按从小到大排列构成一个数列， 记为{x}(neN),求证：x21+m<(4-1)π 答案第1页，共1页平凉一中2027届高二第二学期第二次阶段性考试数学试题 命题人：刘文斌 审题人：柳曦 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时， 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知三角形ABC的三条边长分别为3,5,7，则三角形ABC最大的内角为(). A.105 B.120 C.135 D.150° 2."+1为纯虚数， 则实数m=() 2-3i c. 3.已知随机享件AB,PA)=号P(©)=片P4列-子，则P(aA)=( ) c.g D.g 4.已知曲线y=are在点x=1处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=() A.e B.2e c e D.2 5.已知a,b是异面直线，且a1i,日，e,分别为直线a,b的单位方向向量，且m=2+3e, i=ke-4,m⊥i,则实数k的值为() A.-6 B.6 C.3 D.-3 6.已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(3X+1)=() X 2 3 1 1 a 3 A. 11 B.3 D. 22 6 2 试卷第1页，共3页 7.已知直线：x+y+1=0与，：(a+1)x+y+2=0,则“a=-2是“4m,的（) 2 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.双曲线兰若=-1(>0，b>0)的左右焦点分别是B,B,0是坐标原点，A,B两 个点在双曲线上满足B=3A,Q4=1R引，则该双曲线的离心率e=() A.2 B.2 c.10 D.√2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知数列a,}满足aH=1-16ueN),且4=2，则() 1 A.4=-1 B.a2=2 C.S6=3 D.2S2022=2022 10.己知直线1：ax-y-a+4=0与圆C:(c-2)+(0y-3)2=9,则() A.直线1过定点1,4) B.当a=1时，直线1被圆C所截的弦长为2√万 C.直线1与圆C必然相交，且相交弦最短时直线1的方程为x-y-3=0 D.直线1与圆C必然相交，且相交弦最长时，a=-1 11.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法 籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安 全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水 稻的特定时期幼苗株高，得出株高（单位：cm)服从正态分布X~N(17.4,2.632),且84.135% 的幼苗株高指标值符合优质种植标准，其中幼苗株高不低于12.14c即为合格种植标准，研 究所采集了1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本，则下列说法正确的是() 附：参考数据与公式：若X~N(u,o),则P(u-o≤X≤u+o)≈0.6827， P(u-2o≤X≤u+2o)≈0.9545，P(u-3o≤X≤u+3o)≈0.9973 A.幼苗株高优质种植标准约为14.77cm B.此地杂交水稻合格率约为0.97725 C.采集样本中，株高指标合格数量依然服从正态分布 试卷第2页，共3页 D.采集样本中，株高指标合格数量最有可能是978株 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知空间向量a=(6,2,1),b=(2,x,-3)若(a-b)1a,则x= 13.已知双曲线C兰云=1(a>0,b>0)的渐近线方程为x±2y=0,则C的离心率为 dB 14.唐代诗人罗隐在《咏蜂》中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占.采得百花成蜜 后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房 均为正六棱柱状.如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧 相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2 号或3号蜂房....此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数.设集合S={a2,a3 ,·,a2025,集合B是集合S的非空子集，则B中所有元素之和为奇数的概率为 135 n-2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(13分)已知数列{a}中，a1=1,当n≥2时，a为(1+x)(n∈N*)的展开式第3项 的二项式系数 (1)求数列an的通项公式： (②)设数列b满足b=数列b的前n项和为Tm,求证：1≤Tm<3. 16.(15分)如图，正方体ABCD-ABGD中，点E在棱CD上. B B BM 2 (1)求证：EB,⊥AD;(2)设M在BB,上，且 8了，是否在CD上存在点B,使平面AD,B1 平面AME,若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由. 试卷第3页，共3页 17.(15分)抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l1:y=x+1相切. (1)求抛物线C的方程. (2)设抛物线C的焦点为F,过F的直线l2交C于A,B,点E(-1,1)满足AE1BE,求直线L2 的方程。 18.（17分)高考数学试卷评阅采用双评+仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评 分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该 题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取 仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差 值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道 大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往 达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大 题，选取了大量“结果正确'的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每 位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示， 以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互 不影响 教师评分 13 1211 甲同学上交了一道结果正确的题参与本次测评 (1)求此题需要仲裁的概率： 各分数所占比例 1 (2)求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下， 最终得了满分的概率： (3)求此题得分X的分布列及数学期望E(X) 19.(17分)已知aeR,函数f(x)=xe-ax2-2ar (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(x)有极小值，且极小值为0，求4的值： (3)当a=0时，函数g(x)=sinx·f(x)-x2在(0，+o)上的零点按从小到大排列构成一个数列， 记为{x}(n∈N),求证：x2m1+x2m<(4-1)π 试卷第4页，共1页 1.已知三角形ABC的三条边长分别为3,5,7，则三角形ABC最大的内角为(B). A.105 B.120 C.1359 D.150 【详解】在三角形中，大角对大边，则边长为7的边所对的角最大，设为， 由余弦定理得cosa- 32+52-729+25-49-151 2×3×530302’ 0<a<180°， a=120°. m+i为纯虚数，则实数=（A） 2. 2-3i 【详解】 (m+i0(2+3i1)2m-3+(3m+2)i (2-3i1)(2+31) 13 由题意符6十子，0则则= 3.已知随机事特4BP利-分P四)-写P4列=号则a0=(D) 7 B.9 c D 【分析】根据条件概率公式计算判断各个选项. 【详解】因为P0分P0)-专P4列-号 P(AB)P(AB)2 所以P(B) 有，则a)号 1 3 2 P(AB)9 4 所以P(BA=PA了9 2 4.已知曲线y=are*在点x=1处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=(C) A.e B.2e c. D. 2 e e 【详解】因为y=f()=axe,f'(x)=a(x+l)e, 设切线斜率为k，,则k=f"I)=2ae, 又因为切线与直线x+2y+1=0垂直， 1 所以k=2,即2ae=2,解得a= e 5.已知a,b是异面直线，且a1方，g,g分别为直线a,b的单位方向向量，且m=2%+3g, i=ke,-4e2,ili,则实数k的值为(B) 试卷第5页，共8页 A.-6 B.6 C.3 D.-3 【分析】根据m⊥列方程，化简求得k的值. 【详解】由于mLn,所以mn=0, 即(2+3e)(ke-4e)=0, 所以2ke2+3k-8)e-12g,=2k-12=0, 解得k=6. 6.已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(3X+1)=(B) X 2 3 a A. 号 e号 2 D. 6 解：【分析】首先根据分布列的性质求a,再求E(X),再代入期望公式求E(3X+1). 【详解】自条件可知，计a+片1，得a后 8=x2x点t3只 633-6 所以a(3x+)=8)H1=3告1-号 6 7已知直线4：x+y+1=0与马(a+x+y+2=0,则“a=-2是“4”的(C) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得， 【详解】若4%，则1x1-受(a+)-0,解得a=-2或a-1, 当a=1时，l1:x+2y+1=0,l2:2x+y+2=0,两直线重合，不符： 当a=-2时，：x-y+1=0,l2:-x+y+2=0,符合题意： 所以a=-2,即“a=-2”是“1/l”的充要条件. 8.双曲线父y2 7京=1（a>0,b>0)的左右焦点分别是R,乃，O是坐标原点，A,B两 试卷第6页，共8页 个点在双曲线上满足B丽=3A,Q4=F引，则该双曲线的离心率e=(C) 5 A2 B.2 D.√5 2 【分析】根据己知条件Q4=R1,可推出△4飞为直角三角形：再根据2丽-3A,结 合双曲线定义，表示出三角形各边的长，利用勾股定理建立等量关系，即可求出离心率 【详解】解：由题意知，耳(-c,0),F(c,0),耳=2c, 由lQ4=R,0为Rg中点，易知△RA迟为直角三角形，即∠Ag=90, 因为BE=3FA,所以设AF=m(m>0),则B=3m,AB=4m, 根据双曲线定义可知，A-A=2a,B引-B=2a, 所以，AE=2a+m,BE=2a+3m, 在Rt△BAE中，由勾股定理可得AB+AEP=BE, 即(4m)2+(2a+m)2=(2a+3m)2，化简整理得8m2=8, 因为m>0,所以a=m. 在Rt△AE中，由勾股定理可得A+A=区，即m2+(2a+m)2=(2c), 代入a=m得.1oa=4c2,所以=，即e2=10 4 又因为e>1,所以e= 2 9.已知数列a,}满足aH=1-eN),且4=2，则(ACD) A.4=-1 C.S6=3 D.2S02=2022 【分析】推导出数列{a}的周期为3，结合数列的周期性逐项判断即可. 试卷第7页，共8页 【详解】数列a}满是a=2,a=1-上eN), 可得4，-1-1-1-11 51-。=。,4=1-三=1-2=-1,04=1-2=1-1)=2，L a 所以a3=a(n∈N),数列{a}的周期为3，a2=63g3=4=-1，,A对B错； 48+42号1-号 1=2故8=2a+%+4)=3, &=64a+a+a）=64号101，cD那对 10.己知直线1：x-y-a+4=0与圆C:(x-2)2+(0y-3)2=9,则（ABD) A.直线1过定点Q,4) B.当a=1时，直线1被圆C所截的弦长为2√万 C.直线1与圆C必然相交，且相交弦最短时直线1的方程为x-y-3=0 D.直线1与圆C必然相交，且相交弦最长时，a=-1 【详解】对于A,x-y-a+4=0可整理为：a(x-1)-y+4=0, 0 x=1 令 =4,故直线I过定点B1,4),故A正确 对于B,当a=1时，x-y+3=0,圆C:(x-2)2+y-3)2=9的圆心为C(2,3),r=3, 、C23到直线x+3=0的距离为：+后2 所以直线1被圆C所截的弦长为2W2-d2=2√9-2=27，B正确： 对于C,因为1-2)+(4-3)？=2<9，直线1恒过定点Q,4)在圆内， 所以直线1与圆C必然相交， 当EC⊥1时，直线1被圆C截得的弦长最短， 由直线的斜率k,直线℃的斜率2c=仁=1，且片c=一1 则k=1,所以直线1的方程为y-4=x-1,化简可得x-y+3=0,故C错误： 对于D,由C知直线1与圆C必然相交，直线I过圆心C(2,3)时，相交弦最长， 所以2a-3-a+4=0,解得：a=-1,故D正确」 11.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法 试卷第8页，共8页 籼型杂交水稻，成功研究出“两系法杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安 全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献：某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水 稻的特定时期幼苗株高，得出株高（单位：cm)服从正态分布X~N(17.4,2.632),且84.135% 的幼苗株高指标值符合优质种植标准，其中幼苗株高不低于12.14cm即为合格种植标准，研 究所采集了1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本，则下列说法正确的是(ABD) 附：参考数据与公式：若X~N(u,o),则P(u-o≤X≤u+o)≈0.6827， P(-2o≤X≤u+2o)≈0.9545，P(u-3o≤X≤u+3o)≈0.9973 A.幼苗株高优质种植标准约为14.77cm B.此地杂交水稻合格率约为0.97725 C.采集样本中，株高指标合格数量依然服从正态分布 D.采集样本中，株高指标合格数量最有可能是978株 【分析】利用二项分布、正态分布的性质及正态分布的三段区间概率公式计算即可. 【详解】由题意，得X~N(17.4,2.632),则4=17.4，σ≈2.63， 而P(X>u-o)+06827=0841: x 2 .当-σ≈17.4-2.63=14.77时，满足84.135%的幼苗株高指标值符合优质种植标准的题意， 即优质种植标准的质量指标值约为14.77，故A正确： 由P(X≥1214=P(K≥-20)=05+09545=09725，可知每件产品的质量指标值不低 2 于12.14的事件概率约为0.97725，故B正确： 记这1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本指标值不低于12.14的件数为专， 则5~B(1000,p),其中p≈0.97725，故C错误： :恰有k株指标值不低于1214的事件概率P(5=k)=C陆p(1-p)-, P(5=k)_1001-k)×P>L,解得k<1001p=978.2725, 则P(Ek-Dkx1-P） 当0≤k≤978时，P(5=k-1)<P(5=k),当979≤k≤1000时，P(5=k-1)>P(5=k), 由此可知，指标值不低于12.14的数量最有可能是978株，故D正确， 故选：ABD. 试卷第9页，共8页 12.已知空间向量a=(6,2,1),b=(2,x,-3),若(a-b)1d,则x= 【答案】16 【解析】己知a=(6,2,1),b=(2,x,-3) 则a-b=(6-2,2-x,1+3)即a-b=(42-x,4) 因为(a-b1a,所以(a-)·a=0 即4×6+(2-x)×2+4×1=0, 24+4-2x+4=0,解得x=16 13.巴知双线C号若-1a~Q6>0的南证线方程为+3-0，则C的害心幸为 【详解】双南线C:子芳-1a>0b>0为准点在x轴上的双南线，其新近线的标准形式为 .b y=tx」 a 将想干给出的渐近线方程x生2=0整理变形，可得=宁，因此可符名】 C 根据双曲线参数关系c2=2+b2(c为半焦距)，离心率定义为e=二 a 代入参数关系得： 1+\a 14.唐代诗人罗隐在《咏蜂》中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占.采得百花成蜜 后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房 均为正六棱柱状.如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧 相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2 号或3号蜂房....此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数.设集合S={a2,a3 ·,Q2025,集合B是集合S的非空子集，则B中所有元素之和为奇数的概率为 n-1 【答案】 .22023 n-2 n 22024-1 【解析】由题意，蜜蜂爬到1号蜂房方法数a1=1,爬到2号蜂房方法数a2=2, 对于n>3,n∈N*,有an=a-1+a-2 依次计算得a3=a2+a1=3,a4=a3十a2=5,…. 试卷第10页，共8页 观察数列{an}:1,2,3,5,8,13,21,34,…，发现a2,a5,Qg,…为偶数， 即项数n=3k-1(k∈N*)时an为偶数 在S={a2,a3,,a2025}中，2025-1=2024,2024÷3=674…2， 所以偶数项有675项，奇数项有2024-675=1349项. 集合S的非空子集个数为22024-1. 对于集合B,其元素之和为奇数时，B中奇数项个数为奇数个，偶数项个数任意， 从675个偶数项中选元素的组合数为2675种， 从1349个奇数项中选奇数个元素的组合数为C49+C49+…+C粥=2138. 满足条件的B的个数为2675×21348=22023 所以B中所有元素之和为奇数的腰率P=,二 15.已知数列{a}中，a1=1,当n≥2时，an为(1+x)"(n∈N)的展开式第3项的二项式系 数 (1)求数列{a的通项公式： (2)设数列色满足b.=÷数列b,)的前n项和为T:求证：1≤T<3 【答案】解：(1)a1=1. n≥2时，a是(1+x)"展开式第3项的二项式系数. an C2=nn-1) 2 1,n=1 an={(n-1) ,n≥2 2 1. n=1 n≥2时，Tn=1+201-+月+…+-动)=3-员 了1=1满足7。=3-月 m∈N,T.=3-月 Tn=3-在n∈N:上单调递增。 n=1时，T1=1. n→+∞时，员y0Tn→3. 1≤Tm<3. 试卷第11页，共8页 16.如图，正方体ABCD-ABCD中，点E在棱CD上. D A B B (1)求证：EB,⊥AD,: ②旋M在8上，且微-手是香在cD上布在友E,使￥有A08⊥平而8，若存在 指出点E的位置，若不存在，请说明理由. 试卷第12页，共8页 【详解】(1)以点D为坐标原点，DA,DC,DD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图 所示： D C B C B 设正方体的棱长为1，则D(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,1), 设E(0,t,0),则AD=(-1,0,1),EB,=(1,1-t,1), 所以AD·EB=-1+0+1=0,所以AD⊥EB, 故EB⊥AD. (2)设满足条件的点E(0t,0)(0≤t≤1)，设平面ADE的一个法向量=(5，，)， 因为AD=(-1,0,1),AE=（-1,t,0), 则AD·m=0,AEm=0,即 -为+5=0 -5+=0 取乃=1，得m=(t,1,t), 南w在斑上微子则u引 设平面AME的一个法向量=(2，乃，52)， ,AE=(-1,t,0), 30 2 则4Wa=0,证a=0,即+ -x+y=0 取2=1， 得a-t1.2 L平面MB,则m,a=r+1-30,解得1或t归 试卷第13页，共4页 所以当1=)即B为CD的中点时，平面AD,B⊥平面ME. 17.抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l1:y=x+1相切. (1)求抛物线C的方程， (2)设抛物线C的焦点为F,过F的直线l2交C于A,B,点E(-1,1)满足AE LBE,求直线l2 的方程 【容案1解，1联肾推导得-20+20=0 直线l1与抛物线C相切： 故△=4p2-8p=0. 由p>0,得p=2. 故抛物线C的方程为y2=4x. (2)由(1)得抛物线C的焦点F(1,0), 设l2:x=my+1. 联间”w年装延-钢y-40 设A(x1,y1),B(x2,y2) 由韦达定理得1+y2=4m (y1y2=-4 由E(-1,1),得AE=(-1-x,1-y),BE=(-1-x2,1-y2) 由AE LBE,得AE·BE=0 展开得(-1-x1)(-1-x2)+(1-y1)1-y2)=0. 结合x1=my1+1,x2=my2+1,代入得(my1+2)my2+2)+(1-y1)1-y2)=0. 整理得5+(2m-1)y1+y2)+(m2+1)y1y2=0. 代入韦达定理结果得5+4m(2m-1)-4(m2+1)=0. 化简得4m2-4nm+1=0,解得m=子故2：x=y+1. 整理得直线l2的方程为2x-y-2=0. 18.（17分)高考数学试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评 分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该 题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取 仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差 试卷第14页，共4页 值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道 大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往 达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大 题，选取了大量“结果正确的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每 位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示， 以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响 甲同学上交了一道结果正确”的题参与本次测评 (1)求此题需要仲裁的概率； (2)求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下，最终得了满分的概率： (3)求此题得分X的分布列及数学期望E(X): 【详解】(1)根据规则，只有当一评，二评的分数差绝对值大于1时，才需要仲裁， 所有可能得评分组合中，差的绝对值大于1的情况仅为，一评11，二评13或一评13，二评 11, 两种情况的概率之和为：P=P)xP13)+P13)xP1)=2××= 448 （2)设事件A为一评，二评给分不同”，事件B为“最终得满分13分”， 一评二评给分相同的概率为 名=0xP0420a水P0a-R0aP0a=合合-3 因t利=1-名=1后名P(4)=2[PP3P3]-2子子分 44432 1 Pe4= 8 (3)由题意可得X的可能取值为：11,11.5,12,12.5,13， 期x=名仔》最 (44432 P(x=11.5)=2x2x1-1 4249 px-1} Px2)行2G6 111）5 、1、113 p(x=13)-i6+24*4*432 1 试卷第15页，共4页 所以X的分布列为： X 11 11.5 12 12.5 13 3 1-4 3 所以E(X)= 11+115+12+2125 3 4 16 13=385 32 32 19.(17分)已知a∈R,函数f(x)=xe-ar2-2ax (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(x)有极小值，且极小值为0，求a的值： (3)当a=0时，函数g(x)=sinx·(x)-x2在(0，+o)上的零点按从小到大排列构成一个数列， 记为{x}neN),求证：x21+x2m<(4n-1)π 试卷第16页，共4页 【详解】(1)当a=1时，f(x)=xe-x2-2.x,所以f(0)=0,切点为(0,0)， 则f'(x)=(x+1)e*-2x-2,所以f'(0)=-1, 则曲线f(x)在点(0，f(O)处的切线方程为y=-x,即x+y=0 (2)因为f(x)=xe-ax2-2a,则f'(x)=(x+1)e-2ax-2a=(x+1)(e-2a), ①当a≤0时，由∫'(x)=0,得x=-1, 由f'(x)<0得x<-1;f'(x)>0得x>-1, 则f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+o)上单调递增， 函数f)在x=-1处取得极小值f(-)=是+a=0,解得a-上不符合腿意： 当a>0时，由f'(x)=0,得x=-1或x=h(2a, ②当0<2a<上时，即n(2a<-1时， 由f'(x)>0得x<(2a)或x>-1;由f'(x)<0,得h(2a<x<-1, 则f(x)在(-o,血(2a)上单调递增，在(n(2a),-1)上单调递减，在(-1，+o)上单调递增， 函数∫)在x=-1处取得极小值/(-)=。+a<0,不符合题意： ③当2a=时，即lh(2a)=-1时，f"(y)≥0恒成立，函数f(c)无极值，不符合题意； ④当2a>，即lh(2a>-1时，由f'(x)>0,得x<-1或x>h(2a):由f'(x)<0,得 -1<x<n(2a, 则f(x)在(-o,-1)上单调递增，在(-1，ln(2a）上单调递减，在(n(2a),+o）上单调递增， 则函数f在x=ln(2a)处取得极小值了仙(2a-a[n(2a-0,解得a=符合题意， 综上所述，a分 (3)因为g(x)=sinx·f(x)-x=e'sinr-x,令g(y)=0,即xe'sinr-x2-0, 因为x>0,所以等价于e'sinx--x=0,令G(x)=esinx--x,其中x>0, 当x∈(2k-1)π，2km),keZ时，G(x)=e*sinx--x<0恒成立，此时G(x)无零点， 答案第1页，共3页 当x∈(O,πU[2k,(2k+l)π]，keN时，G(x)=e(sinc+cosx)-l, p(x)=e*(sinx+cosx)-1,p(x)=e*(sinx+cosx)+e*(cosx-sin.x)=2e*cosx, 若&=0，则(Q:由p)>0可得0<x受由p()<0可得子<xs元， 所以G在0引单调运相，在[单调造读。 而G(0)=0, c份co=0,G闭=-e-1k0. 故存在6（经，使6)=0， 当x∈(0，t)时，G(x)>0,当x∈(，)时，G(x)<0, 故G()在(0，)上单调递增，在(，π)上单调递减， 而Go)=0,G0,0(<0,存在=爱使得G(s)-0. 故G()=emrx的零点x∈经： (i)当x∈[2kc(2k+1)元]，n∈N, 当k≥1时，因为p(x)=2e*cosx, 由P)>0可得2c≤x<2c+受由pP(<0可得2红+号x≤(2k+1, 2 所以G)在2a点2r+习上单涧递增，在[2m+经2加+上单调道减。 所G(2=e-10,所以c2到o'(0, G(2m+元)=-e2+r-1<0, 放存在∈2a+受2狐+，使G6)=0, 当x∈(2m,t)时，G(x)>0,当x∈(t,2π+)时，G(x)<0, 故G(x)在(2阮，t)上单调递增，在(，2π+兀)上单调递减， 所以c2a=-2a<0,所以d引e2a+引} 由v(x)=e-x,当x∈(0，+o)时，v(x)=e-1>0, 所以v(x)在(0，+w)上单调递增，v(x)=e-x>v(0)=1>0, 答案第2页，共3页 又因为G,)>G+ >0,G(2km+)=-(2m+元)<0， 故G()-er-x的季点x∈2红2流+引，5（2+号2加+t） 由m有(2经2-，(aa+引 因为x,是G(x)=e'sinr-x的零点，即G()=esinc,-x,=0,所以sinxn=, 令)言，因为(e-。,当xe+o列，<0， 所以(x)在(1，+∞)上单调递减， 又因为a>X-1>登所以(6)》（小，即m-。器>。兰=n, 因为sinx2m-1=sim[(4n-1)π-x2m-1]>sinx2m, 面a-习xfo习 所以(4n-1)兀-m-1>n,故m-1+5n<(4n-1)兀. 答案第3页，共3页