精品解析：四川南充市嘉陵第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中学情调研数学试题

嘉陵一中高2024级高二下 学情调研数学试题 注意：1.本试题满分150分，考试时间120分钟； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 24种 D. 40种 【答案】D 【解析】 【分析】应用分步乘法原理计算求解. 【详解】第一步选上衣有4种选法，第二步选裤子有5种选法，第三步选鞋子有2种选法，所以共有种选法. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以. 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的四则运算，复合函数的求导法则逐一进行判断. 【详解】对A，因为为常数，故，A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，D正确. 故选：D 5. 已知6名学生中有4名男生，从中选出3名代表，则选出的代表中有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选择三名代表的可能性有种，选出的代表中有2名男生的可能性为， 所以. 6. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 当时，取极小值 D. 当时，取极大值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负， 不是单调的函数，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误， 对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项C正确， 对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D错误， 故选：C. 7. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ） A. 264种 B. 288种 C. 312种 D. 336种 【答案】B 【解析】 【分析】首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列. 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 8. 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求导后判断的单调性，然后根据单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，则原不等式等价于， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知的展开式中各二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 常数项为160 C. 含项的系数为240 D. 二项式系数最大的项为第3项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质，可判定A正确，D错误；求得二项展开式的通项，结合通项公式，可判定B错误，C正确. 【详解】对于A，由二项式的展开式中各二项式系数之和为64， 可得，解得，故A正确； 对于B，二项展开式的通项公式为， 令，可得，所以展开式的常数项为，故B错误； 对于C，令，解得，所以含项的系数为，故C正确； 对于D，二项式系数最大的项为第项，故D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知函数，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时等号成立，所以函数在上为增函数； 由，得. 因为函数在上为增函数，由可得. 故不等式的解集为，ACD都对，B错. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 在上单调递增 C. 有两个零点 D. 若在上恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导后利用导数正负可得其单调性及其极值，即可得A、B；结合零点存在性定理可得C；构造函数，利用导数可研究其单调性，再利用单调性计算其最值即可得D. 【详解】对A、B：， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，故A、B正确； 对C：由，， 故在上有一个零点， 当时，，故在上无零点， 故有一个零点，故C错误； 对D：令，则在上恒成立， ， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，即，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】设切点为， 由于，则，解得， 于是切点为，则，解得． 13. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，应用赋值法求出对应参数、系数和，即可求. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，若正实数a,满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题要先使用单调性分析得到在上单调减少, 在上单调增加, 因为,,所以,,再发现，进而得到，再使用双勾函数求解. 【详解】, 当时,,当时, ; 所以,在上单调递减, 在上单调递增, 因为,, 所以; 即 因为,, 所以,; 则，又因为函数在上单调递增， 所以,, 所以,的取值范围是． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求公差，进而写出通项公式； （2）应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 若等差数列的公差为，结合题设有， 所以，可得， 故. 【小问2详解】 由（1）得， 所以. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值点求出a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案. 【小问1详解】 由题意得，由题意得，即，解得， 故，定义域为R， ，令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，. 又，， 故的最大值为2，最小值为. 17. 记为数列的前项和，已知. （1）求，； （2）证明：数列是等比数列； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先令求出首项，再将分别代入已知等式即可求出； （2）当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立； （3）由（2）中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得 【小问2详解】 证明：当时，； 当时，， 两式相减得：，所以 所以 又因为， 所以，所以是首项为4，公比为4的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知： 所以， 所以①， 故②， 两式相减得，， 故. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【答案】（1）①当时，，则在上单调递增; ②当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明见解析 【解析】 【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【小问1详解】 （1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 （2）因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导后分、和讨论求解即可； （3）将问题转化为成立，令，利用导数求出的最大值即可得答案. 【小问1详解】 依题意， 所以, ， 又 函数在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 当， ①当时，，在单调递增， ②当时，，在单调递减， ③当时，令，解得 则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减． 综上可知， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减 【小问3详解】 由（2）可知， ， ， 故在单调递减， 又因为时，, 所以， 即， 因为，对，关于a的不等式恒成立， 所以，对，恒成立， 即成立， 令， 因为 令在上单调递增 因为 所以，由零点存在定理，可知，使得，即． 当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉陵一中高2024级高二下 学情调研数学试题 注意：1.本试题满分150分，考试时间120分钟； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 24种 D. 40种 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知6名学生中有4名男生，从中选出3名代表，则选出的代表中有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 当时，取极小值 D. 当时，取极大值 7. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ） A. 264种 B. 288种 C. 312种 D. 336种 8. 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知的展开式中各二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 常数项为160 C. 含项的系数为240 D. 二项式系数最大的项为第3项 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 在上单调递增 C. 有两个零点 D. 若在上恒成立，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若直线是曲线的一条切线，则___________． 13. 若，则______. 14. 已知函数，若正实数a,满足，则的取值范围是_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 17. 记为数列的前项和，已知. （1）求，； （2）证明：数列是等比数列； （3）设，求数列的前项和. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $