四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

第 1页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 南充市嘉陵一中高 2023 级 2025 年春 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时,必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；必须 在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3 ．考试结束后，将答题卡交回(试题卷学生留存，以备评讲)． 一、单项选择题：本大题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列 na 满足 21 11, 1n na a a   ，则这个数列的第 4 项是（ ） A. 10 B. 17 C. 26 D. 37 2. 口袋中装有 5个白球 4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出 2个球，至少有一个红球的取法种 数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 3. 在二项式 2 102x x      的展开式中，常数项为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 4. 已知函数     21 lnf x f x x  ，则  1f  （ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 5. 函数   3 21 4 2 f x x x x   的极小值为（ ） A. 4 3  B. 1 C. 5 2  D. 104 27 6. 已知等差数列 na 和 nb 的前 n项和分别为 nS ， nT ，若 2 3 4 n n S n T n    ，则 3 9 4 6 8 a a b b b     （ ）． A. 13 111 B. 26 37 C. 26 111 D. 13 37 第 2页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 7. 若 2 5e, , ln2 ln5 a b c   ，则以下不等式正确的是（ ） A. c b a  B. a b c  C. b a c  D. b c a  8. 已知数列{ }na 的首项 1 3a  ，对任意 *,m nN ，都有 m n m na a a  ，则当 1n  时， 3 1 3 2 3 2 1log log log na a a     ( ) A. (2 1)n n  B. 2( 1)n  C. 2n D. 2( 1)n  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9. 数列 na 的前 n项和为 nS ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 2 11na n   ，则数列 na 的前 5项和 5S 最大 B. 若等比数列 na 是递减数列，则公比 q满足0 1q  C. 已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 2021 0S  ，则 1011 0a  D. 已知 na 为等差数列，则数列 n S n       也是等差数列 10. 有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ） A. 分给甲､乙､丙三人，每人各 2本，有 540种分法； B. 分给甲､乙､丙三人中，一人 4本，另两人各1本，有90种分法； C. 分给甲乙每人各 2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法； D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各 2本，另两人各1本，有1080种分法； 11. 已知函数 3 2( ) 3 1f x ax x   ，则下列命题中正确的是（ ） A. 1 是 ( )f x 的极大值 B. 当 1 0a   时， ( 1) ( )f a f a  C. 当 2a  时， ( )f x 有且仅有一个零点 0x ，且 0 2x  D. 若  f x 存在极小值点 1x ，且 1 2( ) ( )f x f x ，其中 1 2x x ，则 1 22 0x x  第 3页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。把答案填在答题卡的横线上。 12. 某电视台连续播放7个不同的广告，其中 4个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求所有的公益 广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为_______. 13. 函数 2 1( ) 2 3ln 2 f x x x x   的单调递减区间为_________. 14. 在数 1和100之间插入 n个实数，使得这 2n  个数构成递增的等比数列，将这 2n  个数的乘积记作 nT ， 再令 lg , 1n na T n  .则数列 na 的通项公式为__________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分）由1， 2，3， 4，5组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数， 结果用数字表示） （1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数； （2）没有重复数字且 2和 4不相邻的五位数的个数； （3）恰有两个数字重复的五位数的个数. 16. （15分）已知      2 3 21 21 2 1 2 1 2 9 n n nx x x a x a x a x            ． （1）求    1 3 5 2 4 6a a a a a a        的值； （2）求 2a 的值（结果用数字表示）． 17. （15分）已知数列 na 的首项 1 3a  ，且满足  *1 2 1n na a n   N . （1）求证：数列 1na  为等比数列； （2）求数列 na 的通项公式和前 n项和 nT ； （3）记  2log 1n nb a  ，求数列 1 1 n nb b        的前 n项和 nS ，并证明 1 1 2 n S  . 第 4页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 18. （17分）已知函数      ln 1 1 Rf x x a x a     . （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）若 1x   ，不等式    1 e 1 2( 1)xf x a x a      恒成立，求实数 a的取值范围. 19. （17分）已知函数   exf x ax  ， aR，  f x 是  f x 的导数. （1）讨论  f x 的单调性，并证明： e 2x x ； （2）若函数     cosg x f x x x  在区间 0, 内有唯一的零点，求 a的取值范围. 第 1页/共 4页 学科网(北京)股份有限公司 数学答案 一、单项选择题:1-4CBAA 5-8CCAA 二、多项选择题: 9. ACD 10.BD 11.ACD 12. 720 13. (0,3) 14. 2na n , n N 8,【详解】令 1m , 得到 1 1 3n n na a a a ,故数列是等比数列, 13 3 3n nna , 2 1na 2 13 n 3 1 223 3 1log log log 1 2 ... 2 1 2 1 na a a n n n 11【详解】对于选项 A,因为 3 23 1f x ax x ,则 23 6 3 2f x ax x x ax , 当 0a 时,令 0f x ,得到 0x 或 2x a ,当 0x 或 2x a 时, 0f x ,当 20 x a 时, 0f x , 所以 0x 是 f x 的极大值点,极大值为 0 1f , 2x a 是 f x 极小值点,极小值为 2 2 4( ) 1f a a , 当 0a 时, 2( ) 3 1f x x ,由极值的定义知, ( )f x 的极大值为 1 ,无极小值, 当 0a 时,令 0f x ,得到 0x 或 2x a ,当 2x a 或 0x 时, 0f x ,当 2 0x a 时, 0f x , 所以 0x 是 f x 的极大值点,极大值为 0 1f , 2x a 是 f x 极小值点,极小值为 2 2 4( ) 1f a a , 综上, 1 是 ( )f x 的极大值,所以选项 A正确, 对于选项 B,因为 1 0a ,由选项 A知, f x 在区间 2 ,0 a 上单调递增, 又 1 0a ,则 2 , 2 a , 2 1 1a ,所以 ( 1) ( )f a f a ,故选项 B错误, 对于选项 C,当 2a 时, 2 1 a ,由选项 A知, f x 的增区间为 ,0 , 2 , a ,减区间为 20, a , 当 x 时, f x , (0) 1 0f , 2 8 12 1 8 13 0f a a , 由零点存在性原理知,当 2a 时, ( )f x 有且仅有一个零点 0x ,且 0 2x ,所以选项 C正确, 对于选项 D,因为 f x 存在极小值点 1x ,由选项 A知, 1 2x a ,得到 1 2a x , 因为 1 2( ) ( )f x f x ,则 3 2 3 2 1 1 2 2 1 1 2 23 1 3 1x x x x x x ,整理得到 3 2 32 1 2 12 3 0x x x x , 第 2页/共 4页 学科网(北京)股份有限公司 即 21 2 1 22 0x x x x ,又 1 2x x ,所以 1 22 0x x ,故选项 D正确, 14.记由 2n 个数构成递增的等比数列为 nb , 则 1=1b , 2=100nb ,则 1=100nq ,即 1 lg =lg100 2n q 所以 1 2 3 2=n nT b b b b , 即 2 11 2 3 2 1 1 1 1lg = lg lg lg lg nn na b b b b b b q b q b q 1= 2 lg 1 2 3 + 1 lgn b n q 1 2= lg 2 n n q 2n 15. 解:(1)由题知,该五位数个位数为奇数,然后余下的四个数全排列即可. 1 4 3 4 72C A 个. (2)先对 1,3,5 三个数全排列,然后利用插空法排列 2 和 4,即 3 23 4 72A A 个 (3)从 5 个数中挑选出重复的数字,从剩下的 4个数中挑选 3个数字,先对重复数字排列,然后余下的三 个数全排列即 1 3 2 3 5 4 5 3 1200C C C A 个 16.(1)在 2 3 21 21 2 1 2 1 2 9 n n nx x x a x a x a x 中, 令 0x ,得 1 9n ,所以 10n . 在 2 3 10 2 101 2 101 2 1 2 1 2 9x x x a x a x a x 中, 令 1x ,得 1 2 3 9 109 1 1 1 1 1 1 1 1a a a a a , 所以 1 3 5 2 4 6 8a a a a a a . (2)∵ 1 2 nx 的展开式的通项公式为 1 C 2 2 C rr r r r r n nT x x , ∴ 2 2 2 2 2 3 2 2 2 32 2 3 4 10 3 3 4 10 112 C C C C 4 C C C C 4C 660a 17.(1)证明:因为数列 na 满足 *1 2 1n na a n N , 可得 1 1 2( 1)n na a ,即 1 1 2 1 n n a a , 又因为 1 3a ,可得 1 1 2a ,所以数列 1na 是首项为 2,公比为 2的等比数列. 第 3页/共 4页 学科网(北京)股份有限公司 (2)解:由(1)知,数列 1na 是首项为 2,公比为 2的等比数列, 可得 11 2 2 2n nna ,所以 2 1nna , 则数列 na 的前 n项和为 12(1 2 ) 2 21 2 n n nT n n . (3)解:由(2)知: 1 2nna ,可得 2 2log 1 log 2nn nb a n , 所以 1 1 1 1 1 ( 1) 1n nb b n n n n , 所以 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 4 1 1n n S b b b n n n , 当 Nn 时, 11 1n S n 为单调递增数列, 当 1n 时, nS 取得最小值,最小知为 1 1 2 S , 又因为 1 0 1n ,可得 1nS ,所以 1 1 2 n S . 18.(1)因为 ln 1 1f x x a x ,所以 1 1f x a x . 因为 0x ,若1 0a ,即 1a 时, f x 在 0, 上单调递增, 若1 0a ,即 1a 时,令 1 1 0f x a x ,得 10 1 x a ; 令 1 1 0f x a x ,得 1 1 x a ,所以 f x 在 10, 1a 上单调递增,在 1 , 1a 上单调递减. 综上,当 1a 时, f x 在 0, 上单调递增;当 1a 时, f x 在 10, 1a 上单调递增,在 1 , 1a 上单调递减. (2)因为 ln 1 1f x x a x , 1 e 1 2( 1)xf x a x a 恒成立, 所以 ln( 1) 1 ( 1) 1 e 1 2( 1)xx a x a x a ,则 e ln( 1)xa x , 令 e ln( 1)xg x x 且 1x ,则 1e 1 xg x x , 令 ( )h x g x ,则 2 1e 0 ( 1) xh x x ,故 ( )h x g x 在 1, 上单调递增, 又 0 0g ,所以 1,0x 时, 0g x ; 0,x 时, 0g x , 第 4页/共 4页 学科网(北京)股份有限公司 所以 g x 在 1,0 上单调递减,在 0, 上单调递增, 0 1g x g , 所以 1a ,实数a的取值范围为 ,1 . 19.(1)因为 exf x ax ,所以 exf x a , 当 0a 时, e 0xf x a ,则 exf x ax 在R 上单调递增, 当 0a 时,令 e 0xf x a 得 lnx a ,令 e 0xf x a 得 lnx a , 所以函数 f x 的增区间为 (ln , )a ,减区间为 ( , ln )a , 令 e 2xF x x ,则 e 2xF x ,令 e 2 0xF x 得 ln 2x , 令 e 2 0xF x 得 ln 2x ,所以函数 F x 的增区间为 (ln2, ) ,减区间为 ( , ln2) , 所以当 ln 2x 时, F x 取得最小值为 ln 2ln 2 e 2ln 2 2 2ln 2 0F , 所以 e 2x x ,得证; (2)由(1)知, e cosxg x a x x , 因为函数 g x 在区间 0, 内有唯一的零点,所以方程 e cosxa x x 在区间 0, 内有唯一解, 令 ( ) e cos , 0xh x x x x ,则函数 ( ) e cosxh x x x 与 y a 在 0, 上只有一个交点, 记 e 1,( 0)xm x x x ,则 e 1 0xm x ,所以 m x 在 0, 上单调递增, 所以 0e 1 e 1 0xm x x ,即 e 1x x , 故 ( ) e cos sin 1 cos (1 sin ) 0xh x x x x x x x , 所以 ( ) e cosxh x x x 在 0, 上单调递增,又 (0) 1h , 如图: 要使方程 e cosxa x x 在区间 0, 内有唯一解,则 1a . 所以 a的取值范围是 1a .