湖南长沙市雅礼中学2026届高三考前模拟自测数学试题

**基本信息** 高三数学三模卷注重核心素养考查，通过集合运算、椭圆方程、导数应用等基础题，结合立体几何翻折、概率统计应用、双曲线综合等创新题，形成梯度化命题，适配高考冲刺阶段能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、椭圆、导数|基础概念辨析，如第4题导数求瞬时速度（运算能力）| |多选题|3/18|统计、函数、抛物线|选项分层，如第9题折线图分析（数据意识）| |填空题|3/15|向量模、函数对称、立体几何翻折|动态问题设计，如第14题翻折后外接球（空间观念）| |解答题|5/77|三角函数、立体几何、概率统计、导数、双曲线|综合应用，如第17题概率求期望（模型观念）、第19题双曲线迭代问题（创新意识）|

高三模拟卷(三) 数 学 命题人:刘晖 审题人:张鎏 童继稀 周芳芳 张博 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={一1,0,1,2,3},B={x|0≤x-1≤2},则A∩B= A.{-1,0,1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3} D. {-1,0,1} 2.已知z=2+3i,则 的虚部为 A. B. C. D. 3.设椭圆的标准方程为 若焦距为2,则实数m的值为 A.7 B.7 或5 C.10 D.10或2 4.某质点的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为 s(t)=t +4lnt,则该质点在t=2时的瞬时速度为 A.8m/s B.6m /s C.5m /s D.4m/s 5.设 则a,b,c的大小关系为 A. c<b<a B. c<a<b C. b<a<c D. a<b<c 6.若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 截得的弦长为4,则 的最小值为 B. C. D. A. 7.当x∈[0,2 )时,函数 的零点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 8.记为数列{}的前n项和,若 且 的值为1,2,3的可能性相同,则 是奇数的概率为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.某企业积极响应国家节水号召,对污水进行净化再利用,如图是该企业近7年的污水净化量(单位:t)的折线图,则 A.这组数据的众数是56 B.这组数据的极差是4 C.这组数据的60%分位数是55 D.去掉第5年的数据后,新数据的方差会变小 10.已知函数 则 A. f(2)>0 B. f(x)有4个极值点 C. f(x)在区间(2,3)上有零点 D. f(x)在区间(-1,1)上单调递增 11.已知抛物线C: 的焦点为F,点 P,Q,R为抛物线C上任意不同的三点,则下列结论正确的有 A.焦点F为 且到准线的距离为 B.点 P 到直线x-y-1=0距离的最小值为 C.不存在点 P,使得 POF为等边三角形(O为坐标原点) D.若 PQR 为等边三角形,且直线 PQ 的斜率为2,则 PQR 的边长为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知平面内的单位向量,,则|-2|的取值范围是 . 13.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)的图象关于点(1,2)对称,g(x)=f(x-2)+3x,且g(x)的图象关于 点(1,0)对称,则g(19)= . 14.已知菱形ABCD,AB=BD=2,现将 ABD沿对角线BD 向上翻折,得到三棱锥A-BCD,点E为AC的中点.记 BDE的面积为S₁,三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为S₂,则 的最小值为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在 中,内角A,B,C对应边分别是a,b,c.已知a,b,c依次成等差数列,且 2sin C. (1)求 cos A 的值; (2)若 的外接圆半径为 求 的面积. 16.(本小题满分15分) 如图,四棱锥.M-ABCD的底面是边长为4的正方形, (1)证明:MC⊥平面AMD; (2)求三棱锥 A-DCM 的体积的最大值. 17.(本小题满分15分) 某中学高三年级各班人数相同.一次模拟考试后,甲班有 的学生的数学成绩低于135分,乙班有 的学生的数学成绩低于 135分. (1)从甲班、乙班中随机抽取一人,已知该学生的数学成绩低于135分,求该学生为甲班学生的概率; (2)在数学成绩高于145分的学生中,甲班有3名,乙班有5名,现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告,记3人中来自乙班的人数为X,求E(X). 18.(本小题满分17分) 已知函数 (1)求 f(x)的单调区间; (2)设g(x)=f(x)-n,,其中n为正整数,g(x)的正数零点从小到大排列构成数列 ①证明: ②证明: 19.(本小题满分17分) 已知双曲线 离心率为 左、右顶点分别为A,B,| 渐近线为 过点 Q(3,3)的直线l与双曲线C的右支交于M,N两点(点M在点 N 上方),直线 l与 交于点 P. (1)求双曲线C的标准方程; (2)求 与 面积之和的最小值,并求出此时直线 l的方程; (3)在(2)的条件下,过点 M,N分别作渐近线 的平行线,两平行线交于点过点 作直线l的平行线与双曲线C交于点(点 在点 上方),再过点 分别作 的平行线,交于点 这样一直操作下去,可以得到一列点 求证: 为定值, 学科网(北京)股份有限公司 $