湖南怀化市2026届高三5月考前自测数学试题

高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．答案 B 2．答案 A 3．答案 D 4．答案 B 5．答案 D 6．答案 C 7．答案 C 8．答案 B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．答案 ABD 10．答案 ABC 11．答案 BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．答案 6 13．答案 14．答案 2040 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解析 （1）如图，取的中点H，连接，，． 因为E为中点，所以，又平面，平面，所以平面．（2分） 因为，所以，又，所以，所以平面， 因为，所以平面平面， （4分） 又平面，所以平面. （5分） （2）如图，以A为坐标原点，以为y轴，为z轴，过A在平面内作为x轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， （8分） 则，． 取的中点T，连接，，则，，则为两平面夹角的平面角或其补角．（10分） 因为，，， 所以， （12分） 所以平面和平面夹角的余弦值为． （13分） 16．解析 （1）由已知可得，， 所以，． 所以C的方程为． （4分） （2）设，圆M的半径为r（）．过原点O作圆M的切线， 由圆心到直线的距离等于半径，可得． （7分） 整理得，即．（ * ） 由题可知，即为方程（ * ）的两个根， 所以由根与系数的关系可得，所以． （11分） 因为在椭圆上，所以，即． 所以，． 故圆M的半径为． （15分） 17．解析 （1）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 因为， 所以，即， 由正弦定理得． （3分） 所以， 又，所以． （5分） （2）（ⅰ）设，则，， ， （7分） 所以，， （9分） 又，所以，则的取值范围为． （10分） （ⅱ）设（），则． 因为（）， 所以， 所以， 因为，所以，即， 化简得，， （13分） 所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． （15分） 18．解析 （1）． （1分） 由题意可知，． （2分） 解得，. （4分） （2）的定义域为，． 当时，，在定义域内单调递增，不符合题意； （5分） 当时，令，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． （6分） 不妨设，因为，所以，即，所以要证，即证． （7分） 令，则，所以只需证． 令，，则，所以. 所以． （9分） （3），即，不妨令，则与有相同的零点，． （10分） 令，则，所以在上单调递增，且时，，，所以存在，使得，当时，单调递减，当时，，单调递增，即． （12分） 因为，即，又因为在上单调递增，所以， 所以， 则时，无零点，时，有1个零点，时，时，，时，，所以此时有2个零点． （16分） 综上所述：时，无零点，时，有1个零点，时，有2个零点． （17分） 19．解析 （1）记事件“所选箱子中硬币为正面朝上”，“硬币为正常硬币”， 则，，故． （3分） （2）方法一：根据题意，选择的箱子中为“全正”硬币才能获胜，要使获胜的概率最大，则当所选箱子中硬币为“反面朝上”时必须更换选择，所以最佳策略只需要考虑：当所选箱子中硬币为“正面朝上”时是否更换选择． ①当所选箱子中硬币为“正面朝上”时不更换选择，“反面朝上”时更换选择（即题中玩家的策略），玩家该局获胜的概率为． （6分） ②无论所选箱子中硬币为“正面朝上”还是“反面朝上”都更换选择，玩家该局获胜的概率为． （9分） 因为，所以该玩家制定的策略是最佳策略． （10分） 方法二：设所选箱子中硬币为“正面朝上”时更换选择的概率为p，“反面朝上”时更换选择的概率为q，则玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币的情况有： ①玩家选择的箱子中为正常硬币且正面朝上，选择更换箱子后选中“全正”硬币，概率为； ②玩家选择的箱子中为“全正”硬币且正面朝上，不更换箱子，则选中“全正”硬币的概率为； ③玩家选择的箱子中为正常硬币且反面朝上，选择更换箱子后选中“全正”硬币，概率为； ④玩家选择的箱子中为“全反”硬币且反面朝上，选择更换箱子后选中“全正”硬币，概率为． 故玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币的概率为， （8分） 且，，故当且仅当，时概率有最大值，故该玩家制定的策略为最佳策略．（10分） （3）设玩家前局游戏中获胜局数为X，由（2）知，且（）． （11分） 前局中至少获胜局包含以下几种情况： ①玩家前局游戏中获胜局且后两局连胜， 概率为； ②玩家前局游戏中获胜k局且后两局至少胜一局， 概率为； ③玩家前局游戏中至少获胜局， 概率为． （14分） 综上，， （15分） 故，即． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ HUN202605 高三数学 准考证号____________ 姓名________________ 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指己定位置。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知i为虚数单位，若复数z满足，则z的虚部为 A． B．1 C． D．i 3．在下列关于实数a，b的四个不等式中，不恒成立的是 A． B． C． D． 4．已知函数，若有唯一解，则实数a的值是 A．3 B．4 C．5 D．6 5．在棱长为2的正方体中，P为正方体表面上的动点，若，则点P的运动轨迹的长度为 A． B． C． D． 6．设等差数列的前n项和为，已知，，则满足的n的最大值为 A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知函数（）在区间上单调递增，直线为的图象的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为 A． B． C． D． 8．已知点，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为 A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是 A．数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1 C．已知y关于x的线性回归方程为，则样本点的残差绝对值为1.6 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是 A．焦点到渐近线的距离等于 B．内切圆的圆心在直线上 C．为定值 D．若直线与C交于另一点A，则的最小值为6 11．已知函数（），则下列说法正确的是 A．当时，的图象在点处的切线方程为 B．恒成立 C．若恒成立，则 D．若有两个不同的零点，，且，则a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正数a，b，c均不等于1，且，，则__________． 13．已知，，则__________． 14．将一个正n边形的顶点分别与其中心相连接，把这个多边形分成n个三角形区域并按1～n编号，现给这些区域涂色，相邻区域涂不同颜色．若有3种颜色可供选择，记所有不同涂色方案的种数为，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在三棱锥中，底面，点F在棱上，且，E为的中点，D为的中点，G在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若为等边三角形，且，求平面和平面夹角的余弦值． 16．（15分） 已知椭圆C：（）的过焦点且垂直于长轴的弦长为，短轴长为2． （1）求C的方程； （2）设O为坐标原点，若P，Q，M为椭圆上的点，且圆M与直线，相切，当直线，的斜率均存在且时，求圆M的半径． 17．（15分） 在中，已知． （1）求C． （2）如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设（），记，求的最小值． 18．（17分） 已知函数，其中s，m为常数，，且的图象在处的切线方程为． （1）求s，m的值； （2）若存在，（），满足，求证：； （3）设函数，结合a的取值范围讨论的零点个数． 19．（17分） 小明同学设计了一个游戏；有三枚硬币，其中一枚硬币为正常硬币（有正面与反面），一枚为“全正”硬币（两面均为正面），一枚为“全反”硬币（两面均为反面），现将这三枚硬币分别装入三个外观相同的箱子中（每个箱子中装一个）． 游戏规则如下：玩家每局从中随机选取一个箱子后打开观察其中硬币（不可翻转硬币），观察完后有一次更换所选箱子的机会（可以不更换），若玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币，则玩家该局获胜． （1）若将所选箱子打开后发现其中硬币为正面朝上，求该硬币为正常硬币的概率． （2）现玩家针对游戏规则制定如下策略：若所选箱子中硬币为“正面朝上”，则不更换选择；若所选箱子中硬币为“反面朝上”，则在剩余两个箱子中任意选取一个作为最终选择，试探究该策略是否为最佳策略，若是，请说明理由；若不是，请写出你的最佳策略． （3）若玩家按（2）中最佳策略独立进行（）局游戏，将获胜局数不少于k局的概率记为，试比较与的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $