期末复习：利用导数研究函数的图像与性质、导数图像与函数的性质 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦导数与函数性质双向研究，通过正向应用与逆向推理构建完整知识链，强化逻辑推理与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用导数研究函数的图像与性质|3例+3变式|多选为主，综合考查奇偶性、极值点、零点及切线问题|从导数计算到函数性质分析，构建“求导-判断符号-得性质”正向逻辑链| |导数图像与函数的性质|5例+5变式|结合图像考查极值点、单调区间，强调信息提取|通过导函数图像符号变化反推原函数单调性与极值，形成逆向推理能力|

期末复习：利用导数研究函数的图像与性质、导数图像与函数的性质专项训练 期末复习：利用导数研究函数的图像与性质、导数图像与函数的性质专项训练 考点目录 利用导数研究函数的图像与性质 导数图像与函数的性质 考点一 利用导数研究函数的图像与性质 例1．（2026·湖南·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．0可能是的极值点 C．可能有2个极值点 D．当在上有极大值时，的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，判断A；通过分析是否是的变号零点，判断是否是的极值点，判断B；利用导数，结合函数的奇偶性，分析函数的极值点个数，判断C；将在上有极大值时，转化为在上有解，求出的取值范围，判断D. 【详解】因为的定义域为，且，所以是奇函数，A正确． ，由，得．因为是偶函数，所以0不可能是的变号零点，所以0不可能是的极值点，B错误． 令，则． 当时，，所以，又，故； 当时，，，得. 所以在上单调递减． 当时，，当时，，则在上有1个变号零点，所以在上有1个极值点． 又是奇函数，所以有2个极值点．故可能有2个极值点，C正确． 当在上有极大值时，在上有解， 因为在上单调递减， 所以得，D错误． 例2．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测·多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．若在有最大值，则的取值范围为 D．是的充要条件 【答案】AC 【分析】对于A，通过求导得到函数的单调性，结合极值点的定义即可判断；对于B，取，即可判断；对于C，根据函数的图象可判断；对于D，充分性代入可判断，必要性可通过取，判断. 【详解】，令，解得， 当，，函数在上单调递增， 当，，函数在上单调递减， 当，，函数在上单调递增， 所以，的极大值点为，极小值点为，所以有两个极值点，故A正确； 取，，， 所以，不符合时，，故B错误； ，令，即，解得或， 为开区间，若在有最大值， 则，解得， 所以的取值范围为，故C正确； 当时，则， 所以 ， 所以是的充分条件， 若， 取，，，， 满足，此时， 所以不是的必要条件， 综上，是的充分不必要条件，故D错误. 例3．（2026·广东广州·三模·多选）已知函数，其导函数记为，则（     ） A．当时，函数最小值为0 B．若在处的切线与直线垂直，则 C．若函数有两个零点，则 D．当时，若，，则 【答案】AD 【分析】先求导得．对A，用导数判断单调性；对B，由切线斜率与垂直关系求；对C，注意恒为零点，再利用极小值判断零点个数；对D，分别把和转化为关于的等式，再比较两个关于的函数值． 【详解】由题意， 对于A，当时， 令，则 ，所以在上单调递增． 又 ，所以当时，；当时，． 因此在上单调递减，在上单调递增，故最小值为所以A正确． 对于B，直线 的斜率为，与它垂直的直线斜率为． 又 ，所以若切线与该直线垂直，则，解得 ，不是．所以B错误． 对于C，注意到恒成立． 若，则 ，故在上单调递增，只能有一个零点． 若，由在上单调递增可知，方程有唯一解， 且在上单调递减，在上单调递增． 又，所以 下面证明当时， ． 令 则， 所以在上单调递增，在上单调递减，且． 因此当时，，即 ． 所以当，即时，，函数有两个零点； 当，即时，最小值为，函数只有一个零点． 于是有两个零点的充要条件是且， 所以由“函数有两个零点”不能推出，C错误． 对于D，由 得 由得， 整理得 因为，所以 ，且 令 显然 ， 故在上单调递增． 只需证明 由于 ，上式等价于 即 下面证明该式恒成立． 由常用不等式可得 因此 又单调递增，所以，即．所以D正确． 下面补充证明不等式， 设，则，， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则，则恒成立. 变式1．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测·多选）已知函数，，则（   ） A．当时，存在极值点 B．若有三个不同零点，，，则 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有1条 D．若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则 【答案】BCD 【分析】对于A，可得，由判别式可判断极值点个数；对于B，将函数表达式写成，与原式比较常数项即可判断；对于C，设切点为，写出切线方程，根据切线过点建立等式，整理得到关于的方程，根据解的个数即可判断；对于D，将函数表达式写成，根据导数的运算法则求导，代入得到对应点的导数也即切线斜率，最后通分计算. 【详解】对于A，可得，当时，有， 此时恒成立，不存在极值点，故A错误； 对于B，若有三个不同零点，，， 则， 取，得，即，B正确； 对于C，设切点为，则切线方程为， 因为切线过点，可得， 即，整理得， 解得，则过点且与曲线相切的直线有且仅有1条，C正确； 对于D，若有三个不同零点，，，则， 求导得， 所以， ， 从而 ，D正确. 变式2．（25-26高二下·广东云浮·期中·多选）若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．有3个不同的零点 C．最小值为 D．对任意，都有 【答案】ABD 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，令求出方程的解，即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为， 且，即为奇函数， 所以的图象关于中心对称，故A正确； 令，即，解得、、， 所以有3个不同的零点，故B正确； 因为，所以当或时，当时， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以不存在最值，故C错误； 设任意，则，，则， 又， 所以，当且仅当时取等号， 所以对任意，都有，故D正确. 变式3．（25-26高二下·江西宜春·期中·多选）已知函数，则下列不正确的是（ ） A．若，则 B．若在区间上单调递增，则 C．当时，函数的递减区间为 D．若方程有三个实数解，则 【答案】ABD 【分析】对于A,对函数求导，代值可求解；对于B，转化成在上恒成立，又有，则求在时恒成立.结合二次函数最值可求解；对于C,将代入函数后求导得，结合一元二次不等式的解法求解；对于D，令，转化为直线与有3个交点问题.对函数求导，分析单调性，结合图像得出的取值范围. 【详解】对于A，，得 ，即； 对于B，由于，若在区间上单调递增， 则在时恒成立，又因为， 所以在时恒成立. 当时，，即，解得，故B错误； 对于C，当时，函数求导得：， 由，解得， 所以函数的递减区间为，故C正确； 对于D，令函数，求导得：， 当或时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 可得函数的极小值点为1，且， 函数的极大值点为，且， 由于当时，，当时，，作函数的图象如下：    所以要使方程有三个实数解，则，故D错误； 考点二 导数图像与函数的性质 例1．（25-26高二下·上海·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则在内有（    ） A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 【答案】C 【分析】由图象判断区间符号和零点个数，进而判断的驻点、极值点个数. 【详解】由题图知：从左到右依次分为5个区间， 区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点， 即有4个驻点，综上，对于中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点， 所以C正确，A、B、D错误. 例2．（25-26高二下·重庆江津·阶段检测）定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由图知，的图象在区间上依次单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，单调递减， 结合极值点的定义知，共有4个极值点. 例3．（25-26高二下·云南德宏·期中·多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是 的极大值点 C． 的单调递减区间是 D． 【答案】BC 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的单调区间，结合极值点的意义逐项判断. 【详解】观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号， 当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点， 但在两侧符号不变，所以不是的极值点，所以A错误，B正确； 的单调减区间是，所以 C正确； 函数在上单调递增，所以，所以D错误. 例4．（25-26高二下·天津南开·阶段检测）如图是的导函数的图象，则正确的判断是 （1）在上单调递增 （2）是的极小值点 （3）在上单调递减，在上单调递增 （4）是的极小值点 以上正确的序号为______. 【答案】（2）（3） 【详解】由函数的导函数的图象知 当时，，所以在上单调递减，所以（1）错误. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以是的极小值点，所以（2）正确. 当时，，在上单调递减. 所以是的极大值点. 所以（3）正确，（4）错误. 例5．（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________． ①在区间上严格增；②是的极小值点； ③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点． 【答案】 【分析】已知导函数的图象，结合图象可识别导数值的正负，从而判断函数的单调情况，由变号零点的先负后正或先正后负判断极小或极大值点即可得解. 【详解】当时，，此时，函数单调递减，①错误； 时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 则是的极小值点，②正确； 时，，函数单调递增，时，，函数单调递减， 则是的极大值点，③正确，④错误. 故答案为： 变式1．（25-26高二下·北京房山·期中）已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．0是函数的极小值点 C．2是函数的极大值点 D．函数在，上单调递增 【答案】D 【详解】由导函数的图象可知，当，，当，，当，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以A错误，D正确； 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极大值点，2是函数的极小值点，所以B, C错误. 变式2．（25-26高二下·福建福州·期中）如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（   ） A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数 C．当时，取得极大值 D．当时，取得极小值 【答案】D 【详解】由图知，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，A、B错， 所以或时取得极小值，时取得极大值，C错，D对. 变式3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测·多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 【答案】ACD 【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断． 【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确； 对于B选项，由图可知，在左右两侧，导函数左负右正，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误； 对于C选项，由图可知，在左右两侧，导函数恒大于零，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确； 对于D选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确． 变式4．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数的图象如图所示，则________. 【答案】/ 【分析】利用函数的零点求出三次函数的解析式，再利用极值点是导数的零点，结合韦达定理即可求解. 【详解】由图可得函数的零点分别为， 所以， 求导得：， 由图中是函数的极值点， 所以是函数的零点，即， 故答案为： 变式5．（24-25高二下·上海嘉定·期中）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_____. ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点. 【答案】②④ 【分析】先由图得函数的单调性，进而逐一判断即可. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以函数在 区间递增上，在区间上递减，故①错误，②正确； 所以的极小值点为和，极大值点为，故③错误，④正确. 故答案为：②④. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：利用导数研究函数的图像与性质、导数图像与函数的性质专项训练 期末复习：利用导数研究函数的图像与性质、导数图像与函数的性质专项训练 考点目录 利用导数研究函数的图像与性质 导数图像与函数的性质 考点一 利用导数研究函数的图像与性质 例1．（2026·湖南·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．0可能是的极值点 C．可能有2个极值点 D．当在上有极大值时，的取值范围为 例2．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测·多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．若在有最大值，则的取值范围为 D．是的充要条件 例3．（2026·广东广州·三模·多选）已知函数，其导函数记为，则（     ） A．当时，函数最小值为0 B．若在处的切线与直线垂直，则 C．若函数有两个零点，则 D．当时，若，，则 变式1．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测·多选）已知函数，，则（   ） A．当时，存在极值点 B．若有三个不同零点，，，则 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有1条 D．若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则 变式2．（25-26高二下·广东云浮·期中·多选）若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．有3个不同的零点 C．最小值为 D．对任意，都有 变式3．（25-26高二下·江西宜春·期中·多选）已知函数，则下列不正确的是（ ） A．若，则 B．若在区间上单调递增，则 C．当时，函数的递减区间为 D．若方程有三个实数解，则 考点二 导数图像与函数的性质 例1．（25-26高二下·上海·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则在内有（    ） A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 例2．（25-26高二下·重庆江津·阶段检测）定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（25-26高二下·云南德宏·期中·多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是 的极大值点 C． 的单调递减区间是 D． 例4．（25-26高二下·天津南开·阶段检测）如图是的导函数的图象，则正确的判断是 （1）在上单调递增 （2）是的极小值点 （3）在上单调递减，在上单调递增 （4）是的极小值点 以上正确的序号为______. 例5．（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________． ①在区间上严格增；②是的极小值点； ③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点． 变式1．（25-26高二下·北京房山·期中）已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．0是函数的极小值点 C．2是函数的极大值点 D．函数在，上单调递增 变式2．（25-26高二下·福建福州·期中）如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（   ） A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数 C．当时，取得极大值 D．当时，取得极小值 变式3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测·多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 变式4．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数的图象如图所示，则________. 变式5．（24-25高二下·上海嘉定·期中）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_____. ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $