期末培优：一次函数中的面积问题、一次函数与几何问题综合专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数与面积、几何综合，通过期中真题典例构建从基础计算到存在性探究的逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数中的面积问题|3例+3变式|含动点面积、四边形面积计算、面积倍数存在性|从解析式求解到面积公式应用，逐步深化至动态几何量关系探究| |一次函数与几何问题综合|3例+3变式|涉及平行四边形、等腰三角形存在性及面积与函数关系|融合一次函数图像性质与几何图形判定，构建代数与几何交叉应用模型|

期末培优：一次函数中的面积问题、一次函数与几何问题综合专项训练 期末培优：一次函数中的面积问题、一次函数与几何问题综合专项训练 考点目录 一次函数中的面积问题 一次函数与几何问题综合 考点一 一次函数中的面积问题 例1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式是： (2) (3)存在，的坐标是：或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，待定系数法求解析式，三角形的面积； （1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可得； （2）令，求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分①点在线段上，②点在射线上两种情况，分别根据三角形的面积关系建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式是，代入， 根据题意得： 解得： 则直线的解析式是：； （2）在中，令，解得：， ∴，则， ； （3）设的解析式是，则， 解得：， 则直线的解析式是：， ∵当的面积是的面积的时， ∴当的横坐标是， 在中，当时，，则的坐标是； 在中，，则，则的坐标是． 则的坐标是：或， 当的横坐标是：，则在上， 当时，，则的坐标是； 综上所述：的坐标是：或或． 例2．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 【答案】(1) (2)或， (3)或 【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得； （2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点，的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）设点的坐标为．由点在直线上，求出或．再求出相应的的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入一次函数得：，解得， 点坐标为； 故答案为：； （2）解：将代入直线得：， ， ， 将点代入直线得： ， 解得， 直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为， ， ， 要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ， 解得或， 当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； （3）解：设点的坐标为． ∵点在直线上， 解得， 即或． 当时，，解得，此时点坐标为； 当时，，解得，此时点坐标为． 所以点的坐标为或． 例3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点．点是线段上一动点，过点作轴于点，轴于点． (1)若四边形为正方形时，求点的坐标； (2)若四边形的周长为时，求点的坐标； (3)若四边形的面积是面积的一半时，则点的坐标为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的解析式为，设，则，根据正方形的性质得到，则，解方程即可得到答案； （2）证明四边形为矩形，根据矩形的周长公式可推出设，则，即可得到，解方程即可得到答案； （3）可求出，则四边形的面积为3，设，则，根据矩形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点是线段上一动点， ∴可设， ∵轴于点，轴于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵轴于点，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∴ 由（1）得直线的解析式为， 设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积是面积的一半， ∴四边形的面积为3， 设，则， 由（2）可知四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点P为直线上的一动点，点是x轴上一点． (1)求点A和点B的坐标并判断的形状． (2)当点P的横坐标为3时，求的面积． (3)当的面积为10时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标是；点B的坐标是；等腰直角三角形 (2)6 (3)或 【分析】（1）因为求直线与坐标轴交点坐标，所以分别令直线方程中，计算对应y、x的值，得到A、B坐标．因为判断三角形形状，所以先计算的长度，再结合直线斜率或勾股定理，判断边的关系和角的度数． （2）因为已知点P横坐标，所以将其代入直线的方程，求出点P的纵坐标．因为求的面积，所以确定的长度作为底，点P的纵坐标绝对值作为高，再利用三角形面积公式计算． （3）因为已知的面积，所以设点P到x轴的距离为h，以为底，h为高，结合面积公式列方程．因为点P有在x轴上面下面两种情况，所以分情况求解x的值，进而得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴点A的坐标是， 把代入, 得， ∴点B的坐标是， ∴, ∵， ∴是等腰直角三角形． （2）解：把代入， 得， ∴点P的坐标是， ∵， ∴， ， ∴的面积是6． （3）解：或． 设点P到x轴的距离为h， 由，得， ∴， 把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 解得， ∴点P的坐标为或． 变式2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴、轴交于、两点，直线的图象分别与轴、轴交于、两点，为的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、直线交于点和点，当时，的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求得点的坐标，根据中点坐标公式求得点的坐标，然后用待定系数法即可求解； （2）先求得点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解； （3）先求出两函数当时，对应的值，然后根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：令，则，即点， 为的中点， ， 将点代入得， ， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：对于函数，当时，， ， ， ， ， ， 、与轴所围成的三角形的面积为； （3）解：当时，令，， 解得，， ，， 当时，即， 整理得， 解得或． 变式3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在直线上，连接． (1)求直线对应的函数表达式； (2)点为直线上一动点，的面积与的面积相等，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式 （2）利用三角形面积公式求的面积，确定点坐标，设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， （2）解：设， 当时，，解得，则， 的面积； ∵的面积与的面积相等， ， 解得或， 点坐标为或． 考点二 一次函数与几何问题综合 例1．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线交y轴正半轴于点B，点C为射线上一点． (1)如图1，，求直线的表达式； (2)在（1）的条件下，点D在x轴上，连接，，若且，求点C的坐标； (3)如图2，点E是第一象限内一动点，且．若平分，，点M的坐标为，求的最小值． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点C的坐标为或 (3)的最小值为 【分析】（1）先求出点的坐标，设直线的表达式为，把，代入，即可求出直线的表达式； （2）设，当点在第一象限，点在轴正半轴上时，证明，得出，再利用等腰三角形的性质求出，即可求出此时点的坐标；当点在第二象限，点在轴负半轴上时，过点作轴，垂足为点，过点作轴，交直线于点，同样可证明，再利用、是等腰直角三角形，从而得出，，，，最后利用建立方程求出的值，即可求出此时点的坐标； （3）在线段上截取，连接，证明，可得点在线段的垂直平分线上，作点关于直线对称点，连接、，，当三点共线时，取最小值，最小值为的长度，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在x轴正半轴， ∴， 设直线的表达式为，把，代入可得： ，解得：， ∴直线的表达式为． （2）解：∵直线的表达式为， 设， 当点在第一象限，点在轴正半轴上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， 过点作轴，垂足为点， ∵， ∴为等腰直角三角形，即， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴； 当点在第二象限，点在轴负半轴上时，如图所示： 过点作轴，垂足为点，过点作轴，交直线于点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵轴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，且此时点在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 综上：点C的坐标或． （3）解：在线段上截取，连接， ∵平分， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由垂直平分线的判定可得：点在线段的垂直平分线上， 作点关于直线对称点，连接、，过点作轴， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：，当三点共线时，取最小值，最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴中点的坐标为， 又∵， ∴的坐标为， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 例2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图⑨，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式；将代入，解方程即可； （2）在中，分别令，，解方程即可得点坐标； （3）以四个点为顶点构成一个平行四边形，分两种情况：①当以为边，由或，即可求得相应的点坐标，②当以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：． （2）解：根据（1）可得直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得：， ． （3）解：存在． 如图，①当以为边时， ， ，， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴； 或， ∴； ②当以为对角线时， 设对角线的交点为，则， ∴，即； 综上所述，符合条件的的坐标为：或或． 例3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交x轴正半轴于A、交y轴正半轴于B，点C在y轴负半轴上，于D，交于E，，的面积为18． (1)求的长； (2)F在线段上时，，连，设纵坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）条件下，以、为两边构平行四边形，连，若，求点坐标． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）先由，坐标轴夹角为直角，推导角的等量关系，结合的条件，证明和全等，得到；再结合的面积公式代入数值求解长度； （2）作于点，交于点，连接，由可推出是的垂直平分线，从而得出，进一步推导出，均为等腰直角三角形，然后用的代数式表示出，的长度，再根据即可求解； （3）延长至点，使，延长交轴于点，由和三角形外角的性质可得，从而得出，所以和的函数解析式中一次项系数相等，通过坐标可求出用的代数式表示出的解析式中的一次项系数，用的代数式表示的坐标，再用待定系数法，可以求出的函数表达式，从而求出点的纵坐标，然后表示出的长度，最后，在Rt中用勾股定理列方程，即可求出，这样的坐标即可求出． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 又， (AAS)， ， 的面积为18， ， ， ； （2）解：作于点，交于点，连接，如下图所示： ， ，即是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 点纵坐标为， ， ， ， 的坐标为， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使，连接，延长交轴于点，如下图： ， ， ， 又， ， ， 由(2)知， 设直线的解析式为， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 在中，， ， ， 把代入， 得， ， ， ， ， ，， ， ， ， 整理得： ， ， ， ， 或， 在线段上， ， 舍去， ， ． 变式1．（25-26八年级下·广东河源·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②P点坐标为或或或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①通过观察图象求解即可；②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是． （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是． （3）解：①∵， ∴的解集是， ∵， ∴的解集是， ∴的解集是； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 变式2．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求点坐标，然后由建立方程求解； （3）先画出图形，再根据平行四边形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 把点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （2）解：对于，当时， ∴， ， ∵ ∴， ∴， ； （3）解：如图， 当时，，，则； 当时，同理可求； 当时，则, ∵，，， ∴点向点的平移方式与点向点的平移方式一样， ∵点向点的平移方式为向左平移2个单位，向上平移2个单位， ∴点向左平移2个单位，向上平移2个单位得到 综上，点的坐标为或或． 变式3．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点，B,C． (1)求点B和点C的坐标； (2)M为x轴上点A右侧一动点，以,为邻边作，连接,． ①求的最小值； ②在点M移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为，点C的坐标为 (2)；点M移动过程中，能等于，点 【分析】本题考查了一次函数解析式求解、平行四边形的性质、轴对称求最短路径、等腰直角三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是利用平行四边形性质转化线段，通过轴对称构造最短路径，结合等腰直角三角形构造全等三角形求解点的坐标． （1）将点代入一次函数解析式求参数，再联立两直线方程求交点的坐标； （2）①由平行四边形性质将转化为，作点关于轴的对称点，利用两点之间线段最短求的最小值；②构造等腰直角三角形，通过证明，求出点的坐标，再结合直线的方程求解点的坐标，验证存在． 【详解】（1）解：由直线过点，得，解得， 则点的坐标为， 由，解得，则点的坐标为． （2）解：①由（1）得点是线段的中点，即， 由，得，，连接，则四边形是平行四边形， 于是，令点关于轴对称点为，连接，， 因此，当且仅当点，，三点共线时取等号，而，过点作轴于点，则，，， 所以的最小值为． ②在点移动过程中，能等于，理由如下： 当时，过点作交的延长线于点，过点作直线轴，过点，作直线的垂线，垂足分别为，，则为等腰直角三角形，， 由，，得， 则，，设，则， 则点，由，得直线的方程为， 因此，解得，点， 所以在点移动过程中，能等于，点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：一次函数中的面积问题、一次函数与几何问题综合专项训练 期末培优：一次函数中的面积问题、一次函数与几何问题综合专项训练 考点目录 一次函数中的面积问题 一次函数与几何问题综合 考点一 一次函数中的面积问题 例1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 例2．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 例3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点．点是线段上一动点，过点作轴于点，轴于点． (1)若四边形为正方形时，求点的坐标； (2)若四边形的周长为时，求点的坐标； (3)若四边形的面积是面积的一半时，则点的坐标为______． 变式1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点P为直线上的一动点，点是x轴上一点． (1)求点A和点B的坐标并判断的形状． (2)当点P的横坐标为3时，求的面积． (3)当的面积为10时，请直接写出点P的坐标． 变式2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴、轴交于、两点，直线的图象分别与轴、轴交于、两点，为的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、直线交于点和点，当时，的值为 ． 变式3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在直线上，连接． (1)求直线对应的函数表达式； (2)点为直线上一动点，的面积与的面积相等，求出点的坐标． 考点二 一次函数与几何问题综合 例1．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线交y轴正半轴于点B，点C为射线上一点． (1)如图1，，求直线的表达式； (2)在（1）的条件下，点D在x轴上，连接，，若且，求点C的坐标； (3)如图2，点E是第一象限内一动点，且．若平分，，点M的坐标为，求的最小值． 例2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图⑨，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 例3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交x轴正半轴于A、交y轴正半轴于B，点C在y轴负半轴上，于D，交于E，，的面积为18． (1)求的长； (2)F在线段上时，，连，设纵坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）条件下，以、为两边构平行四边形，连，若，求点坐标． 变式1．（25-26八年级下·广东河源·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 变式3．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点，B,C． (1)求点B和点C的坐标； (2)M为x轴上点A右侧一动点，以,为邻边作，连接,． ①求的最小值； ②在点M移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $