21 圆中的计算与证明-【鹰击道道清】2026年天津中考数学冲关模拟分类

21 圆中的计算与证明父态 21圆中的计算与证明 g第一部分通关“中考真题”心) 2.(2022·天津)已知AB为⊙O的直径， 1.(2021·天津)已知△ABC内接于⊙O,AB= AB=6,C为⊙O上一点，连接CA,CB. AC,∠BAC=42°，点D是⊙O上一点. (1)如图①，若C为AB的中点，求∠CAB (1)如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD, 的大小和AC的长； 求∠DBC和∠ACD的大小； (2)如图②，若AC=2,OD为⊙O的半径，且 (2)如图②，若CD∥BA,连接AD,过点D OD⊥CB,垂足为E,过点D作⊙O的切线，与 作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E, AC的延长线相交于点F,求FD的长， 求∠E的大小。 D B 0 0 图① 图② 图① 图② 。81。 ) 玉鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 名 3.(2023·天津)在⊙O中，半径OC垂直于弦 4.(2024·天津)已知在△AOB中，∠ABO= AB,垂足为D,∠AOC=60°，E为弦AB所 30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切 对的优弧上一点. 于点C (1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小； (1)如图①，若AB∥MN,直径CE与AB相 (2)如图②，CE与AB相交于点F,EF= 交于点D,求∠AOB和∠BCE的大小； EB,过点E作⊙O的切线，与CO的延长线 (2)如图②，若OB∥MN,CG⊥AB,垂足为 相交于点G.若OA=3,求EG的长 G,CG与OB相交于点F,OA=3,求线段 G OF的长. DF C M C 图① 图② 图① 图② ·82· 21 圆中的计算与证明父态 5.(2025·天津)已知AB与⊙O相切于点C, C3 第二部分 详练“模拟原题”泗 OA=OB,∠AOB=80°，OB与⊙O相交于 A组 点D,E为⊙O上一点. 1.(2025·滨海一模)已知CD,BE为⊙O的 G 直径，弦AB⊥CD,连接AC,BC,∠ACD= 30° 图① 图② (1)如图①，求∠CED的大小； (2)如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交 G D D 于点F,延长BO与⊙O相交于点G,若⊙O 图① 图② 的半径为3，求ED和EG的长. (1)如图①，求∠BCD和∠ABE的度数； (2)如图②，过点D作⊙O的切线，与CB的 延长线交于点G,⊙O的半径为4，求线段 BG的长. ·83· 沙①鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 2.(2025·河西结课考)已知AD是⊙O的直 3.(2025·河北二模)在⊙0中，弦AB与半径 径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB,CD与 OC互相垂直，垂足为点E,连接OA,OB,点 OB交于点E D在⊙O上，连接DB,DC. D 图① 图② 图① 图② (1)如图①，若∠BOC=42°，求∠D和 (1)如图①，若DB是⊙O的直径，∠AOC= ∠OED的大小； 50°，弦DC交半径OA于点F,交弦AB于 (2)如图②，过点C作⊙O的切线，与OA的 点G,求∠DFO和∠EGC的大小； 延长线相交于点G,OC与AB交点为H. (2)如图②，若直线MN与⊙O相切，切点 OA=3,AG=2.求△DGC的面积. 为点D,且MN∥OB,∠AOC=30°，AE= 5,求DB的长 。84. 68 62 21圆中的计算与证明C心 4.(2025·河东二模)已知点O为△ABC边 5.（2025·部分区一模)已知AB,CD是⊙O BC上一点，以点O为圆心，OA为半径作圆 的直径，M为BD的中点，连接CM,BC, 与AC相切于点A,与边BC交于点D DM. H M D 图① 图② 图① 图② (1)如图①，若∠CAB=20°，求∠ABC和 (1)如图①，过点O作OE⊥BC,交AB于点 ∠CDM的大小； E,交CA延长线于点G,若∠OBE=30°， (2)如图②，过点C作⊙O的切线，交AB的 BD=10,求AG的长； (2)如图②，CM与⊙O相切于点M,连接 延长线于点P,弦BD与CM交于点N,若 MB,与直径AN交于点H,若AN⊥BM, ∠ABC=2∠BCP,MN=2,求⊙O的直径. 且BM=AC=8,求AH的长. ·85· ) 沙鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 6.(2025·南开一模)⊙O是△ABC的外接 7.(2025·河西一模)已知△ABD内接于 圆，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点， ⊙O,AB=BD,AC为⊙O的直径，连接 过点D作DE∥AC,DE与CB的延长线交 DC. 于点E,连接AD,CD,CD与AB交于点F 0 B D D 图① 图② 图① 图② (1)如图①，若∠ABD=50°，求∠BDC和 (1)如图①，若∠BAC=20°，求∠E和 ∠ACD的度数； ∠ADC的大小； (2)如图②，过点B作⊙O的切线，与DC的 (2)如图②，若DE恰好切⊙O于点D,且 延长线交于点E,若AB=5√6，BE=5,求 AC=6,CD=3√10，求⊙O的半径和BC ⊙O的半径. 的长 ·86 68为】 6 21圆中的计算与证明父C心 8.（2025·红桥一模)已知△ABC内接于⊙O,9.(2025·南开二模)点A,B,C在⊙O上，AE AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线， 切⊙O于点A,CE与⊙O相交于点F, 与AC的延长线相交于点D,点E在⊙O AE∥OB,∠OCE=30°，弦AB=3√2. 上，CA=CE,CE与AB相交于点F. C 图① 图② E 图① 图② (1)如图①，若AC为直径，求∠B的大小和 (1)如图①，若∠D=53°，求∠ABC和 线段AE的长； ∠BCE的大小； (2)如图②，若CE∥AO,求线段AE和EF (2)如图②，若∠BAE=∠BAC,OA=3,求 的长 CD的长. ·87。 ①鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 客 10.（2024·滨海一模)在△ABC中，AB= 11.(2024·河北一模)在⊙O中，点A,B,P在 AC,O为AB上一点，⊙O与BC相交于 圆上，∠AOB=150°. 点D (1)如图①，P为弦AB所对的优弧上一 (1)如图①，AB为⊙O的直径，若∠BAC= 点，半径OC经过弦AB的中点M,PB= 50°，⊙O与AC相交于点E,求∠EBD和 AB,求∠AOC和∠ABP的大小； ∠BED的大小； (2)如图②，P为弦AB所对的劣弧上一 (2)如图②，⊙O经过点B,与AB相交于 点，AP=OB,过点B作⊙O的切线，与AO 点E,与AC相切于点F,过点E作弦 的延长线相交于点D.若DB=√6，求PB EG∥AC,连接BG,OD,BG与OD相交于 的长 点H.若EG=4,求OH的长. 0 M 0 C H 图① 图② D 图① 图② ·88 6 62 21圆中的计算与证明父C⊙ B组 13.(2025·和平一模)已知AB是⊙O的直 12.(2025·河东一模)已知△ABC,∠ABC= 径，AB=2,点C和点D为圆上的点， 90°，⊙O过点A,且与边AC,BC分别交于 ∠CBA=70°，∠DAB=50°，连接BD 点D,E D C 图① 图② F 图① 图② (1)如图①，求∠DBC和∠BCD的大小； (1)如图①，若⊙O过点B,且BE=AB,连 (2)如图②，过点C和点D分别作⊙O的 接BD,求∠ADB的大小； 切线相交于点P,连接OP,求OP的长. (2)如图②，若点O在AC上，BC与⊙O相 切于点E,过⊙O上点F作FG⊥AC交 AC于点G,连接AF,若BC=AB=2十 √2，DG=4AG,求AF的长 ·89… ) 沙①鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 名 14.(2025·和平二模)已知AB为⊙0的直15.(2024·滨海二模)在⊙0中，AB是⊙0的 径，CD为⊙O的弦，弦BC的长为5. 直径，弦CD垂直于AB,垂足为E,过点C 作⊙O的切线交BA的延长线于点F. (1)如图①，若∠B=25°，求∠F的大小； (2)如图②，若∠B=30°，AB=4,M是AD 的中点，连接CM,求CM的长. 图① 图② (1)如图①，若直径AB的长为10，求 ∠BDC的大小； E (2)如图②，过点C作⊙O的切线与DB的 延长线相交于点E,若DB⊥CE,线段BE 图① 图② 的长为3，求直径AB的长. ·90· 21 圆中的计算与证明父态 16.(2024·和平二模)已知AB是半圆O的直 C组 径，C是BD的中点. 17.(2025·滨海二模)在⊙0中，AB为直径， (1)如图①，若∠BAD=40°，求∠ABC和 CD与⊙O相切于点C,交AB延长线于点 ∠ADC的大小； D,连接AC,BC,且∠D=30°，点E为AB (2)如图②，过点C作半圆O的切线CM, 中点。 过点O作OE⊥CD与CM相交于点E.若 CD∥AB,AB=4,求CE的长 E 图① 图② (1)如图①，求∠A和∠ECB的大小； 图① 图② (2)如图②，过点B作BF⊥CE,垂足为点 F,延长BF交⊙O于点G.若AB=12,求 BG的长. 。91。 沙鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 名 18.(2025·和平三模)已知△ABC中，∠C= 19.(2025·红桥二模)已知四边形ABCD内 67.5°，以AB为直径的⊙O分别交AC, 接于⊙O,D为AC的中点，过点B作⊙O BC于点D,E. 的切线，与AC的延长线相交于点E B B B 图① 图② 图① 图② (1)如图①，若点E为BD的中点，连接 (1)如图①，若AB经过点O,∠E=52°，求 DE,求∠B和∠CED的大小； ∠DAC的大小； (2)如图②，若AC经过点O,AB=BE= (2)如图②，过点E作⊙O的切线与AC相 √3，求AD的长. 交于点F,且EF⊥AC,若CF=2-√2，求 ⊙O半径的长. 。 92· 6为 21圆中的计算与证明父丝密心 g第三部分精研“同类好题”四 2.（2023·河东二模)已知⊙0的半径为3，点 1.(2023·河西一模)已知⊙O上有点A,B, A,B,C在⊙O上. 连接OB,AB,∠B=60°，OB=1,C为AB (1)如图①，若四边形ABCO是平行四边 的中点，连接OC. 形，求∠A的大小和AB的长； (1)如图①，求∠BOC的大小和OC的长； (2)如图②，AC是⊙O的直径，D为BC的 (2)如图②，延长BO至点D,使得BD= 中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线 3BO,过点D作⊙O的切线交BA的延长线 于点E,若AB=4,求DE的长， 于点E,切点为F,连接FC,求FC的长 图① 图② 图① 图② ·93· 沙①鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 名 3.（2023·红桥二模)在△ABC中，∠ABC= 4.（2023·滨海二模)如图，在Rt△ABC中， 45°，∠C=60°，⊙O经过点A,B,与BC相 ∠C=90°，点D是边AB上一点，以BD为 交于点D 直径的⊙O与边AC相切于点E,与边BC (1)如图①，若AB是⊙O的直径，AC与 相交于点F,BF=OB,点G是BF的中点. ⊙O相交于点E,求∠ADE的大小； (1)如图①，求∠GOB的度数； (2)如图②，若⊙O的半径为2，AC与⊙O (2)如图②，延长GO交⊙O于点M,连接 相切于点A,求AD的长和∠ADC的大小. EM.若AC=3√/3，BF=2CF,求EM的长. 0 图① 图② 图① 图② 。94。 68为】 66 21圆中的计算与证明父C 5.(2023·滨海一模)已知A,B,C是⊙O上的 6.(2023·河东一模)如图，AB为⊙O的切 三个点，四边形OABC是平行四边形，EF 线，C为切点，D是⊙O上一点，过点D作 为⊙O的直径，EF=6,且EF⊥AB,H为垂 DF⊥AB,垂足为F,DF交⊙O于点E, 足，连接AF (1)如图①，若∠D=34°，求∠DEO的度数； (1)如图①，求∠AFE的大小和OH的长； (2)如图②，连接EO并延长交⊙O于点G, (2)如图②，经过点C作⊙O的切线，与AE 连接CG,OD.若∠DOE=2∠CGE,⊙O的 的延长线交于点P,求∠APC的大小 半径为5，求CG的长， D G F F 0) H C AF A FB B 图① 图② 图① 图② ·95· 沙玉鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 名 7.(2023·和平二模)已知AB是⊙O的直径， 8.(2023·南开二模)已知在⊙O中，直径AC CD交AB于点H. 长为12，MA,MB分别切⊙O于点A,B,弦 (1)如图①，若AC=BC,∠AOD=126°，求 AD∥BM. ∠AHD和∠E的大小； (1)如图①，若∠AMB=120°，求∠C的大小 (2)如图②，若H为弦CD的中点，过CD 和弦CD的长； 延长线上一点P作⊙O的切线，切点为F (2)如图②，过点C的切线分别与AD,MB 若∠ACF=65°，求∠P的大小. 的延长线交于点E,F,且CE=EF,求弦 A CD的长. D C E H B 图① 图② M A A 图① 图② 96·4.解：(1)50,20,6,6； (2)5X8+5.5X126X16+65X10+7×4=5.9, 8+12+16+10+4 .调查的这些家庭月均用水量的平均数是5.9. (3)5000×32%=1600(个).即该社区月均用水 量是6t的家庭约为1600个. 5.解：(1)20；15； (2)中位数为3，众数为3，平均数为 2×4+3×7+4×6+5X3=3.4; 20 (3)500×(30%十15%)=225（名）. 6.解：(1)75,16； (2)平均数为 20×15+30×12+40×15+50×24+60X9=40; 15+12+15+24+9 ,在这组数据中，50出现了24次，出现的次数 最多， ∴.这组数据的众数是50. ,将这组数据按由小到大的顺序排列，处于中间 的数是40， ∴.这组数据的中位数是40. (3)1200×(20%+32%+12%)=768(人). 该校学生中每天课余阅读时长不少于40min的人 数约为768人. 7.解：(1)40,25；90,90； (2)30X7+60,X8,+90X15+120X10=81, 7+8+15+10 ∴调查的学生一周参与家务劳动时间的平均数 是81. (3)1500×20%=300(人)，估计该校一周参与家 务劳动时间是60分钟的学生人数约为300人. 8.解：(1)40,20,5,6： (2)这组每周阅读时间数据的平均数 x=4X6+5×126×107X8+8×4=5.8; 6+12+10+8+4 (3)该校学生每周课外阅读时间大于6h的学生人 数为8若×1200=360（人）. 9.解：(1)50,10,11,11； (2)这组家庭月均用水量数据的平均数为品× (10×10+20×11+5×12+10×13+14×5)= 11.6. (31000×10+20+5-70(个)； 50 该社区家庭月均用水量不超过12t的家庭约为 700个. 10.解：(1)40,25； (2)平均数= 14×6+15×12+16×10+17×8+18×4=15.8, 40 众数15，中位数16； (3)全校测试成绩大于16次的人数大约是1200× (20%+10%)=360(人). 11.解：(1)40,20,27,26； （2)x=24X6+25×8+26X10+27X12+28X4=26, 40 ∴统计的这组学生乒乓球正手攻球体育项目的 测试成绩的平均数是26； (3)800×30%=240(人)， 即估计该校八年级学生乒乓球正手攻球体育项 目的测试成绩为27次的人数约是240人. 12.解：(1)40,12.5,56,54； (2) 7X44+5×48+8×52+10X56+6×60+4X64=53.5, 40 统计的这组车辆速度数据的平均数为53.5； (3)500×10%=50(辆)，根据样本数据估计每天 会有50辆车超速， 第三部分精研“同类好题” 1.解：(1)40,25； (2)3,3; 平均数为1×4+2X8+3X15+4X10+5×3=3: 40 (3)估计暑期该校七年级学生读书的总册数为 1200册. 2.解：(1)50,24； (2)这组数据的平均数为8.34，众数为9，中位数 为8.5； (3)读书时间不少于9小时的学生大约有1500人. 3.解：(1)20,25； (2)平均数是1.61，众数是1.65，中位数是1.60： (3)能， 21圆中的计算与证明 第一部分通关“中考真题” 1.解：(1)：AB=AC∠ABC=∠ACB=2(180° ∠BAC)=号×180°-42)=69 BD为直径，∴∠BCD=90° .∠D=∠BAC=42°， .∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°， .∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69° 48°=21°. (2)如图，连接OD, CD∥AB, .∠ACD=∠BAC=42. ,四边形ABCD为⊙O的内接 四边形， .∠B+∠ADC=180°， .∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111°， .∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180° 42°-111°=27°， .∠COD=2∠CAD=54°. DE为切线，.OD⊥DE,∠ODE=90°， ∴.∠E=90°-∠D0E=90°-54°=36°. 2.解：(1)AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°. C为AB的中点，AC=BC, .∠CAB=∠CBA=45°， .AC=AB·cos∠CAB=3V2, (2)DF是⊙O的切线，∴.OD⊥DF .OD⊥BC,∠FCB=90°， .四边形FCED为矩形，FD=EC 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,AB=6, .BC=√AB2-AC=4√2. ODLBC,EC-BC-2FD-2 3.解：(1)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB, .AC=BC,∠AOC=∠BOC. ,∠AOC=60°，.∠AOB=2∠AOC=120°. ∠A0C :∠CEB=号∠B0C= .∠CEB=30° (2)如图，连接OE, 由(1)得∠CEB=30°， ,在△BEF中，EF=EB, ∠EBF=∠EFB=75°， .∠AOE=2∠EBA=150° 又∠AOG=180°-∠AOC=120°， ∴.∠GOE=∠AOE-∠AOG=30°. .GE与⊙O相切于点E, ∴.OE⊥GE,即∠OEG=90° 在R△OBG中，ian∠GOE-8e,OE=OA=3, ∴.EG=3×tan30°=√3. 4.解：(1)AB为⊙O的弦， .OA=OB,.∠A=∠ABO. ,在△AOB中，∠A+∠ABO+∠AOB=180°， 又∠ABO=30°， ∴.∠AOB=180°-2∠ABO=120°. ,直线MN与⊙O相切于点C,CE为⊙O的直径， .CE⊥MN,即∠ECM=90°. 又AB∥MN, ·∠CDB=∠ECM=90° 在Rt△ODB中，∠BOE=90°-∠ABO=60°. :∠BCE=∠BOE, .∠BCE=30°. (2)如图，连接OC 直线MN与⊙O相切于点C, .∠OCM=90°. .OB∥MN, ∴.∠OCM=∠COB=90°. CG⊥AB,∴.∠FGB=90. 在Rt△FGB中，由∠ABO=30°， 得∠BFG=90°-∠ABO=60°. ∴∠CFO=∠BFG=60°， 在R△c0F中，ian∠CF0=8S,0C=0A=3, .OF=, OC 3 tan∠CFOtan60=√3. 5.解：(1)如图，连接OC. ,AB与⊙O相切于点C,.OC⊥AB. 又OA=OB,.OC平分∠AOB. ∠C0B=∠A0B, .∠AOB=80°，∴.∠COB=40° 在⊙0中，∠CED=2∠C0D,:∠CED=20 (2)由(1)知：∠CED=20° .EC∥OA,∴.∠EFG=∠AOB=80. ∠EFG为△DEF的一个外角， ∴∠EDF=∠EFG-∠FED=60°. 由题意，DG为⊙O的直径，∴.∠GED=90°. 又⊙O的半径为3，则DG=6. 在Rt△GED中， cas∠BDG-器sn∠EDG器， .ED=6Xcos60°=3，EG=6Xsin60°=3√3. 第二部分详练“模拟原题” A组 1.解：(1)：在⊙O中，CD为直径，AB⊥CD, ..AD=BD. ,∠ACD=30°，.∠BCD=∠ACD=30° ,OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB=30°， ∴.∠BOD=∠OCB+∠OBC=60°， .∠ABE=90°-∠BOD=90°-60°=30°. (2)如图②，连接BD, D 由(1)得，∠BCD=30°， DG为⊙O的切线，.CD⊥DG,∴∠G=60°. ,CD为⊙O的直径，∴∠DBG=∠DBC=90°. 在Rt△DBC中，CD=2OD=8, :BD=号DC=4 在Rt△DBG中，tan∠G=DB BG tan 60-. 4 3 2.解：(1)OC⊥AB, ∴.AC=BC,∴∠AOC=∠BOC=42, ·∠D=号∠A0C=21,∠A0B=42+42°=84 .∠OED=∠AOB-∠D=84°-21°=63°. (2)OA=3,AG=2, .OG=2+3=5,OC=OA=OD=3. .CG为⊙O的切线，∴.OC⊥GC, .CG=OG-OC=√52-32=4， 5aw=20GX0-号X4X3=6 .DG=OD+OG=3+5=8, =-8-号 ∴5m=Saum=gX6- 3.解：(1)在⊙O中，弦AB⊥OC于点E, ∴.AC=BC,∴.∠BOC=∠AOC=50°， .∠AOB=100°， ∴∠CDB=2∠B0C=25. .∠A0B=50°+50°=100°， ∴.∠DFO=∠AOB-∠CDB=75°； .OC=OD,∴.∠OCD=∠ODC=25. 又，弦AB⊥OC于点E,即∠GEC=90°， .∠EGC=90°-∠ECG=65°. (2)如图，连接OD, ,'直线MN切⊙O于点D, ∴.OD⊥MN,即∠ODN=90° .MN∥OB,∴.∠BOD=∠ODN=90. ∠AOC=30°， 同(1)得∠AOB=60°. 又.OA=OB. ∴.△AOB为等边三角形，∴.AB=OB. .AE=5,OELAB,..AB=2AE=10, ∴.OD=OB=10, 在Rt△DOB中，DB=√OD2+OB=10√2. 4.解：(1)，⊙O与AC相切于点A, ∴.OA⊥AC,∠OAG=90. 在△BOA中，OA=OB,∠OBE=30°， ∴.∠OAB=∠OBA=30°，.∠AOB=120°. :OE⊥BC,.∠BOE=90°， ∴.∠AOG=∠AOB-∠BOE=30°. .BD=10,∴.OB=OA=5, 在Rt△OAG中，AG=OA·tan30°=5y3 3 (2).OA与AC切于点A,.OA⊥AC. AN⊥BM,∴.AC∥BM. ,BM=AC=8,∴.四边形ABMC是平行四边形. ,CM与⊙O相切于点M,AC与⊙O相切于点A, ∴.CM=CA,∴.四边形ABMC是菱形， ∴.AB=BM=8. :AN LBM,BH=MH=号BM=4, .AH=√AB2-BH=4√3. 5.解：(1)AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°. :∠CAB=20°，∴.∠ABC=90°-∠CAB=70° ,OB=OC,∴.∠OCB=∠OBC=70° DM=BM, ÷∠DCM=∠BCM=2∠0CB=35 ,CD是⊙O的直径，.∠DMC=90°， ∴.∠CDM=90°-∠DCM=55°. (2),PC切⊙O于点C,∴.OC⊥PC, 即∠OCB+∠BCP=90°. 又：∠OCB=∠OBC,∠ABC=2∠BCP, ∴∠OCB=60°. 18· .DM=BM, ∠DCM=∠BCM=2∠0cB=30, .∠MDN=∠BCM=30°. 由(1)知∠DMC=90°. :MN=2,DM=M=2=2V5. tan30° √3 3 ∠DCM=30°，∴.CD=2DM=4√3， 即⊙O的直径为4√3. 6.解：(1)AB是⊙O的直径，∴.∠ACE=90°. ,DE∥AC, ∴.∠E=180°-∠ACE=180°-90°=90°. ∠BAC=20°，.∠ABC=90°-20°=70. ,AC=AC,.∠ADC=∠ABC=70°. (2)如图，连接DO,并延长DO交AC于点H, DE恰好切⊙O于点D,∴∠HDE=90°. 由(1)得∠E=90°，∠ACE=90°， ∴.四边形DHCE是矩形， ∴∠DHC=90,AH=CH=号AC=3. ,CD=3√10， .DH=√CD2-HC=√90-9=9. 设⊙O的半径为r,则AO=OH+AH, ∴.r2=(9-r)2+9,解得r=5. 在Rt△ABC中，则AB=2X5=10, ∴.BC=√AB2-AC=√100-36=8. 7.解：(1)：AC是⊙O的直径， ∴.∠ADC=90°. AB=BD,∴∠BAD=∠BDA. ,∠ABD=50°，由三角形内角和180°， 得∠BDA=2(180°-50)=65. ∴.∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°-65°=25°. .AD=AD,∴.∠ACD=∠ABD=50 (2)如图，连接BO并延长，交AD于点H,连接DO: .AB=BD,OA=OD, .BH是AD的垂直平分线，即∠BHD=90° 又，BE为⊙O的切线，.∠OBE=90° 又.AC为⊙O的直径，∴.∠ADC=90°， .四边形BHDE为矩形， ∴.∠E=90°，BE=DH=5. ,AB=BD=5√6， ∴.在Rt△BDH中， BH=√BD2-D=√(5√6)2-52=5√5. 设⊙O的半径为r, 则OD=OB=r,OH=BH-OB=5√5-r, 在Rt△DOH中，由勾股定理， 得r2=52+(55-r)2. r>0,∴.r=3√5（负值舍去）； .⊙0的半径为35 8.解：(1)：BD是⊙O的切线， ∴∠ABD=90°，∴.∠ABC+∠CBD=90°. 又.AB为直径，∠D=53°， ∴∠ACB=∠BCD=90°，∴∠D+∠CBD=90°， ∴∠ABC=∠D=53°. CA=CE,∠AEC=∠ABC=53°， ∠CAE=∠CEA=53°， .∠ACE=180°-∠CAE-∠CEA=180°-53° 53°=74°， .∠BCE=∠ACB-∠ACE=90°-74°=16°. (2)如图，连接OC,OE, .∠BOC=2∠BAC,∠BOE=2∠BAE. ,∠BAE=∠BAC,∴.∠BOC=∠BOE. .OC=OE,OF=OF,∴.△COF≌△EOF(SAS), CF=EF,.OF垂直平分CE, 即AF垂直平分CE,∴AC=AE. 又CA=CE,∴.AC=AE=CE, ∴.△ACE为等边三角形， ∠AEC=60°=∠ABC 在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴.∠BAC=30°. :AB=20A=6,BC=2AB=号×6=3， .∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-60°=30. 在Rt△BCD中， am∠DBC-品-an30-9, 3 79 .CD=3BC=5x3=5,.CD长为5. 3 3 9.解：(1)AE切⊙O于点A,AC为直径， ∴.∠CAE=90°. .AE∥OB,∴.∠AOB=∠CAE=90. .OA=OB,AB=3√2， ÷∠B=2(1802-∠A0B)=45, 0A=0B=号AB=3, 在Rt△CAE中，AC=2OA=6,∠OCE=30°， ∴.AE=AC·tan∠OCE=6tan30°=2√3. (2)如图，延长BO交CF于点H, 0 .AE∥OB,CE∥AO, .四边形AEHO是平行四边形 .AE切⊙O于点A,∠OAE=90° ∴.四边形AEHO是矩形， ∴.AE=OH,EH=OA=3,∠OHE=90°， .FH=CH. 在Rt△OHC中，OC=3,∠OCH=30°， 六FH=CH=0C·cos30°=3X5=-3Y3 2 2 0H=00·sm30=3×分=2， AE-3,EF-EH-FH-3-33 2 10.解：(1)：AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°， .∠ABE=90°-∠BAC=40° .AB=AC, ÷∠ABC=∠ACB=号×180°-50)=65， ∴.∠EBD=∠ABC-∠ABE=65°-40°=25°. ,四边形ABDE是圆内接四边形， .∠AED=180°-∠ABC=180°-65°=115°， ∴.∠BED=∠AED-∠AEB=115°-90°=25°. (2)如图，连接OF,OF与EG相交于点M. .AB=AC, .∠ABC=∠ACB. .OB=OD, ∴.∠OBD=∠ODB, .∠ODB=∠ACB. .OD∥AC. ,AC与⊙O相切于点F, ∴.AC⊥OF,即∠OFC=90°，.∠DOF=90° ,EG∥AC,.OF⊥EG. ∴.∠OMG=90°，EM=GM=2. ,BE为⊙O的直径，.∠BGE=90°， ∴.四边形OHGM为矩形，.OH=GM=2. 11.解：(1)，半径OC经过弦AB的中点M, .'.AC=BC, ∠AOC=∠B0C=2∠AOB=75°， 又PB=AB, ∠PAB=∠APB=号∠AOB=T5, ∴∠ABP=180°-∠PAB-∠APB=30° (2).∠AOB=150°，∴.∠DOB=30°. .DB切⊙O于点B,∴.∠OBD=90°， ..OB=DB tan30=3亿. .AP=OB,..AP=OB=OP=OA, ∴.△OAP为等边三角形，.∠AOP=60°， ∴.∠POB=180°-∠AOP-∠BOD=180°-60°- 30°=90°. 由勾股定理，得PB=√PO+OB=√2OB=6. B组 12.解：(1)如图，连接AE, 图① .⊙O过点B,∠ABC=90°，AE为直径. .BE=AB,.∠BEA=∠BAE=45°， ∴.∠ADB=∠BEA=45° (2)如图，连接OE,OF,设半径为r, 图② ,BC与⊙O相切于点E,∴.∠OEC=90. ,BC=AB=2十√2， ∴.△ABC,△OEC是等腰直角三角形， ∴.AC=√2AB=2√2+2，OC=√2OE=√2r, 20· ∴.AC=OC+OA=√2r+r=2√2+2，∴.r=2. :DG=4AG,0G=号，AG=号 在Rt△OGF中，FC=OF-OG=4 51 在Rt△AGF中，AF-VFG+AG=4y5 5 13.解：(1)，AB是⊙O的直径，.∠ADB=90°. ∠DAB=50°，.∠ABD=90°-∠DAB=40° ∠CBA=70°， .∠DBC=∠CBA-∠ABD=30. ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠DAB+∠BCD=180°，.∠BCD=130. (2)连接OD,OC,如图所示： ,过点C和点D分别作⊙O的切线相交于点P, ∴.∠ODP=∠OCP=90°，PD=PC. OP=OP,∴.Rt△ODP≌Rt△OCP(HL), ∴.∠DOP=∠COP. ,∠DBC=30°，∴.∠DOC=2∠DBC=60°， ∴.∠DOP=∠COP=30° ·AB=2,∴OD=OC= 2AB=1, ..OP=- D0p-2￥9 OD 3 14.解：(1)如图，连接OC 0 C 图① .AB为⊙O的直径，AB=10,∴.OB=OC=5. .BC=5,..OB=OC=BC. .△OBC是等边三角形.∴.∠BOC=60°. :∠BDC-2∠BOC,∴∠BDC=30 (2)如图，连接OC,过点B作BF⊥OC. 图② ·2 .∠BFC=∠OFB=90°. ,CE为⊙O的切线， ∴.OC⊥CE.即∠OCE=90°. DB⊥CE,∴.∠BEC=90 在Rt△BEC中， CE=√BC-BE=√52-32=4. ,∠BFC=∠OCE=∠BEC=90°， .四边形BFCE是矩形. ..FC=BE=3,BF=CE=4. 在Rt△OBF中，OF2+BF2=OB2, 设OB=x,则OF=x-3. 可得方程(x-3)2+42=x2.解得x=25 6 AB=2x-罗 15.解：(1)如图①，连接OC, ,弦CD垂直于AB,AB经过圆心， .AC=AD,.∠COE=2∠B=50°. ,CF是⊙O的切线，∴.∠OCF=90°， .∠F=90°-50°=40°. D D 图① 图② (2)如图②，连接OD,过点M作MH⊥CD,垂足 为H, AB=4,∴.OB=OD=OA=2, .∠B=∠ODB=30°， .∠E0D=30°+30°=60°. 在Rt△BDA中，BD=AB·cos30°=2W3, :CDLAB,.DE=合BD=V3. 在Rt△OED中，由勾股定理， 得OE=√OD-DE=√22-(W3)2=1, .AE=2-1=1. .MH⊥CD,CD⊥AB,.MH∥AE, .△DHM∽△DEA, 腿是-8x- DH=g,MH=名 :弦CD垂直于AB,AB经过圆心， ∴.CE=DE=√3，.CD=2√3， ∴CH=cD-DH=2v5-号-3 2 在Rt△HMC中，由勾股定理，得 CM=√CH+HM=√7. 16.解：(1)AB是半圆的直径，.∠ACB=90°. C是BD的中点，BC=CD, :∠DAC-∠CAB-号∠BAD-20, ∴.∠ABC=90°-∠CAB=70°. 四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠ADC=180°-∠ABC=110°. (2)如图，连接OC,OD. A 0 .过点C作半圆O的切线CM, .OC⊥CM,.∠OCE=90°. 由(1)可知BC=CD,∴.∠DOC=∠COB. .DC∥AB,∴.∠COB=∠OCD. OD=OC,.∠ODC=∠OCD, ∴.∠ODC=∠OCD=∠DOC. ∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°， .∠ODC=∠OCD=∠DOC=60. .OE⊥CD,OD=OC, .∠DOF=∠COF=30°. .AB=4,.OC=2. 在Rt△OCE中，∠COE=30,tan∠COE=-CE, OC CE-0C·tam∠C0E=2Xtan30°-2y3 3 C组 17.解：(1)连接OC,如图. CD与⊙O相切于点C,∴∠OCD=90°. 又：∠D=30°， ∴.∠COD=90°-∠D=90°-30°=60°， ÷∠A=3∠C0D=30 又AB为直径， ∴.∠ACB=90. 点E为AB中点 :∠BCB=∠ACB=45 2 (2)连接OC,AG,设直线CE交AB于点H, 如图. ④ .AB=12,..OA=OB=OC=6. 又∠D=30°，.OD=20C=12, .DC=√OD2-OC=√122-62=6√5， BD=6. 又，OB=OC,∠BOC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∠OCB=60°，BC=6,∴.∠DCB=30°， .∠HCD=∠ECB+∠BCD=45°+30°=75°， .∠CHD=180°-∠HCD-∠D=180°-75°- 30°=75°=∠HCD, ∴.DH=DC=6V3, ∴.BH=DH-BD=6√3-6. 又.BC=6,∠BCF=45°， BF=8C·sm∠BcF=6x号-3v2. 又.AB是直径，.∠G=90° 又.CE⊥BG, FH/AG,器-器， 即BC-12 3√26√5-6 解得BG=3√6+3√2. 18.解：(1)如图，连接AE, :点E为BD的中点，DE=BE, ∴.∠DAE=∠BAE AB是⊙O的直径，∠AEB=90°， ∴.∠DAE+∠C=∠BAE+∠B=90°， ∴.∠C=∠B=67.5°， .∠DAB=180°-∠C-∠B=45°. 四边形ABED是圆内接四边形， ∴.∠BAD+∠DEB=180°. :∠CED+∠DEB=180°， ∴∠CED=∠DAB=45. (2)如图，连接OE,过点O作OG⊥AC, .∠OGF=∠AGO=90°. ,EF为⊙O的切线， ∴.OE⊥EF,即∠OEF=90° .EF⊥AC,∴∠EFG=90° ∵∠OGF=∠EFG=∠OEF-90°， .四边形OEFG是矩形， ∴AC∥OE,FG=OE,∴∠C=∠OEB. .OB=OE,∠OEB=∠B, ∠C=∠B, .AC=AB,∠A=180°-∠C-∠B=45°. 在R△A0G中，osA-识， AG=0A·c0sA=0M·cos45=0A, AC-AG+GF+FC-0A+0E+2- (9+1)oA+2-E, .AC∥OE,.△BEO∽△BCA, ÷器=名Ac=20E=20A, ∴(9+1)0A+2-E=20A, 解得OA=2,即⊙O半径的长为2. 19.解：(1)AB过点O, AB为⊙O的直径. ,过点B作⊙O的切线，与AC的延长线相交于 点E, .BE⊥AB, ∴.∠ABE=∠ACB=∠BCE=90°. ,∠ABC=90°-∠EBC=∠E=52°， .∠D=180°-52°=128°. ,D为AC的中点，AD=CD, ∠DAC=∠DCA=号×180°-1289=28 (2)连接OB,则OB=OA=OC,BE⊥OB, ,AC是⊙O的直径， ∴.∠ABC=∠OBE=90°， ∴∠OBA=90°-∠OBC=∠CBE. AB=BE=√5， ∠E=∠BAE. ,∠OBA=∠BAE,∴∠CBE=∠E, ∴.∠OCB=∠CBE+∠E=2∠E. ∠BOC=2∠BAE,.∠OCB=∠BOC, BC-OB-OC-OA-AC. AB-/AG-BC-AC-, .AC=2. ,D为AC中点，AD=CD,∠D=90°， .AD=√2. 第三部分精研“同类好题” 1.解：(1)如图①，连接OA,则OA=OB. 又C为AB的中点，OC⊥AB. 在Rt△OBC中，∠BOC=90°-∠B=30°， 0C=0B·sin60=9 (2)如图②，连接OF,则OF=1. DE为切线，∠OFD=90°. .BD=3BO=3,∴.DO=2, ∴在RtAOFD中，cos∠POD=号， ∠FOD=60°=∠B, .OF∥EB, .∠FOC=∠OCB=90°. 在Rt△OFC中，由勾股定理，得 r=VO+Oc-√：+（②）-竖 图① 图② 2.解：(1)如图①，连接OB， ,四边形ABCO是平行四边形，OA=OC, ∴.四边形ABCO是菱形，△AOB是等边三角形， .∠A=60°，AB=3. (2)如图②，连接OD,AD, ,DE是⊙O的切线，.OD⊥DE. 过点O作OH⊥AB于点H,AH=号AB=2. ,D为BC的中点，∴∠BAD=∠DAC. 又.'∠OAD=∠ODA,∴.∠ODA=∠BAD, ∴.OD∥AE,∴AE⊥DE. .∠OHE=∠ODE=∠E=90°， 33 ∴.四边形ODEH是矩形. :在Rt△AHO中，AO=3, ∴.OH=√OA2-AH=√5， .DE=OH=√5. 图① 图② 3.解：(1).∠ABC=45°，∠C=60°， ∠BAC=75°. ,四边形ABDE是⊙O的内接四边形， .∠BDE=180°-∠BAC=105°. AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90°， ∴.∠ADE=∠BDE-∠ADB=15°. (2)如图，连接OA,OD, 0。 D ∠ABC=45°，∠AOD=2∠ABC, ∴.∠AOD=90°. .⊙O的半径为2，∴.OA=OD=2, .AD=√OA+OD=2√2. .⊙O与AC相切，.OA⊥AC,.∠OAC=90°. .OA=OD,∴.∠OAD=∠ODA=45°， .∠DAC=∠OAC-∠OAD=45°， ∴.∠ADC=180°-∠DAC-∠C=75°. 4.解：(1)如图①，连接OF, O是圆心，G是弦BF的中点， .OG⊥BF,∴.∠OGB=∠OGC=90°. .BF=OB,OF=OB,..OF=BF=OB, ∴.△OFB是等边三角形，∴∠B=60°， .∠GOB=90°-60°=30°. (2)如图②，连接OE, ∠C=90°，∠B=60°，AC=3√3，∴BC=3. BF=2CF,∴.BF=2, .OB=BF=2,∴.OM=OE=2. E是切点，.OE⊥AC,.∠AEO=90°. ∠C=90°，∴.E0∥CG, ∴.∠EOM=∠CGO=90°， ∴.在Rt△EOM中，EM=√EO+OM=2√2. D 图① 图② 5.解：(1)如图①，连接OB, :四边形OABC是平行四边形，OA=OC, .四边形OABC是菱形， ∴.OA=AB=OB, .△AOB是等边三角形，∴.∠OAB=60°. ,EF⊥AB,∴∠OHA=90°，∠AOH=30°. 又EF=6,.OE=OA=3, ∴0H=0A·cos30=5. 又：AE=AE, ∠AFE=2∠A0E=7×30=15 (2)如图②，延长AB交PC于点Q, 四边形OABC是平行四边形，.OC∥AQ, ∴.∠OCP=∠AQP. ,PC与⊙O相切，.OC⊥PC, .∠OCP=90°，.∠AQP=90. EF是直径，EF⊥AB,.AE=BE, .∠BAE=∠AFE=15°， .∠APC=90°-15°=75°. 0 C 图① 图② 6.解：(1)如图①，连接OC, ,AB与⊙O相切于点C,.OC⊥AB. ,∠DFC=90°，∴.OC∥DF. ∠D=34°，.∠EOC=2∠D=68°， .∠DEO=∠EOC=68. (2)如图②，连接OC,CE, :CE=CE,∴.∠COE=2∠CGE. :∠DOE=2∠CGE,∴.∠COE=∠DOE. ,AB为⊙O的切线，C为切点， .OC⊥AB,∴∠OCB=90. DF⊥AB,.∠DFB=90°， .∠OCB=∠DFB=90°， ∴.OC∥DF,∴.∠COE=∠OED, 24· ∴∠DOE=∠OED,.OD=DE. OD=OE,.△ODE是等边三角形， ∴.∠DOE=60°，∠CGE=30°. ⊙O的半径为5，.EG=10. ,EG是⊙O的直径，∴.∠GCE=90°. 在Rt△GCE中，CG=EG·cos∠CGE=10X c0s30°=10×5=5V5. A 图① 图② 7.解：(1)AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°. .AC=BC, ∴∠CAB=∠B=180°-∠ACB=45. 2 .在⊙0中，∠AOD=126°， :∠ACD=7∠A0D=号×126=63. ∴.∠AHD=∠ACD+∠CAB=63°+45°=108. ,四边形ACDE是圆内接四边形， .∠ACD+∠E=180°， .∠E=180°-∠ACD=117°. (2)如图，连接OF交CD于点K, D B 在⊙O中，∠ACF=65°， .∠AOF=2∠ACF=2×65°=130°， .∠B0F=180°-∠AOF=50° ,PF是⊙O的切线，∴OF⊥PF,即∠OFP=90° ∠FKP+∠P=90°. :AB是⊙O的直径，H为弦CD的中点， ∴.OH⊥CD,∴.∠OHK=90°， ∴∠BOF+∠OKH=90. ∠OKH=∠FKP, ∴.∠P=∠BOF=50°. 8.解：(1)，AM是⊙O的切线，AC过圆心O, ∴.OA⊥AM,∴.∠CAM=90°. AD∥BM,∠AMB=120°， ∴.∠DAM=180°-∠AMB=60°， ∴.∠DAC=∠CAM-∠DAM=90°-60°=30°. ,AC为直径，.∠CDA=90°， ∴.∠C=90°-∠DAO=60°. 在Rt△ACD中，∠DAC=30°， CD=AC·sin∠DAC=AC=6. (2),AM,BM,CF均是⊙O的切线，AC过圆心O, ∴.CF⊥AC,AM⊥AC,AM=BM,CF=BF, .CF∥AM. 又，AD∥BM, ∴.四边形AEFM为平行四边形， ..AE=FM,AM=EF」 :CE=号EF,可设CE=5a,EF=4红， .'.BM=AM=EF=4x,BF=CF=9x, ∴.AE=FM=BF+BM=13x. 在Rt△ACE中，有CE2十CA2=AE2, 则(5x)2+122=(13x)2,解得x=1(负值舍去)， .CE=5,AE=13. 又.CD为Rt△ACE斜边AE上的高， ∴CD=CE.CA60 AE -131 22解直角三角形的应用 第一部分通关“中考真题” 1.解：在Rt△CAD中，tan∠CAD=CD AD' 则AD=,CD aS0r≈号cD, 在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴.BD=CD. AD-AB+BDCD-30+CD, ∴.CD=45m. 答：这座灯塔的高度CD约为45m. 2.解：如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D. 在Rt△ACD中， C45 58° D ∠ACB=45°，∴.AD=CD. 设AB=xm, 在Rt△ADB中，'sin∠ABC-AD AB ∴.AD=AB·sin58°≈0.85xm. 又os∠ABC-船， .BD=AB·cos58°≈0.53xm. 又BC=221m,即CD+BD=221m, 25·