期末培优：利用不等式解决实际应用问题、利用不等式解决几何问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦不等式实际应用与几何综合，通过分层例题构建"情境抽象-模型建立-动态分析"的完整解题链，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用|3例+3变式|购物/销售/采购场景，含方案优化|从二元一次方程组到不等式建模，体现模型意识| |几何问题|3例+3变式|三角形/坐标系/数轴动态问题|结合图形性质列不等式，强化空间观念与推理能力|

期末培优：利用不等式解决实际应用问题、利用不等式解决几何问题专项训练 期末培优：利用不等式解决实际应用问题、利用不等式解决几何问题专项训练 考点目录 利用不等式解决实际应用问题 利用不等式解决几何问题 考点一 利用不等式解决实际应用问题 例1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）综合与实践： 【问题情境】近日，第十三届吉林省登山大会在长白山景区拉开帷幕，吸引了众多登山爱好者和游客参加．活动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买，两种款式的运动盲盒作为奖品． 【素材展现】 素材：某商店在无促销活动时，若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元；若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元． 素材：该商店开展促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上网店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售且包邮． (1)【解决问题】该商店在无促销活动时，求款运动盲盒和款运动盲盒的销售单价各是多少？ (2)【拓展提升】小明计划在促销期间购买，两款运动盲盒共个，其中款运动盲盒个（），若在线下商店成为会员购买，共需要______元；若在线上网店购买，共需要______元；（均用含的代数式表示） (3)【综合应用】请你帮小明算一算，在（）的条件下，购买款运动盲盒的数量超过多少个，线下购买方式更合算？ 例2．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 例3．（25-26七年级下·重庆·期中）列方程（或不等式）解决下列实际问题： 为开展校园数学实践活动，七年级社团准备制作立体模型，需要采购甲、乙手工材料．若购买件甲材料和件乙材料共需元；购买件甲材料和件乙材料共需元． (1)每件甲、乙材料的单价分别为多少元？ (2)本次实践活动计划购进甲、乙两种材料共需件，实际购买时，甲材料单价上涨，乙材料单价上涨，要求总采购费用不超过元，请问最多购进多少件甲材料？ 变式1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均8秒采摘一个成熟的苹果．现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？ 变式2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方.为满足外地食客的需求，某土笋冻经销商与京东快递公司合作推出线上销售，产品有精品装和优惠装两种.以下是销售的相关素材信息，请根据素材完成后续任务. 素材二 精品装 优惠装 每盒100克，售价15元 每盒300克，售价35元 问题解决 (1)任务一：试营业期间，该经销商共卖出土笋冻320盒，销售总收入为9600元，请问精品装和优惠装各销售了多少盒？ (2)任务二：现在需要对7500克土笋冻进行分装，既有精品装也有优惠装，且恰好将这7500克土笋冻整盒分装完.精品装包装盒每个成本为2元，优惠装包装盒每个成本为1.8元.若要将购买包装盒的成本控制在55元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由. 变式3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）列方程（组）或不等式解应用题． “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，爱玛电动车销售公司欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要630元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要700元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该公司准备购进100个这两种型号的头盔，总费用不超过10000元，则最多可购进乙型头盔多少个？ 考点二 利用不等式解决几何问题 例1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 例2．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 例3．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）已知数轴上的两点所表示的数分别是和． (1)如图（1），点在点的右边，，若，请直接写出点、点表示的数． (2)如图（2），在（1）的条件下，点在点处以每秒2个单位长度向右运动，点在点处以每秒3个单位长度向左运动，点、点同时运动，请问当时，求点，点运动了多少秒？ (3)拓展应用：如图（3）有两列玩具车，甲车长为3个单位长度，乙车长为5个单位长度，甲车头在数轴上表示的数是，乙车头在数轴上表示的数是16．若甲车以每秒2个单位长度向右行驶，同时乙车以每秒1个单位长度向左匀速行驶，两车同时运动，点位于中点，小渝发现行驶中有一段时间，总共有秒钟，到两车头、的距离和加上到两车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为小渝发现的这一结论是否正确？若正确，直接写出的值及的定值；若不正确，请说明理由． 变式1．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 变式2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）解决下列与平面直角坐标系有关的知识： (1)已知点，解答下列问题： ①若点Q的坐标为，直线轴，直接写出点P的坐标 ； ②若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若是y轴上一点，且的面积不小于四边形面积的一半，求m的取值范围． 变式3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足，线段与轴相交于点，点在轴上， (1)求，的值； (2)如图1，若三角形的面积大于，求的取值范围； (3)如图2，点，点在线段上，若，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：利用不等式解决实际应用问题、利用不等式解决几何问题专项训练 期末培优：利用不等式解决实际应用问题、利用不等式解决几何问题专项训练 考点目录 利用不等式解决实际应用问题 利用不等式解决几何问题 考点一 利用不等式解决实际应用问题 例1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）综合与实践： 【问题情境】近日，第十三届吉林省登山大会在长白山景区拉开帷幕，吸引了众多登山爱好者和游客参加．活动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买，两种款式的运动盲盒作为奖品． 【素材展现】 素材：某商店在无促销活动时，若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元；若买个款运动盲盒、个款运动盲盒，共需元． 素材：该商店开展促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上网店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售且包邮． (1)【解决问题】该商店在无促销活动时，求款运动盲盒和款运动盲盒的销售单价各是多少？ (2)【拓展提升】小明计划在促销期间购买，两款运动盲盒共个，其中款运动盲盒个（），若在线下商店成为会员购买，共需要______元；若在线上网店购买，共需要______元；（均用含的代数式表示） (3)【综合应用】请你帮小明算一算，在（）的条件下，购买款运动盲盒的数量超过多少个，线下购买方式更合算？ 【答案】(1)该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元 (2)， (3)购买款运动盲盒的数量超过个，线下购买方式更合算 【分析】（）设该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）根据题意得在线下商店成为会员购买，共需要；在线上网店购买，共需要，然后进行化简即可； （）由（）得在线下商店成为会员购买，共需要元，在线上网店购买，共需要元，根据题意得，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元， 根据题意得，， 解得：， 答：该商店在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元； （2）解：在线下商店成为会员购买，共需要： （元）； 在线上网店购买，共需要： （元）； 故答案为：，； （3）解：由（）得，在线下商店成为会员购买，共需要元，在线上网店购买，共需要元， 根据题意得，， 解得：， 答：购买款运动盲盒的数量超过个，线下购买方式更合算． 例2．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，求出哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)方案三利润最大，最大利润是1450元 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据题意列出不等式得到，然后结合求解即可； （3）分别计算三种方案的利润比较即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得， 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得 解得 ∵， ∴ ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110 ∴该网店有3种进货方案： 方案一：购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二：购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三：购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：方案一：利润为（元）； 方案二：利润为（元）； 方案三：利润为（元）； ∵ ∴方案三利润最大，最大利润是1450元． 例3．（25-26七年级下·重庆·期中）列方程（或不等式）解决下列实际问题： 为开展校园数学实践活动，七年级社团准备制作立体模型，需要采购甲、乙手工材料．若购买件甲材料和件乙材料共需元；购买件甲材料和件乙材料共需元． (1)每件甲、乙材料的单价分别为多少元？ (2)本次实践活动计划购进甲、乙两种材料共需件，实际购买时，甲材料单价上涨，乙材料单价上涨，要求总采购费用不超过元，请问最多购进多少件甲材料？ 【答案】(1)每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元 (2)件 【分析】（）设每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元，根据题意列出方程组解答即可； （）设购进甲材料件，则购进乙材料件，根据题意列出不等式解答即可求解． 【详解】（1）解：设每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：每件甲材料的单价为元，每件乙材料的单价为元； （2）解：设购进甲材料件，则购进乙材料件， 由题意得，， 解得， 为非负整数， 的最大值为， 答：最多购进甲材料为件． 变式1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均8秒采摘一个成熟的苹果．现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？ 【答案】至少需要6个这样的机器人． 【分析】设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解即可． 【详解】解：1小时， 设需要个这样的机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小值为6， 答：至少需要6个这样的机器人． 变式2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方.为满足外地食客的需求，某土笋冻经销商与京东快递公司合作推出线上销售，产品有精品装和优惠装两种.以下是销售的相关素材信息，请根据素材完成后续任务. 素材二 精品装 优惠装 每盒100克，售价15元 每盒300克，售价35元 问题解决 (1)任务一：试营业期间，该经销商共卖出土笋冻320盒，销售总收入为9600元，请问精品装和优惠装各销售了多少盒？ (2)任务二：现在需要对7500克土笋冻进行分装，既有精品装也有优惠装，且恰好将这7500克土笋冻整盒分装完.精品装包装盒每个成本为2元，优惠装包装盒每个成本为1.8元.若要将购买包装盒的成本控制在55元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由. 【答案】(1)销售精品装80盒，优惠装240盒 (2)分装成3盒精品装，24盒优惠装（或分装成6盒精品装，23盒优惠装），理由见解析 【分析】（1）设销售精品装盒，优惠装盒，根据售价列方程求解即可； （2）设可以分装成精品装盒，则分装成优惠装盒，求出的取值范围，根据，均为正整数写出方案即可； 【详解】（1）解：设销售精品装盒，优惠装盒，依题意， 得， 解得， 则， 答：销售精品装80盒，优惠装240盒. （2）解：分装成3盒精品装，24盒优惠装（或分装成6盒精品装，23盒优惠装），理由如下： 设可以分装成精品装盒，则分装成优惠装盒， 根据题意，得 ， 解得：， 又∵，均为正整数， ∴可以为3，6， ∴共有2种分装方案， 方案1：分装成3盒精品装，24盒优惠装； 方案2：分装成6盒精品装，23盒优惠装． 答：分装成3盒精品装，24盒优惠装（或分装成6盒精品装，23盒优惠装）． 变式3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）列方程（组）或不等式解应用题． “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，爱玛电动车销售公司欲购进一批头盔，已知购进4个甲型头盔和3个乙型头盔需要630元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要700元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该公司准备购进100个这两种型号的头盔，总费用不超过10000元，则最多可购进乙型头盔多少个？ 【答案】(1)购进1个甲型头盔需要60元，购进1个乙型头盔需要130元 (2)最多可购进乙型头盔57个 【分析】（1）设两种头盔的单价为未知数，根据题干给出的两种购进总费用列出二元一次方程组，求解得到单价； （2）设乙型头盔的购进数量，根据总费用限制列出一元一次不等式，结合头盔数量为非负整数求出最大数量． 【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元． 根据题意，得 解得 答：购进1个甲型头盔需要（元），购进1个乙型头盔需要（元）． （2）解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个． 根据题意，得 化简得 解得 为非负整数， 的最大值为． 答：最多可购进乙型头盔（个）． 考点二 利用不等式解决几何问题 例1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)， (4)t的取值范围为或或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，根据已知条件得出是等腰直角三角形，列式解方程即可； （3）分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别列式即可； （4）分点P在上，点P在上，点P在上三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式，再分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点P运动到点B的时间为． （2）解：∵，D为的中点， ∴， ∵以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点P以的速度沿运动，， ∴，则， 解得：． （3）解：∵，点P到达点B后再以的速度沿向终点C运动． ∴点P运动到点D的时间为，点P运动到点C的时间为， ∴当点P在上运动时，， 当点P在上运动时，． （4）解：当点P在上时，即， 根据题意，得， ∵， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴， 综上所述，t的取值范围为或或． 例2．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）首先根据题意确定的长度，结合三角形面积公式计算的长度，即可获得答案； （2）根据平移的性质，可得，然后结合求解即可； （3）首先确定点的纵坐标为，结合题意可得，进而可得，根据的面积为15建立关于t的不等式并整理，可得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的面积为15，即， ∴，解得， ∵点在轴的正半轴上， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∵线段是由线段平移所得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵点为轴上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∴， 若，可得， 整理可得， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 综上所述，的取值范围为或． 例3．（25-26七年级上·重庆渝北·期中）已知数轴上的两点所表示的数分别是和． (1)如图（1），点在点的右边，，若，请直接写出点、点表示的数． (2)如图（2），在（1）的条件下，点在点处以每秒2个单位长度向右运动，点在点处以每秒3个单位长度向左运动，点、点同时运动，请问当时，求点，点运动了多少秒？ (3)拓展应用：如图（3）有两列玩具车，甲车长为3个单位长度，乙车长为5个单位长度，甲车头在数轴上表示的数是，乙车头在数轴上表示的数是16．若甲车以每秒2个单位长度向右行驶，同时乙车以每秒1个单位长度向左匀速行驶，两车同时运动，点位于中点，小渝发现行驶中有一段时间，总共有秒钟，到两车头、的距离和加上到两车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为小渝发现的这一结论是否正确？若正确，直接写出的值及的定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)点表示的数是15，点C表示的数是5， (2)或秒 (3)，为定值8． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值的几何意义、解绝对值方程、不等式组的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式以及绝对值的几何意义求解即可； （2）设当时，求点，点运动了t秒，则点M表示的数为，点N表示的数为，然后根据绝对值的几何意义列绝对值方程求解即可； （3）由题意可得：点A表示，P表示，点B表示，点M表示16，点N表示21，运动n后点A表示，P表示，点B表示，点M表示，点N表示，易得，，进而得到，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：设点C表示的数为c， ∵， ∴A表示的数为， ∵，点在点的右边， ∴，解得：， ∴点表示的数是15， ∵， ∴，解得：， ∴点C表示的数是5． （2）解：设当时，求点，点运动了t秒，则点M表示的数为，点N表示的数为， ∵， ∴，即，解得：或． ∴当时，求点，点运动了或秒． （3）解：由题意可得：点A表示，P表示，点B表示，点M表示16，点N表示21，运动n秒后点A表示，P表示，点B表示，点M表示，点N表示， ∴，， ∴， 当 或时， 与n无关， 解，该不等式组无解， 当，解得：， 此段时间共持续，； 综上．当时，此段时间共持续，为定值8． 变式1．（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)见解析 【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答． （4）根据侧面数第一种方法第二种方法第三种方法，底面数第二种方法第三种方法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：，； （4）由题意得：可以裁出的侧面：个． 可以裁出的底面：个． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 变式2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）解决下列与平面直角坐标系有关的知识： (1)已知点，解答下列问题： ①若点Q的坐标为，直线轴，直接写出点P的坐标 ； ②若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若是y轴上一点，且的面积不小于四边形面积的一半，求m的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，割补法求面积，一元一次不等式的应用． （1）①根据直线轴可知点P、Q的横坐标相同，求出，进而求出点P的坐标； ②根据第二象限点的坐标特征及“到x轴、y轴的距离相等”求出a的值，再代入计算即可； （2）过点A作轴于点E，作轴于点D，根据割补法计算即可； （3）连接，分三种情况根据割补法求出，列不等式计算即可 【详解】（1）解：①∵直线轴， ∴点P、Q的横坐标相同， 即， 解得 ∴， 即点P的坐标为， 故答案为：； ②点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ， 解得，， ； （2）如图，过点A作轴于点E，作轴于点D， 则 ， ， ； （3）连接，则， ①当时，点M与O重合，成立； ②如图1，当时，， ， ， ，解得， ； ③如图2，当时，， ， ， ，解得， ． 综上所述：m的取值范围为． 变式3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足，线段与轴相交于点，点在轴上， (1)求，的值； (2)如图1，若三角形的面积大于，求的取值范围； (3)如图2，点，点在线段上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次不等式的应用． （1），根据绝对值与平方数的非负性求解、； （2），过点作轴，设，根据，先求出点坐标，再根据三角形面积公式列出不等式求解； （3），先说明是的中点，进而利用面积关系得出，根据得出，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）因为，又因为，， 所以， 两式相加得， 解得， 把代入，得， 解得． （2）如图，过点作轴，设 ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得： ∴． ∵点在轴上， ∴， ∵， ∴， ，即或， 解得或． （3）∵ ∴是的中点， ∴ ∴，则 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 连接，如图， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 2 学科网（北京）股份有限公司 $