精品解析：2026 年河南省开封市金明中学九年级中招模拟校内自主训练二 数 学

2026年九年级中招模拟校内自主训练二 数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题．（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需根据负数的绝对值是它的相反数进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，可得：． 2. 如图，某种微型元件每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的三种视图中是轴对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 三种视图都是 【答案】B 【解析】 【分析】先确定三视图，再根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：∵五个大小相同的正方体搭成的几何体的三视图如图所示， ∴该几何体的左视图、主视图和俯视图中，只有左视图是轴对称图形． 4. 在射击选拔轮比赛之后，教练员记录甲、乙、丙、丁四人的成绩如下表，若选取一个成绩高且较为稳定的选手进入下轮比赛，则胜出的是（ ）． 选手 甲 乙 丙 丁 成绩平均分/环 成绩方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差的定义，比较四人的成绩即可得到答案． 【详解】解：对比四个人的成绩可知，乙和丁的平均分最高为分，同时丁的方差小于乙，说明丁的成绩更为稳定， ∴胜出的人是丁． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法运算，负整数指数幂性质，二次根式的运算与性质，对各选项逐一计算验证即可得出结果． 【详解】解：∵，∴A计算错误． ∵，∴B计算正确． ∵，∴C计算错误． ∵， ∴，∴D计算错误． 6. 如图，将长方形纸条沿折叠，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，求得，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可； 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴． 由翻折的性质可知， ∵， ∴， ∴． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式求解进行判断即可． 【详解】根据题意，得，解得， ∵， ∴a的值可以为． 8. 一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶需要的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），或， 所以行驶需要的时间为． 9. 如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，，利用勾股定理求得，从而求得的长，取中点Q，连接，由三角形中位线定理结合勾股定理即可求得最终结果． 【详解】在菱形中，对角线与相交于点O， ，， ∴，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， 如图，取中点Q，连接， ∴， ∵点P为的中点，点Q为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点G．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，判定为等边三角形，确定点B的坐标为，确定变化是每4次旋转为一个循环，结合，求解即可； 【详解】解：如图，连接，可得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴点B的坐标为， 第1次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， 第2次顺时针旋转，点B的对应点在第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点B的对应点在第二象限，其坐标为， 第4次顺时针旋转，点B的对应点在第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， …… 每4次旋转为一个循环，则， ∴与对应，坐标为． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个比1大的无理数：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了实数大小比较，以及无理数．找出一个比1大的无理数即可． 【详解】解：比1大的无理数可以为：（答案不唯一）， 故答案为：． 12. 如图为高铁上相邻的三个座位．甲、乙、丙三人随机就坐，那么甲、乙两人座位不相邻的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，列举出所有等可能情况，再选出符合题意的结果数，进而求得概率． 【详解】依据题意画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人座位不相邻的结果数为2， ∴甲、乙两人座位不相邻的概率为． 13. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先解出每个不等式，不等式组无解意味着多个不等式没有公共部分，由此判断参数的取值范围． 【详解】解： 由①得， ∵不等式组无解， ∴与没有公共部分， ∴． 14. 如图，为半圆的直径，以点B为圆心，为半径构造一个的扇形，交半圆于点D，若，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：连接，∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 由对称性可知弓形的面积等于弓形的面积， ∴． 15. 如图，在矩形中，，点E为线段的延长线上一点，且，O为的中点，连接交于点F，连接．若为等腰三角形，则的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】取的中点G，连接，利用矩形的性质证得，从而求得的长，再根据题意分情况讨论，利用勾股定理求得最终结果． 【详解】如图，取的中点G，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点O为的中点，点G为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，若为等腰三角形，分两种情况讨论： ①当时，， ∴， ②当时，， ∴ 综上所述，的长度为或． 三、解答题．（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 当前针对老年人的电信网络诈骗案件频发，老年人防范意识薄弱、辨别能力不足，易成为诈骗分子的重点目标．开展老年人防电诈知识竞赛，能有效普及防电诈知识，提升老年人自我保护能力，守护老年人的财产安全和晚年幸福，因此特举办本次甲、乙两个社区老年人防电诈知识竞赛．竞赛满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．下面是甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表和成绩分布折线统计图： 甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表 社区 平均数/分 中位数/分 合格率 优秀率 甲社区 a 6 乙社区 b （1）求出参赛老年人成绩统计表中a，b的值； （2）张爷爷说：“这次竞赛我得了7分，在我们社区里排名属于中游略上！”请你判断张爷爷是哪个社区的参赛老年人，并说明理由； （3）上面两个社区中，你认为哪个社区的竞赛成绩好一些？并说明你的依据． 【答案】（1）， （2）张爷爷是甲社区的参赛老年人，见解析 （3）乙社区的竞赛成绩好一些，见解析 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数，中位数的定义求解即可； （2）与中位数比较，大于中位数，中位数所在小区就是所求； （3）利用平均数，中位数决策求解即可． 【小问1详解】 解：（分）； 将乙社区老年人的参赛成绩从小到大排列如下：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9．排在第5位和第6位的数字分别是7，8， ∴（分）； 【小问2详解】 解：张爷爷得7分，高于甲社区成绩的中位数6分，低于乙社区成绩的中位数分， 又∵张爷爷的成绩在社区里排名属于中游略上， ∴可以判断张爷爷是甲社区的参赛老年人； 【小问3详解】 解：乙社区的竞赛成绩好一些．理由：乙社区成绩的平均数和中位数高于甲社区，故乙社区的竞赛成绩好一些．（答案不唯一，合理即可） 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点P为射线上位于点A右侧的一点，且，过点P作轴，垂足为Q，交反比例函数的图象于点M． （1）求反比例函数的解析式； （2）求，的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定，代入求解即可； （2）过点A作轴，垂足为N，证明，利用函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴，垂足为N， ∵轴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 将代入正比例函数， 得， 将代入反比例函数， 得， ∴， ∴，； 19. 为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元． （1）求A、B两种花木的单价各是多少元？ （2）如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进4000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵？并求出最低费用． 【答案】（1）A，B两种花木的单价分别是30元和50元 （2）购进A种花木4000棵，B种花木2000棵，能使得购进这批花木的费用最低，为220000元 【解析】 【分析】（1）设A种花木每棵x元，B种花木每棵y元，依据题意可得，求解即可； （2）设购进A种花木t棵，这批花木的费用为w元，则．根据函数的性质求解即可； 【小问1详解】 解：设A种花木每棵x元，B种花木每棵y元， 依据题意可得， 解得． 答：A，B两种花木的单价分别是30元和50元． 【小问2详解】 解：设购进A种花木t棵，这批花木的费用为w元， 则． ∵， w随着t的增大而减小，， ∴当时，w最小． 此时，B种花木有（棵）， ． 答：购进A种花木4000棵，B种花木2000棵，能使得购进这批花木的费用最低，为220000元． 20. 某数学小组进行实践活动，下面是测量学校教学楼高度的实践报告： 利用数学知识测量学校教学楼的高度 利用数学知识测量教学楼的高度 测量过程及示意图 如图，天气晴朗的周末，数学小组成员在D处利用测角仪测得教学楼顶端A的仰角，沿方向移动至点F，放置标杆，的顶端E和教学楼顶端A的影子末端重合于点G．说明：已知，，，点B，D，F，G在同一直线上，图中所有点在同一平面内． 测量数据 ， 参考数据 ，，． 请你利用以上实践报告，求出教学楼的高度． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点M，则四边形是矩形，证明，得到，求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点M，则四边形是矩形， ∴ ， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得， ∴教学楼的高度为． 21. 如图，在中，，，，请用无刻度直尺和圆规完成作图并解答． （1）在边上作点，使经过点，且与相切于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求线段的长． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线，与的交点即为点，以点为圆心，为半径作圆，与的交点即为点； （2）连接，由切线的性质可得，进而可证明，则，化简得，结合和可计算出，进一步可计算出和． 【小问1详解】 解：和点如图所示： 由角平分线性质可知，点到和的距离相等，都等于半径，因此与相切于点； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， 由勾股定理可得，． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过平面内的点和点，结合抛物线的相关性质解决以下问题： （1）求此抛物线的解析式； （2）当自变量x满足时，结合抛物线的最值特征求函数值y的取值范围； （3）将此抛物线沿x轴平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，当自变量x满足时，新抛物线的函数值y的最小值为6，求出m的值． 【答案】（1） （2）y的取值范围是 （3）m的值为6或3 【解析】 【分析】（1）把已知点的坐标分别代入解析式，求解方程组解答即可； （2）根据题意，得抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大，根据增减性求解即可； （3）设此抛物线沿x轴向右平移m（）个单位长度后得到的新抛物线解析式为，分对称轴在范围的左边和右边求解；设此抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度后得到的新抛物线解析式为，分对称轴在范围的左边和右边求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大， ∵，且包含在这个范围内， 故该范围内函数的最小值为； ∵， ∴时，取得最大值，且， ∴y的取值范围是． 【小问3详解】 解：设此抛物线沿x轴向右平移m（）个单位长度后得到的新抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大， ∵，新抛物线的函数值y的最小值为6，不是， 故对称轴为直线不包含在这个范围内， 当在对称轴的左侧时，即时，y随x的增大而减小， 此时， 故时，函数取得最小值6， ∴， 整理， 故， 解得或， 不满足，舍去； 此时符合； 当在对称轴的右侧时，即时，y随x的增大而增大， 此时， 故时，函数取得最小值6， ∴， 整理， 故， 解得或， 不满足，不满足，都舍去； 综上，符合题意； 设此抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度后得到的新抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大， ∵，新抛物线的函数值y的最小值为6，不是， 故对称轴为直线不包含在这个范围内， 当在对称轴的左侧时，即时，y随x的增大而减小， 此时， 故时，函数取得最小值6， ∴， 整理， 故， 解得或，都不满足，都舍去； 当在对称轴的右侧时，即时，y随x的增大而增大， 此时， 故时，函数取得最小值6， ∴， 整理， 故， 解得或， 不满足，舍去； 此时符合题意； 综上所述，m的值为6或3． 23. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫作菱形的“和谐线”．如图1，在菱形中，P是的中点，连接，，则折线叫作菱形的“和谐线”，折线的长叫作“和谐线”的长．已知在菱形中，，P是的中点，连接，． （1）如图1，若，，求“和谐线”的长； （2）如图2，若，请探究“和谐线”的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明理由； （3）若，且“和谐线”中的或与菱形的一条对角线相等，求“和谐线”的长． 【答案】（1）“和谐线”的长为 （2）“和谐线”的长等于，理由见解析 （3）“和谐线”的长为或 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （2）证明，列出比例式，求出代入比例式求解即可； （3）由已知得“和谐线”中的或只能与菱形中较短的对角线相等，分以下情况讨论：当时，过点P作，交的延长线于点E，过点B作于点F；当时，过点C作，交的延长线于点E，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点P为的中点， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴“和谐线”的长为． 【小问2详解】 解：“和谐线”的长等于． 理由：如图2， 在菱形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴“和谐线”的长为． 【小问3详解】 解：“和谐线”的长为或． 由已知得“和谐线”中的或只能与菱形中较短的对角线相等， ①当时，如图3，过点P作，交的延长线于点E，过点B作于点F， ∴，， 在中，， 在中，， ∵，， 在中，， ∴； ②当时，同理可证，，； ③当时，同理可得，，； ④当时，如图4，过点C作，交的延长线于点E， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，得， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，“和谐线”的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中招模拟校内自主训练二 数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题．（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，某种微型元件每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的三种视图中是轴对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 三种视图都是 4. 在射击选拔轮比赛之后，教练员记录甲、乙、丙、丁四人的成绩如下表，若选取一个成绩高且较为稳定的选手进入下轮比赛，则胜出的是（ ）． 选手 甲 乙 丙 丁 成绩平均分/环 成绩方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将长方形纸条沿折叠，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 8. 一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶需要的时间为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点G．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个比1大的无理数：______． 12. 如图为高铁上相邻的三个座位．甲、乙、丙三人随机就坐，那么甲、乙两人座位不相邻的概率是______． 13. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 14. 如图，为半圆的直径，以点B为圆心，为半径构造一个的扇形，交半圆于点D，若，则阴影部分的面积是______． 15. 如图，在矩形中，，点E为线段的延长线上一点，且，O为的中点，连接交于点F，连接．若为等腰三角形，则的长度为______． 三、解答题．（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 当前针对老年人的电信网络诈骗案件频发，老年人防范意识薄弱、辨别能力不足，易成为诈骗分子的重点目标．开展老年人防电诈知识竞赛，能有效普及防电诈知识，提升老年人自我保护能力，守护老年人的财产安全和晚年幸福，因此特举办本次甲、乙两个社区老年人防电诈知识竞赛．竞赛满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．下面是甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表和成绩分布折线统计图： 甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表 社区 平均数/分 中位数/分 合格率 优秀率 甲社区 a 6 乙社区 b （1）求出参赛老年人成绩统计表中a，b的值； （2）张爷爷说：“这次竞赛我得了7分，在我们社区里排名属于中游略上！”请你判断张爷爷是哪个社区的参赛老年人，并说明理由； （3）上面两个社区中，你认为哪个社区的竞赛成绩好一些？并说明你的依据． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点P为射线上位于点A右侧的一点，且，过点P作轴，垂足为Q，交反比例函数的图象于点M． （1）求反比例函数的解析式； （2）求，的长． 19. 为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元． （1）求A、B两种花木的单价各是多少元？ （2）如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进4000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵？并求出最低费用． 20. 某数学小组进行实践活动，下面是测量学校教学楼高度的实践报告： 利用数学知识测量学校教学楼的高度 利用数学知识测量教学楼的高度 测量过程及示意图 如图，天气晴朗的周末，数学小组成员在D处利用测角仪测得教学楼顶端A的仰角，沿方向移动至点F，放置标杆，的顶端E和教学楼顶端A的影子末端重合于点G．说明：已知，，，点B，D，F，G在同一直线上，图中所有点在同一平面内． 测量数据 ， 参考数据 ，，． 请你利用以上实践报告，求出教学楼的高度． 21. 如图，在中，，，，请用无刻度直尺和圆规完成作图并解答． （1）在边上作点，使经过点，且与相切于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求线段的长． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过平面内的点和点，结合抛物线的相关性质解决以下问题： （1）求此抛物线的解析式； （2）当自变量x满足时，结合抛物线的最值特征求函数值y的取值范围； （3）将此抛物线沿x轴平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，当自变量x满足时，新抛物线的函数值y的最小值为6，求出m的值． 23. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫作菱形的“和谐线”．如图1，在菱形中，P是的中点，连接，，则折线叫作菱形的“和谐线”，折线的长叫作“和谐线”的长．已知在菱形中，，P是的中点，连接，． （1）如图1，若，，求“和谐线”的长； （2）如图2，若，请探究“和谐线”的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明理由； （3）若，且“和谐线”中的或与菱形的一条对角线相等，求“和谐线”的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $