第4章《平行四边形》期末复习题--- 三角形的中位线和反证法-- 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦三角形中位线与反证法，以题载法构建“概念-性质-应用”逻辑链，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形中位线|18题（单选1-5/7-10、填空11-13/15、解答16-18/20-21）|中位线性质（平行且等于第三边一半）、辅助线构造（连接中点/延长中线）、中点四边形判定|概念生成（两边中点连线）→性质推导→应用拓展（四边形/综合证明）| |反证法|3题（单选6/19、填空14）|反证法步骤（假设反面→推理矛盾→得证）、命题否定（“必有一个不大于”否定为“都大于”）|原理（否定结论找矛盾）→应用（命题判断/证明题）|

第4章《平行四边形》期末复习题--一三角形的中位线和反证法 一、单选题 1.如图，△ABC中，点D,E分别是边BC,AC的中点，AB=4,BC=3,AC=6,则DE的长 为() D A.6 B.4 C.3 D.2 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AB,AO的中 点，连接EF,已知EF=5,则BD的长为() F E A.12 B.5 C.20 D.15 3.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，G,H分别是BD,AC的中点， AB=CD,∠ABD=30°，∠BDC=70°，则∠GEF的大小是() A E D A.25° B.30° C.20° D.35° 4.如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是各边的中点.甲说：若四边形ABCD是平 行四边形，则四边形EFGH也是平行四边形；乙说：若四边形EFGH是平行四边形，则四边形 ABCD也是平行四边形.下列说法正确的是() B A.甲、乙都正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲、乙都错误 5.下列命题中，真命题是() A.方程x2=x的解是x=1 B.有两边和一角相等的两个三角形全等 C.4的平方根是2 D.连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 6.下列说法，正确的是() A.等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B.“若a>b,则a2>b2”的逆命题是真命题 C.在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D.用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中有一个内角大于 60° 7.如图，在等边三角形ABC中，D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD交于O,连接AO交 DE于点G.有下列两个命题： ①如果DE∥BC,那么G为DE中点； ②如果AO⊥DE,那么DE∥BC. 对于这两个命题判断正确的是() B A.①②都是真命题； B.①是真命题，②是假命题； C.①是假命题，②是真命题； D.①②都是假命题， 8.如图，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且0A=OB=OC=OD=2,OC平分∠BOD,与 BD交于点G,AC分别与BD、OD交于点E、F.(1)OC∥AD;(2)△BOC≌△DOC;(3) ∠DA0=60°；(4)四边形ABCD的周长最大值为10.以上说法正确的是个数为() D A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图，在△ABC中，AB=2AC=2m,AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD,垂足为点E,则DE的 取值范围是() B D A.EmB.E<m C.0<DE≤m D.0DEs 10.在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE,BD=6,CE=8,那么△ ABC的面积等于() A.28 B.36 C.34 D.32 二、填空题 11.如图，在△ABC中，∠B=30°，LC=45°，AD1BC于点D,BD=3,若E,F分别为 AB,BC的中点，则EF的长是 B F D 12.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,LABC=60°，AB=2BC,E是AB的中点， 连接CE.OE.下列结论：ACD=30②CE子分∠DCB:@CD=40E:@Smm其 中结论正确的序号有 E B D I3.如图，在口ABCD中，AD=8cm,点E,F分别从点A,B同时出发，沿AD,BC方向以相 同的速度运动（分别运动到点D,C即停止），AF与BE相交于点G,CE与DF相交于点H,则 在此运动过程中，线段GH的长始终等于cm. A D C 14.已知正整数N,满足50<N<100,甲、乙、丙、丁四人进一步对这个数进行了猜测，甲说： “N是2的倍数”；乙说：“N是3的倍数”；丙说：“N是5的倍数”；丁说：“N是7的倍数”.已 知他们中有一人说错，那么满足条件的N的最大值为 15.边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的 距离为，则称分为这个菱形的“形变度”， (1)一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 (2)如图，4,8，C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为》）中的格点则 △ABC的面积为 A 三、解答题 16.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,连接AF, AF∥CD. B (1)求证：AD=CF; (2)若LEFB=90°，BF=5,EF=3,求BC的长. 17.观察下面图形，解决问题： M 图1 图2 图3 (1)用数学的眼光观察 如图1，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中 点.求证：∠PMN=LPNM; (2)用数学的思维思考 如图2，延长图1中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点F,求 证：∠AEM=∠F; (3)用数学的语言表达 如图3，在△ABC中，AC<AB,点D在AC上，AD=BC,M是AB的中点，N是DC的中点，连 接MN并延长，与BC的延长线交于点G,连接GD,若LANM=60°，试判断△CGD的形状，并 进行证明. 18.如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC三个项点都是 格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条· 图1 图2 (I)在图1中，点P在线段上，先画ABCD,再在AD上画点E,使得DE=BP; (2)在图2中，在线段AC上找一点G,使得BG⊥AC,垂足为点G,并在线段AC上找一点H, 使BH=BC. 19.对一个正整数n,我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1：若是偶数，则除以 2. (1)对于n=17、37,进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数. (2)求证对任意正整数n,进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数. 20.如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，点D为边BC上一点，LCAD=a; D 图1 图2 (1)如图1，若CD=1,AD=2,BD=3,求点B到直线AD的距离； (2)如图2，点E为线段AB中点，点F为线段AE上一点，将线段EF绕点E顺时针旋转2a得到 线段EP,若点P恰好在线段AD上，连接CF,与线段AD交于点G,连接EG,判断线段 EG,BD的数量关系，并证明. 4.如图，请完成这道题的证明. G D D B 图① 图② 图③ (1)如图①，在四边形ABCD,中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是 AB的中点.求证：∠PMN=∠PNM. (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E,延长线段BC交NM的延长线于点F, 求证：∠AEN=∠F. (3)【应用探究】 如图③，在△ABC中，点D在AC上，AD=BC=3,M是DC的中点，N是AB的中点，连接NM 并延长，与BC的延长线交于点G,若LGMC=45°，求MN的长. 参考答案 一、单选题 1.D 解：，点D,E分别是BC,AC的中点， :DE=1AB, 2 AB=4, DE=号×4=2 2.C 解：：四边形ABCD是平行四边形， ·对角线AC与BD互相平分， 0是AC的中点，01=0C,0B=0D-BD, :E是AB的中点，F是A0的中点， EF是△ABO的中位线， :EF=5, B0=10, BD=2B0=20. 3.C 解：由题意得：EG,GF,FH,HE分别是△ABD,△BCD,△ABC,△ACD的中位线， EG=,EG∥AB,FH=4BFH∥AB,GF=CD,Gf∥CD,EH=CD,EH∥CD; ∴.EG=FH,EG∥FH,∠EGD=∠ABD=30°，∠DGF=180°-∠BDC=110°； ∴.四边形EGFH是平行四边形，LEGF=LEGD+LDGF=140°； AB =CD, ∴GE=GF, ∠GEF-180P-∠EGF=20°， 2 故选：C 4.B 解：如图所示，连接AC,BD, ,·在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是各边的中点， .EF/AC.EF-AC.GH/AC.GH-TAC, ∴.EF=GH,EF∥GH, ∴四边形EFGH是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形ABCD是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B. 5.D 解：A.方程x2=x的解为x=0,x2=1,故选项不正确； B.有两边对应相等，且夹角相等的两三角形全等，故选项不正确； C.4的平方根是±2，故选项不正确： D.连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，故选项正确： 故选：D. 6.C 解：·等腰三角形只有底边上的高、底边上的中线、项角的角平分线互相重合，并非所有高、 中线、角平分线重合， ∴A错误； 原命题“若a>b,则a2>b2”的逆命题为“若a2>b2,则a>b”, .存在(-3)>22，但-3<2， 逆命题为假命题，B错误； 由角平分线的判定定理可知，在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上， C正确： 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”时，需假设结论的反面成立，即假设三角形 中每一个内角都大于60°， D错误 7.A 解：①：三角形ABC为等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=LBAC=60°， :DE∥BC, ∴.LADE=LAED=60°， ∴.△ADE为等边三角形， ∴.AD=AE, ∴.BD=CE, 又LABC=LACB=60°，BC=CB, ∴.△BDC≌△CEB, :ZBDO=ZCEO ,LB0D=∠C0E,BD=CE, .△BD0≌△CE0, D0=E0, :O为DE中垂线上的点， .AD=AE, .A为DE中垂线上的点， ∴.A0垂直平分DE, :G为DE中点； 所以①为真命题： 假设DE与BC不平行，作EH∥BC,EH与AO交于点F,作AK⊥EH,则：∠AKF=90°， ∠AKF>∠AFK, A0⊥DE, ∴.LAGE=90°， ∠AFK是△GEF的一个外角， .∠AFK>LAGE,即：LAFK>90°，与∠AKF>∠AFK矛盾， 假设不成立， ∴.DE∥BC;故②为真命题. B 故选A. 8.C 解：0A=0D, ∴.L0AD=LAD0, 0C平分∠B0D, ∴.∠D0C=∠C0B. ,LD0C+∠C0B=∠0AD+∠AD0, .ZADO=ZDOC, ∴.CO‖AD,则(1)正确； .OC平分∠BOD, ∴.LD0C=LC0B. ..OB=OD,OC=OC, ∴.△BOC≌aDOC(SAS),则(2)正确： 只有△BOC,△DOC,△DOA都是等边三角形，可得LDA0=60°，由已知条件不能得出该结论，所以 (3)不正确； .△BOC≌△D0C, ∴.BC=CD. .BC=CD,OB=OD, ∴.OC是BD的垂直平分线，即LBG0=∠BGC=90°. 设BC=CD=x,CG=m,则0G=2-m, .OB2-0G2=BC2-CG2, 即4-(2-m)2=x2-m2, 解得m=, 4 0G=2-m=2-x. 4 .BG=DG.OA=OB, AD=20G=47x3 :四边形8CD的周长为2BC+4D+8=2x+4-+4=-2+0, 当x=2时，四边形ABCD的周长最大值为10，则(4)正确. 所以正确的有3个，C符合题意. 9.A 解：如图，延长CE交AB于点F, B D 则∠AEC=LAEF=90°， ,AD是△ABC的角平分线， ∴.∠CAE=LFAE, .'AE=AE .△CAE≌△FAE(ASA), ∴.AF=AC,EF=EC, .AB=2AC=2m .∴.AF=AC=m, :BF m 作00，则器5- ∴点Q为BD的中点， .F2为△ABD的中位线， FQ-号AD. EF =EC, 同理可证ED为△CFQ的中位线， DE-0-4, 则4E=2AD, 4 1 .'DE =AE, .AE AC, ∴.3DE<m, 则DE<号， 那么，0DE<写0 10.D 连接DE,过点E作EF∥BD,交CB的延长线于点F. ,BD和CE分别是两边上的中线 DE=IBC .BD⊥CE,BD=8,CE=6 ∴.CF=VEF2+EC2=10 ,四边形BDEF为平行四边形 ∴BF=DE .BF=CF .S..on 3 S.BEC S.ACE A S ∴.SABc= =4x6×8÷2=32 3 故选：D. 0 -- B 二、填空题 11.6 2 解：∠B=30°，AD⊥BC,BD=3, .AB =2AD,AD2+32=AB2=4AD2, AD=5, ,∠C=45°，AD⊥BC, .△ADC是等腰直角三角形， ∴CD=AD=√5，则AC2=AD2+CD2=2CD2=6, ∴.AC=6, E,F分别为AB,BC的中点， EF=}4C=6 2 21 12.①②③ 解：：E是AB的中点， .AE BE AB =2BC, :BC BE 又：∠ABC=60°， △BCE是等边三角形， ∠CEB=60°，CE=BC=AE, .∠CAE=LECA, ∠ECA=30°， :∠ABC=60°， ·∠DCB=120°， :∠ACD=120°LACE-∠BCE=30°， 故①正确； '∠BCE=60°，∠DCB=120°， ∴∠BCE=∠DCE=60°， :CE平分LDCB, 故②正确； :平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, A0=0C, :E是AB的中点， .OE是△ABC的中位线， :0E-C, 又：BC=BE=AE=54B, .CD=40E, 故③正确； :A0=0C, S.40E =S.COE OElIBC,OE=IBC, 2 1 Sue..wc 故④错误. 故答案为：①②③ 13.4 解：：四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC, :点E,F分别从点A,B同时出发，沿AD,BC方向以相同的速度运动， :AE BF, .DE=CF, :四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形， :AG=GF DH=FH, G:.GH=TAD AD =8cm :.GH =4cm 故答案为：4. 14.90 解：若甲错，则N不是2的倍数，但N是3、5、7的倍数.3、5、7的最小公倍数为105，但 105>100,无解； 若乙错，则N不是3的倍数，但N是2、5、7的倍数.2、5、7的最小公倍数为70,70在50 到100之间且不是3的倍数，故N=70; 若丙错，则N不是5的倍数，但N是2、3、7的倍数.2、3、7的最小公倍数为42,42的倍 数在50到100之间有84,84不是5的倍数，故N=84; 若丁错，则N不是7的倍数，但N是2、3、5的倍数.2、3、5的最小公倍数为30,30的倍 数在50到100之间有60和90，两者均不是7的倍数，故=60或90. 比较各情况，N的最大值为90. 验证：当N=90时，甲说正确(90是2的倍数)，乙说正确(90是3的倍数)，丙说正确(90 是5的倍数)，丁说错误(90不是7的倍数)，符合题意. 故答案为：90. 15. 1:2 9 解：(1)，边长为a的正方形面积=a2,边长为a的菱形面积=ah, ∴.菱形面积：正方形面积=ah:a2=h:a, :菱形的变形度为2，即2=2， h ∴.h:a=1:2. 故答案为：1：2； (2)“菱形边长为1，“形变度”为 “菱形形变前的面积与形变后面积比为， 5-6x6-3x6 -x3x3-9 ×3x6- 3 故答案为：9. 三、解答题 16.(1)证明：E是AB的中点， .AE BE, 又：DF=BF, EF是△ABD的中位线， EF∥AD, CF∥AD, 又：AF∥CD, :四边形AFCD为平行四边形， :AD=CF (2)解：由(1)知，EF是△ABD的中位线，四边形AFCD为平行四边形， :CF=AD=2EF=6, :∠EFB=90°， ∠BFC=90°， 在Rt△CFB中，BF=5,CF=6, 由勾股定理得：BC=VCF2+BF2=V62+52=√6们1. 17.(1)证明：，P是BD的中点，M是AB的中点， :PM=4D, 2 同理可得，PN=)BC, 2 .AD =BC, ∴.PM=PN, .∴.∠PMN=∠PNM; (2)证明：，P是BD的中点，M是AB的中点， .PM∥AD, ∴.∠PMN=∠AEM, 同理可证，LPNM=LF, 由(1)知，∠PMN=∠PNM, .∴.∠AEM=∠F; (3)解：△CGD是直角三角形，证明如下： 如图，取BD的中点P,连接PM,PN, M是AB的中点， PM∥AD,PM=4D, 2 同理可得，PN∥BC,PN=BC, .AD =BC, ∴.PM=PN, ∴.∠PMN=∠PNM, PM∥AD, ∴.∠PMN=∠ANM=60°， .∴.∠PMN=∠PNM=60°， PN//BC .∴.∠CGN=∠PNM=60°， 又.∠CNG=LANM=60°， ∴.△CGN是等边三角形， ∴.CN=GN, 又.CN=DN, .DN =GN ∴.∠NDG=∠NGD=30°， .∴.∠CGD=∠CGN+LNGD=60°+30°=90°， △CGD是直角三角形， 18.(1)解：所作图形如图所示： E P B P (2)所作图形如图所示： 19.(1)解：17×3+1=52，且52是4的倍数， ∴.n=17进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； 37×3+1=112,且112是4的倍数， .n=37进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； (2)解：，·奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为 奇数， 经过有限步后奇数一定会变为偶数， 若偶数为4的倍数，则问题得证， 若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为4m+2(m为整数)， 当m=2k(k为整数)，则4m+2=8k+2, (8k+2÷2=4k+1,3(4k+1)+1=12k+4=43k+1, ∴.34k+1)+1一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意； 当m=2k+1(k为整数)，则4m+2=8k+6, (8k+6÷2=4k+3,34k+3)+1=12k+10,(12k+10÷2=6k+5, 36k+5+1=18k+16,(18k+16=9k+8, 对于18k+16,要使18k+16不是4的倍数，那么k一定要是奇数， 设k=2p+1(p为整数)，则18k+16=36p+34, (36p+34)÷2=18p+17,(18p+17)×3+1=54p+52,(54p+52)÷2=27p+26, 同理要使27p+26不是4的倍数，则p一定是奇数， 如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数， “假设不存在4的倍数，那么m=2+1=4p+3…要一直成立，即对于任意的k的结吴都是 整数，显然这是不可能的， 假设不成立， ∴原结论正确。 20.(1)解：过点B作BH1AD延长线于点H, H B .∠ACB=90°，CD=1,AD=2, .AC=AD2-CD2=3, S.m=BD:AC=AD:BH,BD 3×V5=2BH, 3v5 .BH= 2’ 即点B到直线4D的距离为3 2； (2)解：BD=2EG,理由如下： 如图，连接CE,交AD于点K, 设∠B=B, ,LACB=90°，点E为线段AB中点， ∴.CE=AE=BE, ∴.∠ACE=∠CAE=90°-∠B=90°-B,∠BCE=∠B=B, ∴.∠AEC=∠BCE+∠B=2B, LCAD=a,∠B=B, .∴.∠DAB=180°-∠ACB-∠CAD-∠B=90°-a-B, 由旋转知LAEP=2a,EF=EP, ∴.∠PKE=∠DAB+∠AEC=90°-a-B+2B=90°-a+B, ∠KPE=180°-LDAB-∠PEA=180°-(90°-a-B）-2a=90°-a+B, ∴∠PKE=∠KPE, .KE PE ∴.KE=EF, 在△AKE与△CFE中， AE=CE ∠AEK=∠CEF, KE=FE .∴.△AKE≌aCFE(SAS), ∴.∠EAK=∠ECF=90°-a-B, ∴.∠GCA=∠ACE-∠ECF=90°-B-(90°-a-B)=a, ∴.LGCA=LCAD, ∴.GC=GA, ,∠ACB=90°， ∴.90°-∠GCA=90°-LCAD,即∠GCD=∠GDC, ..GC=GD ..GA=GD, 点E为线段AB中点， ∴.BD=2EG. 21.(1)证明：P是BD的中点，M是DC的中点， :PM=TBC, 2 P是BD的中点，N是AB的中点， PN=号4D, AD BC, ∴.PM=PN, .∠PMN=∠PNM; (2)证明：如图，由(1)得LPMN=LPNM, C B 图2 ,N是AB的中点，M是DC的中点，P为BD的中点， ∴.PN I AD,PMBC, .LAEN=∠PNM,∠PMN=LF, ∴.∠AEN=∠F; (3)证明：如图，连接BD,取BD中点P,连接PM,PN,由(1)知LPMN=∠PNM, D B 图3 由(2)可知，PM‖BG,PNII AM, .∠PMN=∠CGM,∠PNM=∠AMN, .∠CGM=∠AMN, ,∠GMC=45°，∠AMN=LGMC, .∠PMN=∠PNM=∠CGM=∠AMN=45°， .∠MPN=180°-45°×2=90°， △PMN为等腰直角三角形， E=iNd+:Wd=NW.. 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