3.3《离差平方和与方差》期末小节复习题 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦离差平方和与方差，通过单选、填空、解答题分层设计，实现从概念辨析到实际应用的知识巩固，培养数据意识与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|离差平方和、方差概念及基础计算|单选1-2题直接考查概念辨析，填空11-12题强化公式应用，夯实基础| |能力提升|多统计量综合比较与变式计算|单选5-6题结合方差、中位数分析数据波动，填空13-14题涉及方差变式，提升推理能力| |综合应用|实际问题解决与探究|解答19-20题结合生活情境（快递评分、家庭用水量），需分组优化离差平方和，体现应用意识|

3.3《离差平方和与方差》期末小节复习题 一、单选题 1．对于两组数据和，若数据的离差平方和为，数据的离差平方和为，则下列说法正确的是（   ） A．数据的波动比数据大 B．数据的波动比数据大 C．数据和数据的波动相同 D．无法判断两组数据的波动情况 2．小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 3．甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．乙的成绩的方差比甲的小 B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好 C．乙的后三次测试成绩都比甲高 D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高 4．小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 5．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经收集整理后得表，某同学根据此表分析得出如下结论： 班级 参加人数 中位数 平均数 方差 甲 55 149 135 191 乙 55 151 135 110 ①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； ②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字个为优秀） ③甲班成绩的波动情况比乙班小． 上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 6．某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区里举办的“学科素养大赛”，四名同学平时成绩的平均分（单位：分）均为93分，方差分别如下=0.75，=1.1，=1，=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（    ） 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒） A． B． C． D． 8．环保小组抽样调查了某社区10户家庭1周内使用环保方便袋的数量，结果为（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9．试估计该社区500户家庭1周内使用环保方便袋约为（    ） A．2500只 B．3000只 C．3500只 D．4000只 9．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 10．把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 11．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式为，则该样本的离差平方和是____________． 12．在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式： ，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ________． 13．某市举办的朗诵比赛，由名评委给选手打分（百分制，分数均为整数），比赛结果的评价规则为：平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．下面是名评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分表： 评委 评委 评委 评委 评委 甲 乙 丙 若方差 ，且丙在三位选手中的排序居中，表中的值为______． 14．已知样本数据，，…，的平均数与方差满足如下关系式：．若已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从原15个数中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩下的10个数，，…，的方差为______． （参考公式：） 15．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 三、解答题 16．某工厂新进了一批直径为12mm的螺丝，从中抽取了10个螺丝，并规定它们的方差大于0.04就可以要求退货．这10个螺丝的直径（单位：mm）如下： 11.8，11.7，12.0，12.1，12.3，12.2，12.0，11.5，12.3，12.1． 该工厂是否可以退货？ 17．某学校组织了一次“网络安全知识专题”学习，并进行了一次全校2000名学生都参加的测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行统计分析，发现这100份答卷中考试成绩x（单位：分）的最低分为50分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表． 成绩段/分 频数 频率 0.1 18 0.18 35 0.35 12 0.12 请根据图表信息，解答下列问题． (1)填空：_____，______，______． (2)请将频数分布直方图补充完整． (3)请写出中位数落在的成绩段为______． (4)请估计全校2000名学生都参加测试的平均分为多少分．（每组取其组中值，例如：分数在，取55；分数在，取65） 18．（1）已知一组数据1，3，5，7，9，求这组数据的标准差． （2）某商场统计了去年月A，B两种品牌冰箱的销售情况，如下表所示： A品牌（台） 15 17 16 13 14 B品牌（台） 10 14 15 16 20 ①分别求出A，B品牌的销售量的平均数； ②分别求出A，B品牌的销售量的方差，并比较品牌的销售量的稳定性． 19．快递业促进了社会发展，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．某平台经过了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此市场部收集了10个客户对两家公司的配送速度及服务质量的评分结果，进行整理、描述、分析，信息如下： 信息一：配送速度得分（满分10分）： 甲 6 6 5 9 8 7 9 9 10 7 乙 8 8 6 7 6 10 7 8 10 8 信息二：服务质量得分统计图（满分10分）： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表 项目 配送速度得分 服务质量得分 统计量快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 b 7 乙 a 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的______， ______． (2)综合上表中的统计量，你认为平台应选择哪家公司合作？请说明理由． (3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可） 20．某年6个家庭的年用水量如下表所示： 家庭 年用水量/t 105 78 75 115 90 110 (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？ (2)说明分组的实际意义． 参考答案 一、单选题 1．D 解：∵ 离差平方和的大小受数据个数影响， 题干中未提供数据和的个数， ∴ 无法判断两组数据的波动情况． 故选：D． 2．D 解：∵ 离差平方和公式为，其中为样本平均数，为样本容量． 给定列式为， ∴ 每个数据与的差，故． 列式中有个平方项，故． ∴ 这组样本的平均数为，样本容量为， 故选：D． 3．A 解：甲同学的成绩依次是：7，8，8，8，9， 则总成绩为：，平均数为：，方差为：， 乙同学的成绩依次是：6，7，8，9，10， 则总成绩为：，平均数为：，方差为：， ∴该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高，故D选项正确； ∵， ∴乙的成绩的方差比甲的大，故A选项错误； 由图可知，乙的最好成绩为10个，比甲的最好成绩9个好，故B选项正确； 由图可知，乙的后三次测试成绩都比甲高，故C选项正确． 4．B 解：由题意知，这组数据为2、4、5、5， 所以这组数据的平均数为，①正确； 中位数为，②错误； 众数为5，③正确； 样本容量为4，④错误； 故选：B． 5．B 解∶∵甲，乙两班成绩的平均数相等，都是135， ∴甲，乙两班学生成绩的平均水平相同，结论①正确； ∵两班参赛人数均为55人，中位数为排序后第28个数据，甲班中位数为149，小于150，乙班中位数为151，大于150， ∴乙班每分钟输入汉字个的优秀人数多于甲班，结论②正确； ∵甲班方差为191，乙班方差为110，甲班方差大于乙班方差，方差越大，数据波动越大， ∴甲班成绩的波动比乙班大，结论③错误； 综上，正确结论为①②． 6．D 解：∵四名同学的平均数相同， ∴说明他们的成绩一样好，因此需要根据成绩的稳定性来选择， ∵=0.75，=1.1，=1，=0.7， ， ∵方差越小表示成绩越稳定， ∴丁的成绩更稳定， 故选：D． 7．B 解：由表可得，运动员的成绩为， ∴位运动员成绩分别为 ∴个数据的方差为， ∴标准差为， 故选：． 8．C 解：（6+5+7+8+7+5+8+10+5+9）×500=3500（只）， 故选：C． 9．B 解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 10．B 数据从小到大排序：2， 4， 8， 10， 12，计算各选项组内离差平方和： A、，； ，平均值，； ； B、，平均值； ，平均值； ； C、，平均值，； ，平均值， ； D、 ，平均值； ； ； ∴ 选项B的总组内离差平方和最小，为10， 故选：B． 11．14 解：样本数据为1，2，3，3，6，共5个数据，样本均值， 离差平方和为， 故答案为：14． 12．①③④ 解：根据题意得： ， ∴样本的容量是4，故①说法正确； 这组数据为：3，3，4，6， 则中位数为：，故②说法错误； 样本的众数为：3，故③说法正确； 样本平均数为：，故④说法正确； 方差为：，故⑤说法错误； 则上述信息正确的是①③④． 故答案为：①③④． 13． 解：甲的平均分，方差为， 乙的平均分，方差为， ∵方差，丙在三位选手中的排序居中， ， 解得：， 当时， 丙的平均分，方差为， 此时乙在三位选手中的排序居中，不合题意舍去， 当时， 丙的平均分，方差为， 此时丙在三位选手中的排序居中， 故， 故答案为：． 14．8 解：∵15个数，，…，的平均数为6，方差为9， ∴，15个数的和为， ∴， ∵剔除的这5个数的平均数为8，方差为5， ∴剔除的这5个数的和为，， ∴， ∴剩余数的平均数为，， ∴， 即：剩下的10个数，，…，的方差为8； 故答案为：8. 15． 解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 三、解答题 16．解：样本平均数为， 方差是． ， ∴该工厂可以退货． 17．（1）解：， ， ； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：∵，， ∴从小到大排列后第50个和第51个数据在内， 故中位数落在成绩段； （4）解：（分） 答：估计全校2000名学生都参加测试的平均分为77.1分． 18．解：（1）， ∴ 即这组数据的标准差为． （2）①（台），（台）， 答：A品牌平均数为15台，B品牌平均数为15台； ② ∵， ∴A品牌的销售量更稳定 19．（1）解：乙公司配送速度得分从小到大排列为： 6，6，7， 7，8，8，8，8，10，10 一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为8，8， 所以中位数， 甲公司配送速度得分9出现的次数最多，所以众数． （2）解：平台应选择甲公司，理由如下： 从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即； 又服务质量得分的平均分相同，平台应选择甲公司； （3）解：还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）． 20．（1）解：将表中的数据按从小到大排列为75，78，90，105，110，115． 分成两组，共5种情况，分别计算组内离差平方和如表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 {75}和{78，90，105，110，115} 0 933.2 933.2 {75，78}和{90，105，110，115} 4.5 350 354.5 {75，78，90}和{105，110，115} 126 50 176 {75，78，90，105}和{110，115} 558 12.5 570.5 {75，78，90，105，110}和{115} 981.2 0 981.2 由表可知，当分组为和时，组内离差平方和最小． （2）解：将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性． 学科网（北京）股份有限公司 $