2.4 二次函数与幂函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦二次函数与幂函数核心考点，依据高考评价体系梳理了单调性、最值、解析式求解等考查维度，通过多地模拟真题分析明确二次函数区间最值占35%、幂函数定义与性质占25%的高频考点分布，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+素养培养+技巧指导”策略，如以二次函数分段函数最值题为例，用分类讨论思想培养数学思维，通过幂函数奇偶性判断强化数学语言表达。特设易错点警示如二次函数对称轴位置分析，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

2.4　二次函数与幂函数 返回目录 三年模拟 考点1　二次函数 1.★(2026届四川内江六中入学考,2)“a=2”是“函数f(x)=x2+2ax-2在区间(-∞,-2]上单 调递减”的 ( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充分必要条件　　    D.既不充分也不必要条件     A     解析　若f(x)=x2+2ax-2=(x+a)2-a2-2在区间(-∞,-2]上单调递减,则-a≥-2,即a≤2, 因此“a=2”是“函数f(x)=x2+2ax-2在区间(-∞,-2]上单调递减”的充分不必要条件.故 选A. 返回目录 2.★★(2026届安徽A10联盟调研,6)已知函数f(x)= 若f(x)存在最小值,则 正数c的最大值为 ( ) A.1　　    B.2　　     C. 　　    D.4     D     解析　当-3<x<0时,由二次函数的图象与性质知-1≤ f(x)<3. 若f(x)存在最小值,则- ≥-1,解得0<c≤4,则c的最大值为4.故选D. 返回目录 3.★★(2026届山东省实验中学开学考,3)二次函数f(x)的图象过点(-1,0),且对任意实数x 都有4x-12≤f(x)≤2x2-8x+6,则f(x)= ( ) A.x2+2x+1　　    B.x2-4x-5　　     C.x2-2x-3　　     D.6x+6     C     解析　当x=3时,4x-12=12-12=0,2x2-8x+6=18-24+6=0, 因此有0≤f(3)≤0,则f(x)的图象过点(3,0),且在(3,0)处的切线为y=4x-12, 则可设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a(a≠0), f'(x)=2ax-2a,有f'(3)=6a-2a=4a=4,因此a=1,则f(x)=x2-2x-3, 此时f(x)-4x+12=x2-6x+9=(x-3)2≥0, f(x)-2x2+8x-6=-x2+6x-9=-(x-3)2≤0,符合要求.故选C. 返回目录 4.★★(2026届北京丰台期中,7)当x∈[0,2]时,函数f(x)=ax2+4(a-1)x-3(a>0)在x=2处取得 最大值,则a的取值范围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.[1,+∞)     C     解析　当a>0时, f(x)的图象开口向上,其对称轴为直线x= -2. 由题意知: ⇒ ⇒ 解得a≥ .故选C. 返回目录 5.★★★(2026届安徽江南十校联考,7)已知a≠0,则“a≤2b”是“函数f(x)=ax2+4bx-3 在(-1,+∞)上是单调函数”的 ( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     D     解析　由f(x)=ax2+4bx-3在(-1,+∞)上是单调函数得,- ≤-1,所以 ≥1, 当a>0时,得a≤2b;当a<0时,得a≥2b, 从而“a≤2b”是“函数f(x)=ax2+4bx-3在(-1,+∞)上是单调函数”的既不充分也不必要 条件.故选D. 返回目录 6.★★★(2026届湖北黄石月考,6)已知a<-1,当x∈[0,-a-1]时, f(x)=x2+ax的最小值是- ,则 a= ( ) A.-2　　     B.- 　　     C.- 　　    D.-      D     解析　当-(a+1)<- ,即-2<a<-1时, f(x)在[0,-a-1]上单调递减, 则f(-a-1)=(-a-1)2+a(-a-1)=a+1=- ,解得a=- ,符合题意; 当-(a+1)≥- ,即a≤-2时, f =- =- ,解得a=±1,不合题意,舍去.因此a=- .故选D. 返回目录 7.★★★(2026届福建宁德开学考,6)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点 在第一象限,且经过A(-1,0),B(0,1)两个点.给出下列说法:①abc<0;②-1<a<0;③0<b<1; ④0<a+b+c<2.其中正确的是 ( )   A.①②　　    B.①③④　　    C.①②④　　    D.①②③④     D     返回目录 解析　由题图可知二次函数图象开口向下,则a<0, 图象与y轴交点为(0,1),所以c=1>0, 顶点在第一象限,对称轴x=- >0,又a<0,所以b>0,所以abc<0,①中说法正确; 因为图象经过(-1,0),(0,1)两个点,所以 解得b=a+1,因为a<0,b>0,所以-1<a<0, ②中说法正确; 由-1<a<0得0<a+1<1,即0<b<1,③中说法正确; 因为图象顶点在第一象限,且经过点(-1,0),所以由二次函数图象的对称性可知,其与x轴 的另一个交点的横坐标在(1,+∞)上,所以当x=1时,a+b+c>0, 返回目录 又-1<a<0,0<b<1,c=1,所以0<a+b+c<2,④中说法正确. 综上,①②③④都正确.故选D. 返回目录 8.★★(2026届江苏连云港联考,12)写出一个过点(1,1),且在(-1,+∞)上单调的二次函数: ___________________________.     f(x)=x2+2x-2(答案不唯一)     解析　由二次函数的图象过点(1,1)设f(x)=a(x-1)(x-m)+1,【答案不唯一,取定a值(a≠0), 由单调性求m的范围即可】不妨取a=1,则f(x)=x2-(m+1)x+m+1,再由f(x)在(-1,+∞)上单 调,得 ≤-1,即m≤-3. 取m=-3,则f(x)=x2+2x-2. 返回目录 9.★★(2026届广东深圳中学检测,12)已知函数f(x)= 若当x∈[a,b]时,1≤ f(x)≤3,则b-a的最大值是___________.     3+      解析　当x≤1时,由1≤f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3,所以-1≤x≤1, 当x>1时,由1≤f(x)≤3可得1≤x+ -1≤3,所以1<x≤2+ , 所以-1≤x≤2+ ,所以[a,b]⊆[-1,2+ ],所以b-a的最大值为3+ . 返回目录 10.★★(2026届安徽怀远一中月考,19)已知函数y=2ax-x2,x∈[-1,1]. (1)当a=1时,求函数的最值; (2)求y=2ax-x2,x∈[-1,1]的最小值g(a). 返回目录 解析    (1)当a=1时,y=2x-x2图象的开口向下,对称轴为直线x=1, ∴y=2x-x2在[-1,1]上单调递增, ∴ymin=-3,ymax=1, 因此函数的最小值为-3,最大值为1. (2)函数图象的对称轴为直线x=a,开口向下, 【方法技巧:开口向下的抛物线,离对称轴越远函数值越小】 ①当1-a≥a-(-1),即a≤0时,ymin=2a-1; ②当1-a<a-(-1),即a>0时,ymin=-2a-1. 综上,g(a)=  返回目录 三年模拟 考点2　幂函数 1.★(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,3)已知幂函数f(x)=xm-1+m2-m的图象与坐标轴无 公共点,则m=( ) A.0　　    B.1　　    C.0或-1　　    D.0或1     D     解析　由题意得 ⇒m=0或1.故选D. 返回目录 2.★(2026届重庆巴蜀中学月考,3)“ > ”是“a>b”的( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     C     解析　由y= 是R上的增函数,得 > ⇔a>b. 故“ > ”是“a>b”的充要条件.故选C. 返回目录 3.★★(2026届上海同济大学附中月考,14)幂函数y= 的图象是 ( )  　     　     　          A     解析　因为幂函数y= 的定义域为R, 而选项B中的图象对应的函数的定义域为{x|x≠0},所以B不符合; 因为幂函数y= 为偶函数,而D中的图象关于原点对称,所以D不符合; y= = ,由0< <1知,y= 在第一象限内的图象增加得越来越慢,所以A符合,C不符 合.故选A. 返回目录 4.★★★(2025届江苏宿迁中学质检,8)已知函数f(x)=x2+ -3,g(x)=kx+2,若对任意的x1∈ [-1,2],总存在x2∈[1, ],使得g(x1)>f(x2),则实数k的取值范围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　     D.以上都不对     A     返回目录 解析　∵对任意的x1∈[-1,2],总存在x2∈[1, ],使得g(x1)>f(x2), ∴g(x)min>f(x)min,【不等式恒成立与有解问题转化为函数的最大(小)值问题】 ∵f(x)=x2+ -3≥2 -3=4-3=1,当且仅当x= 时取等号, ∴f(x)min=1. 当k>0时,g(x)=kx+2在[-1,2]上单调递增,∴g(x)min=g(-1)=2-k,∴2-k>1,解得0<k<1; 当k<0时,g(x)=kx+2在[-1,2]上单调递减,∴g(x)min=g(2)=2k+2,∴2k+2>1,解得- <k<0, 当k=0时,g(x)=2,2>1成立. 综上所述,k的取值范围为 . 故选A. 返回目录 5.★★(多选)(2026届安徽江南十校综合素质检测,9)已知函数f(x)=(m2-2m-2)xm是幂函数, 则 ( ) A.f(1)=1　　     B.m2-2m=3 C.m2-2m=-1　　    D.f(x)是奇函数     ABD     解析　由题意知m2-2m-2=1,所以f(1)=1,m2-2m=3,解得m=-1或3, f(x)=x-1或f(x)=x3,故f(x)是 奇函数,所以ABD正确,C错误.故选ABD. 返回目录 6.★★(多选)(2025届山东滨州一中月考,10)下列命题正确的是 ( ) A.y=x0的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过点(1,1) C.函数f(x)=xa的图象过点(4,2),若x>1,则f(x)>1 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限     BCD     返回目录 解析　对于A,因为y=x0(x≠0),所以点(0,1)不在y=x0的图象上,故y=x0的图象不是一条直 线,故A错误; 对于B,幂函数的图象都经过点(1,1),故B正确; 对于C,因为函数f(x)=xa的图象过点(4,2),所以2=4a,解得a= ,所以f(x)= ,若x>1,则f(x)>1, 故C正确; 对于D,幂函数的图象不可能出现在第四象限,故D正确.故选BCD. 返回目录 7.★★★(多选)(2026届广东部分学校联考,9)已知幂函数f(x)=ea-2xa+1,则 ( ) A.a=3 B. f(x)为奇函数 C.方程f(x)=x有3个不相等的实根 D. f(1.1)>f(-0.8)>f(a)     BC     返回目录 解析　对于A,因为f(x)=ea-2xa+1是幂函数,所以ea-2=1,解得a=2,因此A错误; 对于B,由A得f(x)=x3,其定义域为R,且f(-x)=-x3=-f(x), 所以f(x)为奇函数,因此B正确; 对于C,由f(x)=x,可得x3=x,即x3-x=0,解得x=0或x=±1,则方程f(x)=x有3个不相等的实根,因 此C正确; 对于D,因为f(x)=x3,所以f'(x)=3x2≥0,则f(x)在R上单调递增,由A得a=2,则f(a)=f(2),又2>1. 1>-0.8,所以f(2)>f(1.1)>f(-0.8),因此D错误.故选BC. 返回目录 8.★★(2026届江苏兴化中学摸底考,13)若幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0,+∞)上单调递增, 则实数m的值为_________.     2     解析　因为函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3是幂函数,所以m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2, 又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以m=2. 返回目录 9.★★★(2026届山东省实验中学二诊,13)已知幂函数f(x)=(6m2+m-4)x2m-1是奇函数,则不 等式f(a+2)<f(4-2a)的解集为_________________.     (-∞,-2)∪      解析　由题意知6m2+m-4=1,得(6m-5)(m+1)=0,解得m= 或m=-1, 当m= 时, f(x)= 为偶函数,不符合题意; 当m=-1时, f(x)=x-3为奇函数,符合题意.其大致图象如图所示,   由图象知,当x>0时, f(x)>0且f(x)单调递减;当x<0时, f(x)<0且f(x)单调递减. 返回目录 由图象知,当x>0时, f(x)>0且f(x)单调递减;当x<0时, f(x)<0且f(x)单调递减. 当 即-2<a<2时, 由f(a+2)<f(4-2a),得a+2>4-2a,解得a> ,此时 <a<2; 当 时,a不存在; 当 即a>2时,根据f(a+2)>0, f(4-2a)<0,得f(a+2)<f(4-2a)不成立,此时a不存在; 当 即a<-2时, f(a+2)<0, f(4-2a)>0,此时f(a+2)<f(4-2a)恒成立,所以a<-2. 综上,不等式f(a+2)<f(4-2a)的解集为(-∞,-2)∪ . 返回目录 10.★★★(创新考法)(2025届山东临沂期中,13)已知函数f(x)的定义域为D,写出一个 同时具有下列性质①②③的函数:____________________________________. 对任意x1,x2∈D,x1≠x2: ①若x1<x2,则f(x1)<f(x2); ②f(x1x2)=f(x1)f(x2); ③f > .     f(x)= (答案不唯一, f(x)= ,n∈N*均可)     返回目录 解析　由②f(x1x2)=f(x1)f(x2),可选函数f(x)为幂函数,设f(x)=xα,由①知, f(x)在定义域内单 调递增,因此α>0,由③知,函数f(x)的图象只能经过第一象限. 取函数f(x)= ,其定义域为[0,+∞),且f(x)在[0,+∞)上单调递增,满足①; f(x1x2)= = · =f(x1)·f(x2),满足②; f =  =  > ,满足③. 故答案为f(x)= .(答案不唯一, f(x)= ,n∈N*均可) 返回目录 11.★★★(2026届山东日照校际联考,16)已知幂函数f(x)=(m2+m-5)xm(m∈R)是定义在R 上的偶函数. (1)求函数f(x)的解析式; (2)当x∈ 时,函数g(x)=f(log3x)-2log3[f(x)]+a有两个不同的零点,求实数a的取值范 围. 返回目录 解析    (1)由f(x)=(m2+m-5)xm(m∈R)是幂函数,得m2+m-5=1, 解得m=-3或m=2. 当m=-3时, f(x)=x-3,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),不符合题意; 当m=2时, f(x)=x2,定义域为R,且f(x)为偶函数,符合题意, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2. (2)由(1)知f(x)=x2,则g(x)=(log3x)2-2log3x2+a=(log3x)2-4log3x+a,x∈ , 函数g(x)有两个不同的零点,即y=(log3x)2-4log3x的图象与直线y=-a在x∈ 上有两个 不同的交点, 返回目录 令log3x=t,t∈[-1,3], 令m(t)=t2-4t=(t-2)2-4, 当t∈[-1,2]时,函数m(t)单调递减,当t∈(2,3]时,函数m(t)单调递增, m(2)=-4,m(-1)=5,m(3)=-3, 故要使得y=(log3x)2-4log3x的图象与直线y=-a在x∈ 上有两个不同的交点,需满足-4 <-a≤-3,即3≤a<4. 故实数a的取值范围是[3,4). 返回目录 $