4.2 三角恒等变换 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角恒等变换”专题，覆盖和差角公式、二倍角公式、半角公式等核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确“公式逆用”“角的配凑”“切化弦”等高频考查方向，归纳12类常考题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题精讲+技巧建模+素养提升”，如以2024新课标Ⅰ题“已知cos(α+β)=m，tanαtanβ=2求cos(α-β)”为例，解析“整体代换”突破方法，培养数学思维与运算能力，设置易错点警示（如符号判断），助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

4.2　三角恒等变换 返回目录 五年高考 考点　三角恒等变换 1.★★(2021全国乙文,6,5分)cos2 -cos2 = ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析    cos2 -cos2 =cos2 -cos2 =cos2 -sin2 =cos = . 返回目录 2.★★(2024新课标Ⅰ,4,5分)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= ( ) A.-3m　　    B.- 　　    C. 　　    D.3m     A     解析　因为tan αtan β=2, 所以 =2, 所以sin αsin β=2cos αcos β, 又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m, 所以cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m, 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A. 返回目录 3.★★(2023新课标Ⅱ,7,5分)已知α为锐角,cos α= ,则sin = ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析　∵cos α=1-2sin2 = , ∴sin2 = = = , ∵α为锐角,∴ 也为锐角, ∴sin = .故选D. 返回目录 4.★★(2020课标Ⅰ理,9,5分)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析　由3cos 2α-8cos α=5,得3cos2α-4cos α-4=0,所以cos α=- 或cos α=2(舍去), 因为α∈(0,π),所以sin α= ,故选A. 返回目录 5.★★(2020课标Ⅲ文,5,5分)已知sin θ+sin =1,则sin = ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　∵sin θ+sin =sin θ+sin θcos +cos θsin =sin θ+ sin θ+ cos θ= sin θ+  cos θ=   sin θ+ cos θ = sin =1,∴sin = = ,故选B. 返回目录 6.★★(2024全国甲理,8,5分)已知 = ,则tan = ( ) A.2 +1　　    B.2 -1　　    C. 　　    D.1-      B     解析　∵ = ,∴ = ,解得tan α=1- .因此tan = =  =2 -1,故选B. 返回目录 7.★★★(2023新课标Ⅰ,8,5分)已知sin(α-β)= ,cos αsin β= ,则cos(2α+2β)= ( ) A. 　　    B. 　　    C.- 　　    D.-      B     解析　∵sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= ,cos αsin β= , ∴sin αcos β= + = , ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= , ∴cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1- = ,故选B. 返回目录 8.★★★(2021全国甲理,9,5分)若α∈ ,tan 2α= ,则tan α= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析　∵tan 2α= ,且α∈ ,∴ = ,【切化弦】 ∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α, 即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,【利用二倍角的正弦公式与两角差的余弦公式化简】 又cos α≠0,∴4sin α=1,【在化简过程中,约去的式子不能为0】 ∴sin α= ,∴cos α= ,则tan α= .故选A. 返回目录 9.★★★(2025全国二卷,8,5分)已知0<α<π,cos = ,则sin = ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析　解法一　∵0<α<π,∴0< < , 又∵cos = , ∴sin = = = , ∴sin α=2sin cos = , cos α=cos2 -sin2 =- , 返回目录 ∴sin = (sin α-cos α)= × = ,故选D. 解法二　∵cos = , ∴cos α=2cos2 -1=- , ∵0<α<π,∴sin α= = , ∴sin = (sin α-cos α)= × = . 返回目录 10.★★★(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则 = ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      C     解析      =  = =sin θ(sin θ+cos θ) =sin2θ+sin θcos θ=  = = = .故选C. 返回目录 关键点拨　第一次利用“1=sin2θ+cos2θ”代换凑成sin θ+cos θ的完全平方式进行化简, 第二次利用“1=sin2θ+cos2θ”凑成齐次式,分子、分母同除以cos2θ得到关于正切的代 数式. 返回目录 11.★★★(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2 cos sin β,则 ( ) A.tan(α-β)=1　　     B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1　　    D.tan(α+β)=-1     C     返回目录 解析　解法一　因为sin(α+β)+cos(α+β) =2 cos sin β, 所以 sin =2 cos ·sin β, 即sin =2cos sin β, 所以sin cos β+sin βcos  =2cos sin β, 返回目录 所以sin cos β-sin β·cos =0, 所以sin =0, 所以α+ -β=kπ,k∈Z, 所以α-β=kπ- ,k∈Z, 所以tan(α-β)=-1. 解法二　由题意得sin αcos β+cos αsin β+cos α·cos β-sin αsin β=2   cos α- sin α  sin β=2cos αsin β-2sin αsin β, 即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β) ≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C. 返回目录 12.★★★★(2021浙江,8,4分)已知α,β,γ是互不相同的锐角,则在sin αcos β,sin βcos γ,sin γcos α三个值中,大于 的个数的最大值是 ( ) A.0　　    B.1　　    C.2　　    D.3     C     解析    由  得sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤ ,【注:α,β,γ是锐角,故sin α,cos α,sin β,cos β,sin γ, cos γ均为正数】 返回目录 又α,β,γ互不相同,故sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α< . 故sin αcos β,sin βcos γ,sin γcos α三个值中,至多有2个大于 ,结合取等条件 即α=β=γ=  时,三个式子的值为  ,故取α= ,β= ,γ= ,此时,sin αcos β,sin γcos α均大于 . 故选C. 返回目录 三年模拟 1.★(2026届江西景德镇乐平三中期中,3)若sin α=2cos α,tan β=5,则tan(α-β)= ( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      D     解析　因为sin α=2cos α,所以tan α=2,又tan β=5,所以tan(α-β)= =- . 故选D. 返回目录 2.★(2025届安徽宿州期末,3)若tan =1,则sin θcos θ= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析　由题意知θ- = +kπ,k∈Z,得θ= +kπ,k∈Z, 故sin θcos θ= sin 2θ= sin  +2kπ = sin = . 故选A. 小题速解　不妨取θ= ,满足tan =tan =1,所以sin θcos θ=sin cos = sin  = × = . 返回目录 3.★★(2026届广东深圳外国语学校第二次月考,4)已知tan =-3,则cos2α+2sin 2α=  ( ) A. 　　    B. 　　    C.- 　　    D.-      A     解析　由tan = =-3,得tan α=2, 则cos2α+2sin 2α= = = .故选A. 返回目录 4.★★(2026届河南联考质量检测,5)已知α,β均为锐角,sin αcos β= ,cos αcos β= , 则cos(α+β)= ( ) A.- 　　    B.- 　　     C. 　　     D.      B     解析    tan α= =2.由α是锐角可得sin α= ,cos α= ,代入题干条件得到cos β = .由β是锐角可得sin β= ,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin α·sin β= × - × = - .故选B. 返回目录 5.★★(2025届湖南郴州三模,5)已知cos α+sin = ,则cos 的值为  ( ) A. 　　    B. 　　    C.- 　　    D.-      B 解析　由cos α+sin = ,得 cos α+ sin α- cos α= sin α+ cos α=sin = , 所以cos =1-2sin2 =1-2× = . 故选B. 返回目录 6.★★(2026届安徽江淮十校第二次联考,7)已知角α满足 = ,则  的值等于 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　由已知得 = = = ,整理得cos α=2sin α, 解得tan α= ,于是tan 2α= = = ,tan = =3,所以 = , 故选B. 返回目录 7.★★(2026届浙江部分学校月考,3)将顶点在原点,始边为x轴非负半轴的锐角α的终边 绕原点逆时针转过 后,交单位圆于点P ,那么cos α的值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析　由点P在单位圆上,得 +y2=1,解得y=± ,由锐角α∈ ,得α+ ∈ , 则y= ,故cos =- ,sin = ,cos α=cos =cos ·cos +sin  sin =- × + × = .故选A. 返回目录 8.★★★(2026届广东清远第一中学期中,6)已知sin -sin α= ,则cos =  ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      B     解析　由sin -sin α= ,可得 sin α+ cos α-sin α= , 即 cos α- sin α= , 即cos = , ∴cos =2cos2 -1=2× -1=- .故选B. 返回目录 9.★★★(2026届广东肇庆一模,5)已知 =tan 75°,则sin θ= ( ) A.± 　　    B. 　　    C.± 　　    D.      C     解析　由题意知:cos θ≠0, 所以 = =tan 75°, 又tan(45°+θ)= , 所以tan(45°+θ)=tan 75°, 【易错警示:由tan(45°+θ)=tan 75°直接得到θ=30°,所以sin θ= ,误选B】故45°+θ=75°+k×180°(k∈Z), 返回目录 解得θ=30°+k×180°(k∈Z), 当k=2n(n∈Z)时,sin θ=sin 30°= ; 当k=2n+1(n∈Z)时,sin θ=sin 210°=- , 因此sin θ=± .故选C. 返回目录 10.★★★(2025届河北秦皇岛昌黎第一中学第6次调研,6)已知sin -cos α= ,则 cos 的值为 ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      A     解析　由sin -cos α= sin α- cos α= sin = 得 sin = , 所以cos =cos =-cos =2sin2 -1=- . 故选A. 返回目录 11.★★★(2026届山东烟台期中,8)已知锐角α,β满足2α+β= 且tan αtan  =2- ,则β=  ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　由2α+β= ,得α+ = , 所以tan = = , 又tan αtan =2- , 返回目录 则tan α+tan =  =3- ,解得tan α=2- ,tan =1或tan α=1,tan =2- . 当tan =1时,因为0<β< ,所以0< < ,此时β不存在; 当tan α=1时,因为0<α< ,所以α= ,而tan =2- , 则tan β= = = , 因为β为锐角,所以β= . 故选B. 返回目录 12.★★★(2025届安徽蚌埠二中三模,4)已知cos = ,θ∈ ,则sin =  ( ) A.- 　　    B. 　　     C.- 　　     D.      D     返回目录 解析　因为θ∈ ,所以θ+ ∈ , 因为cos = ,所以sin = = = , 所以sin =sin =sin =cos =cos =cos  【θ+ = + ,将 看作整体,用两角和的余弦公式展开】=cos  cos -sin sin  = × - × = . 故选D. 返回目录 13.★★★(2026届浙江学军中学练习,5)已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为 tan α,tan β,且α,β∈ ,则α+β= ( ) A. π或- π　　    B.- 或  C. 　　     D.- π     D     解析　∵方程x2+3ax+3a+1=0的两根为tan α,tan β,∴tan α+tan β=-3a,tan αtan β=3a+1, ∴tan(α+β)= =1,又∵α,β∈ ,a>1,则tan α+tan β=-3a<0,tan αtan β=3a+1>0, ∴tan α<0,tan β<0,∴α,β∈ ,∴α+β∈(-π,0),结合tan(α+β)=1,可得α+β=- . 返回目录 14.★★★★(2025届安徽安庆一中最后一卷,8)已知β为锐角,且tan β>2,2sin α=cos(2β- α),则tan α的最小值为 ( ) A.- 　　    B. 　　    C.- 　　    D.      C     返回目录 解析　由2sin α=cos(2β-α)可得2sin α=cos 2βcos α+sin 2βsin α, 即(2-sin 2β)sin α=cos 2βcos α, 因此tan α= = = ,【利用“1”的代换,构造齐次 式,分子、分母同除以cos2β,方便统一函数名】 即tan α= , 令tan β=t,t>2,则tan α= ,【换元,利用导数求最值】 令f(t)= ,t>2, 返回目录 则f '(t)= , 由f'(t)=0,可得t=2± , 因此可知当2<t<2+ 时, f '(t)<0,此时f(t)在(2,2+ )上单调递减, 当t>2+ 时, f '(t)>0,此时f(t)在(2+ ,+∞)上单调递增, 因此可得当t=2+ 时, f(t)取得极小值,也是最小值, 即f(t)min=f(2+ )=- , 因此tan α的最小值为- . 故选C. 返回目录 15.★★★(多选)(2025届安徽临泉田家炳实验中学月考,9)已知sin α+cos α=a,sin α-cos α =b(b≠0),则( ) A.a2+b2=2　　     B.cos 2α=ab C.tan = 　　    D.sin α=      AD     解析    a2+b2=(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2(sin2α+cos2α)=2,A正确; ab=(sin α+cos α)(sin α-cos α)=sin2α-cos2α=-cos 2α,B错误; 因为a=sin α+cos α= sin , b=sin α-cos α=- cos , 返回目录 所以 = =-tan ,C错误; 因为a+b=(sin α+cos α)+(sin α-cos α)=2sin α,a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2), 所以a3+b3=2sin α(2-ab),所以sin α= ,D正确. 故选AD. 小题速解　取α= ,由sin α+cos α=a,sin α-cos α=b(b≠0)知,a=b=1,则a2+b2=2,A正确;cos 2α =cos π=-1≠ab=1,B错误;tan =tan =-1≠ =1,C错误; = =1=sin α,D正 确.故选AD. 返回目录 16.★★★(多选)(2026届江西新十校协作体联考,10)已知sin θ-cos θ= ,π<θ<2π,则  ( ) A.sin 2θ= 　　     B.π<θ<  C.cos 2θ=- 　　    D.cos =  ABD     返回目录 解析　因为sin θ-cos θ= ,所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-sin 2θ= ,所以sin 2θ= , 故A正确;因为π<θ<2π,所以sin θ<0,又sin 2θ=2sin θ·cos θ>0,所以cos θ<0,则π<θ< ,故B 正确;因为sin θ-cos θ= ,sin θ<0,cos θ<0,所以cos 2θ=(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ)>0,cos 2θ=  = ,故C错误;cos =cos 2θcos +sin 2θsin = ,故D正确. 故选ABD. 返回目录 17.★★★(2026届浙江杭州高级中学月考,13)已知sin(α-β)= ,且 =3,则cos(2α+2β)= _________. 解析     = = =3,【用同角三角函数基本关系商的关系将“切”化 “弦”】 则sin αcos β=3cos αsin β, 由sin(α-β)= ,得sin αcos β-cos αsin β= , 则2cos αsin β= , 返回目录 则cos αsin β= ,sin αcos β= , 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= + = , 则cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2× = . 返回目录 $