4.4 解三角形 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形”专题，依据高考评价体系梳理了正弦定理、余弦定理、面积公式及综合应用等核心考点，通过近五年高考真题分析明确“利用正余弦定理解三角形”占60%、“三角形面积与边角关系”占30%的高频考点分布，归纳出选择、填空、解答题三大常考题型。 课件亮点在于“真题精讲+一题多解+易错警示”的备考策略，如以2025全国二卷第5题为例，通过余弦定理推论和三角恒等变换培养学生的数学思维与运算能力，结合测量问题强化数学语言的模型应用。特设“高频题型答题模板”和“解题步骤规范”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

4.4　解三角形 返回目录 五年高考 考点1　利用正弦、余弦定理解三角形 1.★(2025全国二卷,5,5分)在△ABC中,BC=2,AC=1+ ,AB= ,则A= ( ) A.45°　　    B.60°　　    C.120°　　    D.135°     A     解析　由余弦定理的推论,得cos A= = = ,又0<A<180,所以A=45.故选A. 返回目录 2.★★(2023全国乙文,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A =c,且C= ,则B= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     解析　∵acos B-bcos A=c, ∴sin Acos B-sin Bcos A=sin C, ∴sin(A-B)=sin C,∴A-B=C【A-B+C=π舍去】,又C= ,∴A-B= ,A+B= ,∴B= , 故选C. 返回目录 一题多解　由acos B-bcos A=c得sin Acos B-sin B·cos A=sin C,即sin Acos B-sin Bcos A= sin Acos B+cos Asin B, ∴cos Asin B=0,又知sin B≠0, ∴cos A=0,又∵A∈(0,π),∴A= . ∴B= -C= - = .故选C. 返回目录 3.★★(2021全国甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120,AC= ,AB=2,则BC= ( ) A.1　　    B. 　　    C. 　　    D.3     D     解析　设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,在△ABC中,由题意知b= ,c=2,由余 弦定理b2=c2+a2-2cacos B,得19=4+a2-2·2a·cos 120°,整理得a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5 (舍),所以BC=3.故选D. 返回目录 4.★★★(多选)(2025全国一卷,11,6分)已知△ABC的面积为 ,cos 2A+cos 2B+2sin C=2, cos Acos Bsin C= ,则 ( ) A.sin C=sin2A+sin2B　　    B.AB=  C.sin A+sin B= 　　     D.AC2+BC2=3     ABC     返回目录 解析　设A,B,C的对边分别为a,b,c. 对于A,由cos 2A+cos 2B+2sin C=2得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2,化简得sin C=sin2A+sin2B, 故A正确. 对于B,由A及正弦定理得c=asin A+bsin B,又c=acos B+bcos A,【三角形中的射影定理】 所以sin A=cos B,sin B=cos A,则A+B= ,所以C= . 所以由cos Acos Bsin C= 得cos Acos B= ,又sin A=cos B,所以sin 2A= ,不妨取A=15°,则 B=75°. 由S△ABC= ab= 得ab= , 返回目录 由 = 得 = ,即b=(2+ )a,所以(2+ )a2= . 所以c2=a2+b2=a2+(7+4 )a2=(8+4 )a2=(8+4 )× =2.因此c=AB= ,故B正确. 对于C,sin A+sin B=sin 15+sin 75= + = ,故C正确. 对于D,AC2+BC2=b2+a2=c2=2≠3,故D错误. 故选ABC. 返回目录 5.★★(2021全国乙文,15,5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 ,B=60, a2+c2=3ac,则b=__________.     2      解析    由S△ABC= acsin B= ac= 得ac=4.由b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac,结合a2+c2=3ac 得到b2=2ac=8,∴b=2 . 返回目录 6.★★★(2024新课标Ⅱ,15,13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+  cos A=2. (1)求A; (2)若a=2, bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 返回目录 解析    (1)由已知得 sin A+ cos A=sin =1,因为0<A<π,所以 <A+ < ,所以A + = ,即A= . (2)由 bsin C=2csin Bcos B及 = ,得 sin Bsin C=2sin Csin Bcos B,又sin B≠0, 且sin C≠0,所以cos B= ,则sin B= ,则b= ·sin B= × =2 ,又sin C=sin(A+B)= sin Acos B+cos Asin B= × + × = ,所以c= ·sin C= × = + , 即a+b+c=2+3 + ,所以△ABC的周长为2+3 + . 返回目录 7.★★★(2024新课标Ⅰ,15,13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin C=  cos B,a2+b2-c2= ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+ ,求c. 解析    (1)由余弦定理的推论得cos C= = = ,又0<C<π,∴C= .由sin C=  cos B得 cos B=sin = ,∴cos B= ,由0<B<π得B= . (2)由(1)得B= ,C= . ∵ = ,∴ = . 返回目录 令 = =t,t>0,则b= t,c= t, ∵A=π-B-C= , ∴sin A=sin = , ∵S△ABC= bcsin A= × t× t× =3+ ,∴t=2,因此c=2 . 返回目录 8.★★★(2021新高考Ⅰ,19,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac, 点D在边AC上,BD·sin∠ABC=asin C. (1)证明:BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 返回目录 解析    (1)证明:由题设得BD= , 在△ABC中,由正弦定理知 = ,即 = , 代入BD= 中,得BD= , 又b2=ac,∴BD=b. (4分) (2)由AD=2DC得AD= b,DC= , 在△ABD中,cos A= = = , 返回目录 在△ABC中,cos A= = .故 = ,化简得3c2-11b2+6 a2=0, 又b2=ac, (7分) 所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0, 所以c=3a或c= a. (8分) 当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b= a,此时a+b<c,故a,b,c构不成三角形; (10分) 当c= a时,b2=ac= a2,所以b= a, 返回目录 此时a,b,c可以构成三角形, (11分) 故c= a,b= a,所以在△ABC中,cos∠ABC= = = . (12分) 返回目录 三年模拟 1.★(2025届安徽合肥八中三模,3)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=  ,c=7,则cos(A+B)= ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      C     解析　依题意,得cos(A+B)=-cos C=- =- = . 故选C. 返回目录 2.★(2026届河北保定质量检测,3)在△ABC中,若AC= ,C= ,AB=2,则△ABC解的个数 为 ( ) A.0　　    B.1　　    C.2　　    D.不确定     C     解析　由正弦定理,得 = ,所以 = ,即sin B= ,又AC>AB,所以B> ,B=  或 ,所以△ABC解的个数为2.故选C. 返回目录 3.★★(2026届辽宁省实验中学二模,5)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,且该 三角形的面积为15 ,则△ABC的最小边长等于 ( ) A.3　　    B.6　　    C.9　　    D.12     B     解析　由sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7以及正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,设a=3k,b= 5k,c=7k,k>0, 由余弦定理的推论得cos A= = = , 由于A∈(0,π),sin A= = , 则S△ABC= bcsin A= × =15 ,解得k=2,又最小的边长为a,故a=3k=6, 故选B. 返回目录 4.★★(2026届安徽合肥一中月考,4)连接圆形花圃圆周上的三点A,B,C,△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且a=10,4S=b2+c2-100,则该花圃的面积为  ( ) A.10 π　　    B.50π　　    C.125π　　    D.200π     B     解析　由题意可得4× bcsin A=b2+c2-a2, 根据余弦定理得2bccos A=b2+c2-a2,则2bcsin A=2bccos A,所以tan A=1, 又A∈(0,π),则A= , 设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得2R= = =10 , 可得R=5 ,故花圃的面积即为△ABC外接圆的面积πR2=50π.故选B. 返回目录 5.★★(2026届河北定州中学开学考,4)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 +  = ,则b= ( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.2     A     解析　因为 + = ,所以由正、余弦定理得 + = , 即a2+c2-b2+a2+b2-c2=2a×2ab,化简得b= .故选A. 返回目录 6.★★★(2025届广东佛山顺德二模,6)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin A + acos B=0,b2= ac,则 ( ) A.c=3a　　    B.c=2a　　    C.a=2c　　    D.a=c     D     返回目录 解析　因为bsin A+ acos B=0,所以由正弦定理得,sin Bsin A+ sin Acos B=0. 因为sin A>0,所以sin B+ cos B=0,所以sin B=- cos B, 又因为sin2B+cos2B=1, 所以 或 (舍去). 由余弦定理可知b2=a2+c2-2accos B=a2+c2+ ac,又b2= ac, 所以a2+c2=2ac,故a=c.故选D. 返回目录 7.★★★(2026届河北沧州四校期中联考,7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, sin(B-A)= , =b2-a2,则sin C的值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     解析　因为 =b2-a2,所以由余弦定理得 =(a2+c2-2accos B)-a2=c2-2accos B, 则c=4acos B,由正弦定理可得4sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin A·cos B+cos Asin B, 所以cos Asin B=3sin Acos B①, 又sin(B-A)=cos Asin B-sin Acos B= ②,故联立①②可得sin Acos B= , 故sin C=4sin Acos B=4× = .故选C. 返回目录 8.★★★(2026届山西太原十二中月考,3)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已 知a-ccos B=b-ccos A,且c2=a2+b2-ab,则△ABC的形状为 ( ) A.钝角三角形　　    B.等腰直角三角形 C.直角三角形　　    D.等边三角形     D     返回目录 解析　解法一　由c2=a2+b2-ab得a2+b2-c2=ab,所以cos C= = ,又C∈(0,π),所以C = . 由a-ccos B=b-ccos A,【利用正弦定理将边化角,通过角的关系确定三角形形状】 根据正弦定理可得sin A-sin Ccos B=sin B-sin Ccos A, 又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos B·sin C,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Bcos C=sin Acos C,又cos C≠0,所以sin B=sin A,由正弦定理得a=b. 因为a=b,C= ,所以△ABC是等边三角形.故选D. 返回目录 解法二　由解法一知C= , 由a-ccos B=b-ccos A及余弦定理的推论得a-c· =b-c· ,整理得  = ,因为c2=a2+b2-ab,所以a2+b2-c2≠0,所以2a=2b,即a=b,因为a=b,C=  ,所以△ABC是等边三角形.故选D. 返回目录 9.★★★★(2026届广东深圳罗湖翠园中学开学考,8)已知a,b,c分别为△ABC三个内 角A,B,C的对边,且acos C+ asin C-b-c=0,a=2,△ABC的面积为 ,则 ( ) A.b=1　　    B.b=2 　　    C.b=3　　    D.b=2     D     解析　由正弦定理得sin Acos C+ sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为B=π-(A+C), 所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C). 则sin Acos C+ sin Asin C-(sin Acos C+cos Asin C)-sin C=0, 即 sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 因为0<C<π,所以sin C≠0, 则 sin A-cos A-1=0, 返回目录 即2 -1=0⇒sin = , 又0<A<π,所以A- = ⇒A= , 由S= bcsin A= ⇒bc=4①, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A⇒b2+c2=8②, 联立①②解得b=c=2.故选D. 解题思路　利用正弦定理,三角形内角和,两角和的正弦公式将acos C+ asin C-b-c=0 化简为 sin A-cos A-1=0,从而得到sin = ,求出角A,再结合面积公式及余弦定理 求出b. 返回目录 10.★★★★(多选)(2026届安徽蚌埠开学考,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且b=c+2bcos(B+C),则下列结论正确的是 ( ) A.若B= ,则△ABC为直角三角形 B.若a= b,则△ABC为直角三角形 C.若b=3,c=1,则BC边上的中线长为2 D.若△ABC为锐角三角形,则 的取值范围是      ABD     返回目录 解析    b=c+2bcos(B+C)=c+2bcos(π-A)=c-2bcos A,利用正弦定理, 可知sin B=sin C-2sin Bcos A=sin(A+B)-2sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A-2sin Bcos A= sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B),又A,B∈(0,π),因此B=A-B或B+A-B=π(舍去),所以A=2B. 选项A,当B= 时,A=2B= ,角A为直角,所以△ABC为直角三角形,故A正确. 选项B,sin A=sin 2B=2sin Bcos B,因为a= b,所以由正弦定理,得cos B= = = , 又B∈(0,π),所以B= ,则A=2B= ,C=π-A-B= ,所以角C为直角,所以△ABC为直角三角 形,故B正确. 选项C,令BC的中点为M,由b=3,c=1,b=c+2bcos(B+C), 返回目录 得3=1-6cos A,解得cos A=- . 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=9+1-2×3×1× =12,即a=2 , 所以BM=CM= .   由∠AMB+∠AMC=π,可得cos∠AMB+cos∠AMC=0, 所以 + =0, 即 + =0,解得AM 2=2,即BC边上的中线长为 ,故C错误. 选项D,A=2B,C=π-A-B=π-3B,△ABC为锐角三角形, 返回目录 则 解得 <B< . 由正弦定理,得 = = = =  =  = =2cos B- , 令t=2cos B,t∈( , ),易得函数f(t)=t- 在( , )上单调递增, 返回目录 又f( )= , f( )= ,从而 的取值范围是 ,故D正确. 故选ABD. 返回目录 11.★★(2026届浙江金华十校一模,13)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足 C= ,且a2+b2-c2=4,则△ABC的面积为_________.     1     解析　因为C= ,a2+b2-c2=4,所以由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C=4, 化简得ab=2 , 所以S△ABC= absin C= ×2 × =1. 返回目录 12.★★(2026届山东泰安新泰中学月考,12)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已 知△ABC的面积为S= (b2-a2-c2),则角B=_________. 解析　由面积公式可得S= acsin B, 即 acsin B= (b2-a2-c2), 化简得 sin B=- =-cos B,解得tan B=- ,又B∈(0,π),所以B= . 返回目录 13.★★★(2026届重庆入学考,15)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且tan  =3. (1)求tan A; (2)若2csin A= asin B,证明:△ABC为直角三角形. 返回目录 解析    (1)tan A=tan = = . (2)证明:因为2csin A= asin B, 所以2ac= ab,所以c= b. 由(1)知tan A= ,所以cos A= , 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 得a2=b2+ b2-2b× b× = b2, 所以a2+b2= b2=c2, 所以C为直角,故△ABC为直角三角形. 返回目录 14.★★★(2026届湖南长沙长郡中学期中,15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,已知a+2b=2ccos A. (1)求角C; (2)若△ABC的面积S= ,a+b=5,求边c的大小. 解析    (1)由正弦定理得,sin A+2sin B=2sin Ccos A, 则sin A+2sin(A+C)=sin A+2sin Acos C+2cos Asin C=2sin Ccos A, ∴sin A+2sin Acos C=sin A(1+2cos C)=0, 在△ABC中,0<A<π,得sin A>0, ∴1+2cos C=0,∴cos C=- , 返回目录 ∵0<C<π,∴C= . (2)S△ABC= absin C= , ∵cos C=- ,0<C<π,∴sin C= , 则S△ABC= ab· = ,得ab=4, 又a+b=5, 则由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-ab=25-4=21,∴c= . 返回目录 15.★★★(2026届山东青岛二中期中,15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 2bcos C=ac-2ccos B. (1)求c; (2)若D为AB的中点,CD= ,∠ACB=60°,求△ABC的面积. 返回目录 解析    (1)由2bcos C=ac-2ccos B及余弦定理的推论得2b· =ac-2c· , 化简得a2c=2a2,因为a≠0,所以c=2. (2)因为D为AB的中点, 所以 = ( + ), 则 = ( + +2 · ), 即( )2= (b2+a2+2abcos∠ACB), 则8=a2+b2+ab①,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos∠ACB,即4=a2+b2-ab②, ①-②得2ab=4,则ab=2,所以S△ABC= ·absin∠ACB= ×2× = . 返回目录 考点2　解三角形及其综合应用 五年高考 1.★★★(2021全国甲理,8,5分)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新 高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的 一个示意图如图所示,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B' =45°,∠A'C'B'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的 仰角为45°,则A,C两点到水平面A'C'B'的高度差AA'-CC'约为( ≈1.732)( )     B     A.346　　    B.373　　    C.446　　    D.473 返回目录 解析　如图,过点C分别作A'C',B'C'的平行线,分别交A'A与B'B于点D和E,连接DE,则DE ∥A'B',过点B作DE的平行线BF,交AA'于点F.   故△A'B'C'≌△DEC, ∴∠DCE=∠A'C'B'=45°, ∠CDE=∠C'A'B'=180°-∠A'C'B'-∠A'B'C'=75°. 在Rt△BCE中,可得tan 15°= , 返回目录 即2- = , ∴CE= =100(2+ ), 在△CDE中,由正弦定理可得 = ,∴DE= ·CE=100( +1), 又知在Rt△ABF中,∠ABF=45°,所以AF=BF,所以AA'-CC'=AD=AF+DF=AF+BE=BF+BE =DE+BE=100(2+ )≈373.故选B. 返回目录 2.★★★★(2022全国甲,理16,文16,5分)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD= 2,CD=2BD.当 取得最小值时,BD=___________.      -1     解析　设BD=m(m>0),则CD=2m. 在△ABD中,根据余弦定理及已知, 得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=m2+2m+4, 在△ACD中,根据余弦定理及已知, 得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=4m2-4m+4. ∴ = =4- =4- , 返回目录 ∵m>0,∴m+1>1,∴m+1+ ≥2 ,当且仅当m+1= ,即m= -1时取“=”, 此时, 取得最小值,即 取得最小值. 所以当 取得最小值时,BD= -1. 返回目录 3.★★★(2023新课标Ⅰ,17,10分)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; (2)设AB=5,求AB边上的高. 解析    (1)∵A+B+C=π,A+B=3C,∴C= ,B= -A,又∵2sin(A-C)=sin B, ∴2sin =sin , 即2 = cos A- sin A,整理得sin A=3cos A, 又∵sin2A+cos2A=1,A∈ ,∴sin A= . (5分) (2)由(1)知C= ,sin A= ,cos A= , 返回目录 则sin B=sin = cos A+ sin A= . (6分) 在△ABC中,由正弦定理得 = = ,∴ = = , ∴AC=2 ,BC=3 , (8分) ∴S△ABC= AC·BC·sin C= ×2 ×3 × =15. (9分) 设AB边上的高为h,则 ×5h=15, ∴h=6. (10分) 返回目录 4.★★★(2022新高考Ⅱ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c 为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3= ,sin B= . (1)求△ABC的面积; (2)若sin Asin C= ,求b. 返回目录 解析    (1)由题意得 S1= a2,S2= b2,S3= c2, ∴S1-S2+S3= (a2-b2+c2)= ,即a2-b2+c2=2, 由cos B= 得a2+c2-b2=2accos B, 故2accos B=2,∴accos B=1, (3分) 又∵sin B= ,∴cos B= 或cos B=- (舍),∴ac= , ∴S△ABC= acsin B= × × = . (6分) 返回目录 (2)由正弦定理 = = 得 = , 又知ac= ,sin Asin C= , (9分) ∴ = ,∴ = , ∴b= sin B= × = . (12分) 返回目录 5.★★★(2024北京,16,13分)在△ABC中,∠A为钝角,a=7,sin 2B= bcos B. (1)求∠A; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求 △ABC的面积. 条件①:b=7; 条件②:cos B= ; 条件③:csin A= . 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答, 按第一个解答计分. 返回目录 解析    (1)∵sin 2B= bcos B, ∴2sin Bcos B= bcos B, ∵∠A为钝角,∴B≠ ,∴cos B≠0, ∴2sin B= b. 又∵a=7,∴2sin B= ·b= , ∴sin A= ,又∵∠A为钝角,∴A= . 返回目录 (2)若选①,b=7,则a=b=7,又A= ,∴B= ,∴A+B>π,此时三角形不存在,∴不能选①. 若选②,cos B= ,则sin B= , 由 = ,A= ,a=7,得 b= × =3, 易得sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= × + × = . ∴S△ABC= absin C= ×7×3× = . 返回目录 若选③,csin A= ,∴c= =5. 解法一　由 = ,A= ,a=7,得sin C= = ,又∵0<C<π-A= ,∴cos C=  = ,∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= × + × = , ∴S△ABC= acsin B= ×7×5× = . 解法二　由A= ,a=7,c=5及a2=c2+b2-2bccos A得25+b2+5b=49,得b2+5b-24=0, ∴(b+8)(b-3)=0,∴b=3(负值舍去), ∴S△ABC= bcsin A= ×3×5× = . 返回目录 6.★★★(2021新高考Ⅱ,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+ 1,c=a+2. (1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积; (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由. 返回目录 解析    (1)2sin C=3sin A⇒2c=3a, 又∵c=a+2, ∴2(a+2)=3a,∴a=4, ∴b=a+1=5,c=a+2=6, ∴cos A= = = ,∴sin A= = , ∴S△ABC= bcsin A= ×5×6× = . (6分) (2)由已知得c>b>a, 若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角, 返回目录 ∴cos C= <0⇒a2+b2<c2⇒a2+(a+1)2<(a+2)2⇒a2-2a-3<0⇒-1<a<3,又a>0,∴a∈ (0,3). (9分) 同时还应考虑构成△ABC的条件, 即a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1. 综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形. ∴存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形. (12分) 返回目录 7.★★★★(2023新课标Ⅱ,17,10分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 △ABC面积为 ,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC= ,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. 返回目录 解析　由题意知S△ABC= ,BD=DC, ∴S△ADC= . (1)∵S△ADC= DA·DC·sin∠ADC= ,DA=1,∠ADC= , ∴ DCsin = ,∴DC=2,∴BD=2, 易知∠ADB= , (2分) 在△ADB中,由余弦定理得AB2=BD2+DA2-2DA·DB·cos∠ADB,即AB2=22+12-2×1×2×  =7, 返回目录 ∴AB= , (3分) ∴cos B= = = , ∴sin B= = = , (4分) ∴tan B= = . (5分) (2)如图所示,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE,   易得四边形ABEC为平行四边形【对角线互相平分的四边形是平行四边形】,∴AB= 返回目录 CE,AC=BE,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,AE2=AC2+CE2-2AC·CE· cos∠ACE,两式相加得BC2+AE2=2(AB2+AC2)【注意cos∠BAC+cos∠ACE=0】, 即BC2+AE2=2(b2+c2)=16,又AE=2AD=2,∴BC2=12, ∴BC=2 , (7分) ∵S△ADC= AD·DC·sin∠ADC= ,AD=1,DC= , ∴sin∠ADC=1,∴AD⊥BC,∴b=c, (9分) 又b2+c2=8,∴b=c=2. (10分) 返回目录 8.★★★★(2022新高考Ⅰ,18,12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知  = . (1)若C= ,求B; (2)求 的最小值. 返回目录 解析    (1)∵ = = 【采分点:出现二倍角公式给1分】, (1分) 即 = , ∴cos Acos B-sin Asin B=sin B, 即cos(A+B)=sin B,又C= , (3分) ∴sin B=cos(A+B)=-cos C=-cos = , ∵0<B< ,∴B= . (4分) (2)由(1)知,sin B=cos(A+B)=-cos C, 返回目录 ∵sin B>0恒成立,∴C∈ , ∵-cos C=sin , ∴C- =B或B+C- =π(不合题意,舍去), (5分) ∴A= -2B,∵A>0,∴B∈ , (6分) ∴ = =  = , (8分) 令cos2B=t,t∈ , 返回目录 ∴ = =4t+ -5≥4 -5,当且仅当4t= ,即t= 时,取“=”【扣分点: 不写扣1分】. (11分) ∴ 的最小值为4 -5. (12分) 返回目录 三年模拟 1.★★(2026届山西大学附中模块检测,5)在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,则这个三角形 的最大内角为 ( ) A.30°　　    B.90°　　    C.120°　　    D.60°     C     解析　设三角形的三边长分别为3,5,7,根据大边对大角可知边c所对的角最大,设为θ,则 cos θ= =- ,因为0°<θ<180°,所以θ=120°. 返回目录 2.★★(2026届江西九江质量监测,7)位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘 甲船,需要海上加油,位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船,在甲船的北偏东75°方向 上,则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是 ( ) A.20 海里　　    B.40 海里 C.40 海里　　    D.30海里     B     返回目录 解析　画出示意图,如图,则PM=40海里,∠PMC=90-75=15,∠MPC=90+45=135,所 以∠PCM=180-135-15=30,根据正弦定理可得 = ,解得MC= MP=40  海里,则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是40 海里.   返回目录 3.★★★(2026届江苏常州一中质检,6)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且b=2,2cos A-acos B=a,则下列判断正确的是 ( ) A. <A< 　　    B. <A<  C. <A< 　　    D. <A<      A     返回目录 解析　因为b=2,所以2cos A-acos B=a⇒bcos A-acos B=a, 根据正弦定理得sin Bcos A-sin Acos B=sin A⇒sin(B-A)=sin A, 因为△ABC是锐角三角形,所以B,A∈ ,即B-A∈ , 因为函数y=sin x在 单调递增,所以由sin(B-A)=sin A⇒B-A=A⇒B=2A, 故C=π-A-B=π-3A, 因为△ABC是锐角三角形, 返回目录 所以 ⇒  所以 <A< .故选A. 返回目录 4.★★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,8)在△ABC中,BC=4,4=2sin(B+C)+3cos Bcos C,则△ABC的面积为 ( ) A.1　　    B. 　　    C.2　　    D.4     C     解析　由2sin(B+C)+3cos Bcos C=4,得2sin A+ cos(B+C)+ cos(B-C)=4,即2sin A- cos A + cos(B-C)=4,因此 sin(A-θ)+ cos(B-C)=4,θ为锐角,且tan θ= ,当且仅当  时,等号成立,因此sin A=cos θ= ,cos A=-sin θ=- 且B=C∈ ,由2sin A+3cos Bcos C= 4得2× +3cos2B=4,解得cos B= ,由B=C知AB=AC,由余弦定理得16=AB2+AB2+2AB2×  ,解得AB=AC= ,因此△ABC的面积为 AB·AC·sin A= ×( )2× =2.故选C. 返回目录 5.★★★★(知识交汇)(2026届重庆联考,8)若点O为△ABC的外心,且满足2 · +  · =0,则tan C的最大值为 ( ) A. 　　    B.1　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析    2 · + ·  =2 ·( - )+ ·( - ) =2 · -2 · + · - · =2×  -2×  +  -  =c2- a2- b2=0, ∴2c2=a2+b2, ∴cos C= =  = ≥ = ,当且仅当a=b时取等. ∵0<C<π,∴0<C≤ , 则tan C的最大值为 . 返回目录 6.★★(2026届陕西师大附中开学考,13)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2, 且(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为_________. 返回目录 解析　因为a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C, 所以(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C, 由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc, 又由余弦定理的推论,可得cos A= = ,因为A∈(0,π),所以A= , 由b2+c2-a2=bc且a=2,可得b2+c2-bc=4,所以4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c=2时,等号 成立,即bc≤4, 所以S△ABC= bcsin A≤ ×4× = , 所以△ABC面积的最大值为 . 返回目录 7.★★★(2026届吉林一中第一次质检,13)在△ABC中,若cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则sin C 的取值范围为_________. 解析　由cos 2A+cos 2B=2cos 2C,得1-2sin2A+1-2sin2B=2-4sin2C,由正弦定理得a2+b2=2c2, 则cos C= = ≥ = ,当且仅当a=b时取等. 又C∈(0,π),且余弦函数y=cos x在(0,π)上单调递减,则C∈ , 而正弦函数y=sin x在 上单调递增,因此sin C∈ , 所以sin C的取值范围为 . 返回目录 8.★★★(2026届江苏盐城七校联盟学情检测,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,已知△ABC恰好满足下面四个条件中的三个:①cos A= ,②cos B=- ,③a= ,④b=1. (1)△ABC满足的是哪三个条件?请列举出来,并说明理由; (2)求△ABC的面积. 返回目录 解析    (1)△ABC满足的条件是①③④, 若cos A= ,因为A∈(0,π),则A= , 若cos B=- ,因为B∈(0,π),则B= , 而A+B=π,则条件①和②不可能同时满足,故③和④都满足, 由a>b⇒A>B,∴B为锐角,应有cos B>0,从而条件②不能满足, 故△ABC满足的条件是①③④. (2)由(1)可得cos A= ,a= ,b=1,A= . 解法一　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 返回目录 ∴1+c2-c=3,即c2-c-2=0, 解得c=2或c=-1(舍去), ∴△ABC的面积为S= bcsin A= ×1×2× = . 解法二　由 = ,得 = ,∴sin B= , 由(1)知B为锐角,∴B= ,故C= . ∴△ABC的面积为S= ab= ×1× = . 返回目录 9.★★★(2026届浙江杭州四中月考,16)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c = . (1)证明:c=2b; (2)当角B最大时,求角A的大小. 返回目录 解析    (1)证明:已知c= , 则c-ccos A=b+acos C, 由正弦定理得sin C-sin Ccos A=sin B+sin Acos C, sin C=sin B+sin Acos C+sin Ccos A=sin B+sin(A+C)=2sin B, 由 = ,可得c=2b. (2)由余弦定理的推论得cos B= = = = + ≥2 = , 当且仅当 = ,即c= a=2b时等号成立,此时B取到最大值,为 , 返回目录 此时c>a>b,所以A∈ , 由 = 可得sin A= = sin B= ,所以A= . 返回目录 10.★★★★(2026届安徽江淮十校第二次联考,18)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,且bsin A=a+c-bcos A. (1)求角B的大小; (2)若b=4,求此时△ABC的内切圆半径的最大值; (3)求 的取值范围. 返回目录 解析    (1)由正弦定理得sin Bsin A=sin A+sin C-sin Bcos A =sin A+sin(A+B)-sin Bcos A =sin A+sin Acos B+cos Asin B-sin Bcos A =sin A+sin Acos B, 因为A∈(0,π),所以sin A>0. 两边同除以sin A,整理得sin B-cos B=1, 即 sin =1, 所以sin = , 返回目录 又B∈(0,π),则B- ∈ , 所以B- = ,即B= ,于是角B的大小为 . (2)由(1)知a2+c2=b2=16, 根据重要不等式 ≥ 可知a+c≤4 ,当且仅当a=c时取“=”. 又根据直角三角形内切圆半径公式知内切圆半径为 , 所以 ≤ =2 -2. 于是△ABC的内切圆半径的最大值为2 -2,此时△ABC是等腰直角三角形. 返回目录 (3)在Rt△ABC中, =sin A+cos A= sin , 因为A∈ ,所以A+ ∈ . 于是sin ∈ , 设t= ,所以t∈(1, ], 又b2=a2+c2=(a+c)2-2ac, 所以 = (t2-1), 因此 = (t2-1)-t= (t-1)2-1∈ . 所以 的取值范围是 . 返回目录 $