9.2 正弦定理与余弦定理的应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦正弦定理与余弦定理的应用，覆盖测量距离、高度、角度三大核心考点，对接高考评价体系，分析测量距离问题占40%、高度问题占35%的高频考点分布，归纳选择、填空、解答题等常考题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题情境+素养导向+解题建模”，如以海洋蓝洞距离测量为例，用数学眼光抽象三角形模型，数学思维推理正余弦定理应用，数学语言规范表达。通过“四步解题法”突破考点，帮助学生掌握技巧，教师可据此精准教学，助力高效备考。

正弦定理与余弦定理的应用 知识点一 测量距离问题 测量距离的基本类型及求解的方法 类型 两点都可从另一 点到达 两点中一点不 可到达 两点都不可到达 图形 ___________________________ _____________________________ __________________________ 方法 余弦定理 正弦定理 先用正弦定理,再用余弦 定理 课 前 预 习 2 知识点二 与测量有关的角的概念 术语 定义 图形说明 仰角与 俯角 在同一铅垂面内,视线与水平线所成的角中, __________________的角叫仰角,________ ___________的角叫俯角 _________________________________________ 方向角 从指定方向线（常从指北或指南方向线） 旋转到目标方向线所成的_______________ _____,叫作方向角.如图,方向角分别为北偏 东 ,__________ __________________________ 视线在水平线上方 视线在 水平线下方 小于或等于 的角 南偏东 课 前 预 习 3 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两个不可到达的点之间的距离无法求得.( ) × [解析] 两个不可到达的点之间的距离往往可以借助第三个和第四个 点来量出相应的角度和距离求得. 课 前 预 习 4 判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （2）小强站在地面上观测一座建在山顶上的建筑物,测得其视角 （建筑物的上、下两端）为 ,同时测得该建筑物顶部的仰角为 , 则小强观测山顶的仰角为 .( ) √ [解析] 如图所示,设小强观测山顶的仰角为 ,则 ,因此 . （3）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 .( ) × [解析] 俯角是铅垂面内视线在水平线下方时视线与水平线所成的角. 课 前 预 习 5 知识点三 测量高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 __________________________________ 测得及 的度数, 底部不 可达 点与, 共线 ___________________________________ 测得的长度及与 的 度数. 先由正弦定理求出 的长度, 再解直角三角形得 的长度 课 前 预 习 6 类型 简图 计算方法 底部不 可达 点与, 不共线 __________________________________ 测得的长度及， , 的度数. 在中由正弦定理求出 的长度,再解直角三角形得 的 长度 续表 课 前 预 习 7 探究点一 测量距离问题 例1 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为 “地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世 界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞 A. B. C. D. 的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点， ，测得 ， ， ， ，则， 两点间的距离为( ) √ 课 中 探 究 8 [解析] 在中，， ， ， 所以 ，由正弦定理得 ， 解得. 在中，， ， ，所以 ， 故. 在中，由余弦定理得，则，即，两点间的距离为 . 故选D. 课 中 探 究 9 变式 如图，观测站在目标的南偏西 方向，经 过处有一条南偏东 走向的公路，在 处观测到与 相距的处有一人正沿此公路向 处行走， 走到达处，此时测得， 之间的距离为 ，求， 两点间的距离． 解：在中，，， ， 由余弦定理得 ， 又 ，所以 ，所以 . 在中， ，则 ， 课 中 探 究 10 因为，所以由，得 ， 所以，两点间的距离为 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 三角形中与距离有关的问题的求解策略 （1）解决三角形中与距离有关的问题：若在一个三角形中,则直接利 用正、余弦定理求解;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择 适当的三角形,再利用正、余弦定理求解. （2）解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的 边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、 余弦定理来解决. 课 中 探 究 12 探究点二 测量高度问题 ［探索］ 测量某一物体的高度时,利用正弦定理求解需要哪些条件? 解：选取地面上与物体底部在同一水平面上的两点,测量选取的两点 间的距离,再分别测量在这两点处观测物体顶点的仰角. 课 中 探 究 13 例2 如图所示，,,三点在同一水平线上， 是 塔的中轴线，在,两处测得塔顶部 处的仰角分 别是 ， ，且 ， ，如果, 之 A. B. C. D. 间的距离是，测角仪 ，则塔高为 （精确到 ）( ) √ [解析] ， ，， ， ， .故选A. 课 中 探 究 14 变式 [2025·天津滨海新区高一期中]如图①，山西应县木塔建于公元 1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木结构楼阁式建筑，与 意大利的比萨斜塔、法国巴黎的埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.如 图②，某同学为了估算木塔的高度 ，他在塔的附近找到一座建筑 物，的高为，在地面上点处（，， 在同一水平面上 且三点共线）测得木塔顶部，建筑物 顶部的仰角分别为 和在处 测得木塔顶部的仰角为 ，则估计 木塔的高度为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 15 [解析] 在中，. 在 中, , 则 ，由正弦定理得 ，所以 . 易知 . 在 中， 故选D. 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 测量高度的两类问题： （1）测量底部可到达的物体的高度,此类问题可直接构造直角三角形 进行求解. （2）测量底部不可到达的物体的高度,由于底部不可到达，这类问题 不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理或余弦定理 计算出物体顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为 解直角三角形的问题. 课 中 探 究 17 探究点三 测量角度问题 例3 在某片海域上，一艘海上护卫舰位于点 处，一艘货 轮在点东偏北 方向的点 处行驶着，通过雷达监测， 发现在点北偏东 方向且距离点处24海里的点 处出 现一艘海盗船，此时海盗船与货轮相距 海里，且护卫 舰距离货轮比距离海盗船更近. （1）求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离； 课 中 探 究 18 解：由题意可知 ， 在中，由正弦定理可得 ， 则，所以 或 . 若 ，则 ，所以 ， 不符合题意，所以 ， 则 ， ， 所以 （海里）， 故发现海盗船时护卫舰与货轮的距离为 海里. 课 中 探 究 19 例3 在某片海域上，一艘海上护卫舰位于点 处，一艘 货轮在点东偏北 方向的点 处行驶着，通过雷达监 测，发现在点北偏东 方向且距离点 处24海里的点 处出现一艘海盗船，此时海盗船与货轮相距 海里， 且护卫舰距离货轮比距离海盗船更近. （2）为确保货轮的安全，护卫舰开始以 海里/时的速度追击海 盗船，与此同时，海盗船开始以20海里/时的速度沿着北偏西 方 向逃窜，求护卫舰能追捕到海盗船的最短时长以及最佳追击方向. 课 中 探 究 20 解：如图，设护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为 小时， 且追到时位于点 ，则 . 由余弦定理可得 ， ，解得或 （舍去）， 则海里， 海里， 因为 ，所以 ， 故护卫舰的最佳追击方向为正北方向，能追捕到海盗船的最短时长 为1.2小时. 课 中 探 究 21 变式 [2024·郑州高一期末] 在海岸 处发现北偏西 的方向上与处相距2海里的 处有一艘渔船甲， 在处北偏东 的方向上与处相距 海 里的处有一艘渔船乙以 海里/时的速度向渔 （1）刚发现渔船甲时，渔船乙距离渔船甲多远？在渔船甲的什么方向？ 船甲进行靠拢，此时渔船甲正以10海里/时的速度从处向北偏西 的方向航行. 课 中 探 究 22 解：由题意得,, ， 在中，由余弦定理可得 ， 由正弦定理得 ， 即，解得 ， 因为,所以， ，所以 ，所以刚发现渔船甲时，渔船乙距离渔船甲 海里， 在渔船甲的正东方向． 课 中 探 究 23 变式 [2024·郑州高一期末] 在海岸 处发现北 偏西 的方向上与处相距2海里的 处有一 艘渔船甲，在处北偏东 的方向上与 处相 距海里的处有一艘渔船乙以 海 里/时的速度向渔船甲进行靠拢，此时渔船甲 （2）渔船乙沿什么方向能最快追上渔船甲？ 正以10海里/时的速度从处向北偏西 的方向航行. 课 中 探 究 24 解：设经过 小时后，渔船乙追上渔船甲， 在中，,,， 由正弦定理得 ， 因为为锐角，所以 ， 所以渔船乙沿北偏西 的方向能最快追上渔船甲． 课 中 探 究 25 ［素养小结］ （1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上画出表示实际问题 的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解 三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. （2）方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清 楚是哪一个点的方向角. 课 中 探 究 26 1.[2025·江西南昌高一期中]两座灯塔和与海岸观察站 的距离相等， 灯塔在观察站北偏东 方向，灯塔在观察站南偏东 方向， 则灯塔在灯塔 的( ) A.北偏东 B.北偏西 C.南偏东 D.南偏西 [解析] 如图所示，由已知得 ， ，则 ，即灯 塔在灯塔的北偏西 .故选B. √ 课 堂 评 价 27 2.某船从处向北偏东 方向航行千米后到达 处，然后朝南 偏西 方向航行6千米到达处，则处与 处之间的距离为( ) A. 千米 B. 千米 C.3千米 D.6千米 [解析] 根据题意得 ，所以 千米.故选B. √ 课 堂 评 价 28 3.如图，已知某景区两座主峰的高度都是，某测量团队在 点 测得左侧主峰顶端点的仰角为 ，右侧主峰顶端 点的仰角为 ，且 ，则两座主峰顶端之间的距离 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 29 [解析] 由题意知 ， . 在 中，由余弦定理可得 .故选C. 课 堂 评 价 30 4.如图，两座相距的建筑物， 的高度 分别为，，， 在同一水平面上，则 从建筑物的顶端处看建筑物 的张角为 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 评 价 31 [解析] 依题意可得， ， 又 ，所以 ，所以从建筑物的顶端 处看建筑物的张角为 .故选B. 中，由余弦定理得 ， 课 堂 评 价 32 5.[2025·重庆八中高一月考] 据监测，某台风中心位于 某海滨城市（如图）的东偏南 方向相距 的海面处，并以的速度向西偏北 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 ，并以 的速度不断增大，则___小时后 该海滨城市开始受到台风侵袭. 8 课 堂 评 价 33 [解析] 设在 小时后该海滨城市开始受到台风侵袭，此 时台风中心位于点处，则, , ，且 ， 因为 , ， 所以，则 . 课 堂 评 价 34 在 中，由余弦定理可得 ， 即 ， 整理得，解得或 ， 故8小时后该海滨城市开始受到台风侵袭. 课 堂 评 价 解三角形应用题时,通常都要根据题意从实际问题中抽象出一个或几 个三角形,然后通过解三角形得到实际问题的解,求解的关键是将实际 问题转化为解三角形问题. 解题思路: 新 知 拓 延 36 1.解三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图. （2）建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在 有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型. （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模 型的解. （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题 的解. 备 课 素 材 37 例1 [2024·内蒙古赤峰高一期中] 某海域的东西 方向上分别有, 两个观测点（如图），它们相 距海里.现有一艘轮船在 点发出求 救信号，经探测得知点位于点北偏东 的 （1）求点到点的距离 ； 方向上，点北偏西 的方向上，这时，位于点南偏西 且与 点相距海里的 点有一救援船，其航行速度为30海里/时. 备 课 素 材 38 解：由题意知 海里， , ， 则 . 在中，由正弦定理得 ， 则 （海里）. 备 课 素 材 39 例1 [2024·内蒙古赤峰高一期中] 某海域的东西 方向上分别有, 两个观测点（如图），它们相 距海里.现有一艘轮船在 点发出求救 信号，经探测得知点位于点北偏东 的方 （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达 点需 要的时间. 向上，点北偏西 的方向上，这时，位于点南偏西 且与 点相距海里的 点有一救援船，其航行速度为30海里/时. 备 课 素 材 40 ， 则海里，故救援船到达点需要 （小时）. ，海里， 海里， 备 课 素 材 41 2.（1）测量距离问题,无论题型如何变化,即两点的情况如何变化,其 实质都是要求这两点间的距离,无非就是两点所在三角形及其构成元 素的已知情况不同而已.恰当地画出（找出）适合解决问题的三角形 是解题的基础,将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和 角是解题的关键. （2）求距离问题的两个策略 ①选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他 量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一个三角形中求解. ②确定用正弦定理还是余弦定理求解,如果都可以用,就选择更便于计 算的定理. 备 课 素 材 42 例2 如图，某城市有一条公路从正西方沿 通过市 中心后转向东北方，沿 铺设.现要修一条铁路， 在上设一站，在上设一站，铁路在 部分 解：设，，因为沿正西方向， 沿东北方向，所 以 ，则， 当且仅当 时等号成立. 设 ，则 ，又点到直线 的距离为10， 视为直线段，要求市中心与铁路的距离为，问把, 分别 设在距多远的地方才能使最小？并求出 的最小值. 备 课 素 材 43 所以， ，则 ， 所以 ， 当且仅当和与的距离均为 时， 最小，最小值为 . 备 课 素 材 3.在处理有关高度的问题时,要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所 成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）的概念. 例3 [2025·江苏镇江高一期末] 我们把在某一点 观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值 称 为“仰角差”.某博物馆一墙壁的截面如图所示，墙 壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为 ， 观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为 ， （1）求壁画最高点与点 的距离. 在点处观察点，仰角为 ，然后在面对壁画前进处的点 观 察点 ，其仰角的正切值为7. 备 课 素 材 45 解：在中， ， 所以 ， 在中，，则 . 因为 ，所以，解得 ， 所以壁画最高点与点的距离为 . 备 课 素 材 46 例3 [2025·江苏镇江高一期末] 我们把在某一点 观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值 称 为“仰角差”.某博物馆一墙壁的截面如图所示，墙 壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为 ， 观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为 ， （2）若在， 两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等. ①求壁画最低点与点 的距离； 在点处观察点，仰角为 ，然后在面对壁画前进处的点 观 察点 ，其仰角的正切值为7. 备 课 素 材 47 解： 设，由题知 . 在中， ，则 . 在中， . 在中，由正弦定理得 ，即 ，则 . 在中， . 备 课 素 材 48 在中，由正弦定理得 ，即 ，解得，即， 所以壁画最低点与点 的距离为 . 备 课 素 材 例3 [2025·江苏镇江高一期末] 我们把在某一点观察 物体最高点和最低点所形成仰角的差值 称为“仰角 差”.某博物馆一墙壁的截面如图所示，墙壁上有一幅 壁画，最高点为，最低点为，观察点 所在的水 （2）若在， 两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等. ②在观察水平线上，应在距离点 多远处观察壁画，才能使得仰 角差最大？ 平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为 ，然 后在面对壁画前进处的点观察点 ，其仰角的正切值为7. 备 课 素 材 50 解： 设距离点 时，仰角差最大，此时位于点 处，设 , . 在中， ， 在中， ， 则 ，当且仅当，即 时等号成立， 所以当在距离点 处观察壁画时，才能使得仰角差最大. 备 课 素 材 51 例4 [2025·江西赣州高一期中] 某台风登陆内地，最大风力达到12级. 路边一棵参天大树在树干某点处被台风折断且形成角，树尖 着 地处与树根 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设 （，， 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计） （1）若 ，求折断前树的高度. 备 课 素 材 52 解：在中，， ， 所以 . 在中，由正弦定理得 ， 又 , 所以 ， 所以折断前树的高度为 米. 备 课 素 材 53 例4 [2025·江西赣州高一期中] 某台 风登陆内地，最大风力达到12级.路边 一棵参天大树在树干某点 处被台风 （2）一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此树下通过？说明理由. 折断且形成角，树尖着地处与树根 相距10米，树根与树尖着地 处恰好在路的两侧，设（，， 三点所在平面与地面垂 直，树干粗度忽略不计） 备 课 素 材 54 解：如图，设的内接矩形 的边 在上，且 ， 设，因为 ， ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 备 课 素 材 55 则 ， 因为，所以 ， 所以，所以 ， 因为 ，所以救援车不能从树下通过. 备 课 素 材 4.测量角度问题：测量角度就是在三角形内利用正弦定理或余弦定理 求角的正弦值或余弦值,再根据需要求出所求的角. 例5 如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出 房间，已知衣柜长，宽，高 ， 房门的宽为，高为 ．试问此衣柜的 倾斜度要在多少度以下（，，， 在同一 铅垂面内），才能顺利通过房门？（参考数据： ， ， .） 备 课 素 材 57 解：根据题意，要顺利通过房门，只需 ， 故，则 ， 因为，所以 ， 又，所以 . 故衣柜的倾斜度要在 以下，才能顺利通过房门. 又 ， 备 课 素 材 58 1.学校体育馆的“人字形”屋架为等腰三角形,如 图所示,测得的长为, ,则 的长 为( ) A. B. C. D. [解析] 由已知得, ,所以由余弦定理得,所以 . √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 2.如图,两座灯塔和到海岸观察站 的距离相等,灯 塔在观察站南偏西 的方向上,灯塔 在观察站 南偏东 的方向上,则灯塔在灯塔 ( ) A.北偏东 的方向上 B.北偏西 的方向上 C.南偏东 的方向上 D.南偏西 的方向上 [解析] 由题意可知 .因为 ,所以 ,所以 ,因此灯塔在灯塔南偏西 的方 向上. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 3.[2025·重庆沙坪坝区高一期中]某中学高一数学兴趣 小组计划测量某钟塔的高度，选取与塔底 在同一水 平面内的两个基测点与，测得 ， ，米，在点处测得钟塔顶 的 仰角 ，则该钟塔的高度 ( ) A. 米 B.40米 C. 米 D.60米 √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 [解析] 在中， ， ， 则 ，因为 ，所以 （米）. ，因为 ，所以 （米）.故选A. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 4.如图，在海面上有两个观测点，相距 ， 点在的正南方向，某天观察到某船在点 西 南方向的处，距离点也为 ，5分钟后该船 行驶至处，此时测得 ， ，则该船行驶的距离 ( ) A. B. C. D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 63 [解析] 由题意得 ，则 ， 又 ，所以，，， 四点共圆， 所以 . 在 中，由正弦定理得 ， 所以 .故选A. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 5.如图,为了测量河对岸, 两点间的距离,在河的 一边测得, , , ,则, 两点间的距离 是( ) A. B. C. D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 65 [解析] 在 中, , , 由正弦定理可得. 在 中,易知 ,由正弦定理可得. 在 中,由余弦定理得 ,可得，故,两点间的距离为 .故选C. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 66 6.如图所示,在限速为的公路 旁有一 测速站,已知点距测速区间起点 的距离为 ,距测速区间终点的距离为 ,且 ,现测得某辆汽车从点行驶到点 所用的时间为 ,则此车的速度介于( ) A.60至 B.70至 C.80至 D.90至 √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 67 [解析] 根据题意可知, , 所以此车的速度为 , 而 ,故选B. ,则 , 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 68 7.鼎湖峰矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区， 状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传 说黄帝炼丹鼎坠积水成湖，白居易曾以诗赋之： “黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎 湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动， A.米 B. 米 C.米 D. 米 有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此他们设计了测量 方案．如图，在山脚处测得山顶的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走了90米到达处（，，， 在同一个平面内），在 处测得山顶的仰角为 ，则鼎湖峰的高 为( ) √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 69 [解析] 由题可知，在中， , , , 由正弦定理得 ，则 （米）， 在 中， （米）.故选B. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 70 8.（多选题）[2024·安徽安庆一中高一月考]在学习了三角形的知识后， 为了锻炼实践能力，某同学策划了一次实地测量活动，他位于河东岸， 在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点 的南 偏西 的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，， ，使 点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点 的正东方 向上，测得， ， ， ，经过计算得到如下数据，其中正确的是( ) A. B.的面积为 C. D.点在点的北偏西 的方向上 √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 71 [解析] 对于A，因为 ，点位于点 的南偏西 的方向上，所以 ， ,，所以 ，故A正确； 对于B， 的面积为 ，故B错误； ，所以 ， ， 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 72 对于C，在 中，由正弦定理得 ， 则 ，故C正确； 对于D，过点作于点 ，易知 ， 所以 ，故D错误.故选 ． 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.如图，为测得河对岸塔 的高，可在河岸上选取与 塔底在同一水平面的两个测量点与 ，现测得 , ， ， ，则塔 的高度为_ _________. [解析] 在中，由正弦定理得 ， 又，所以，在直角三角形 中， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 74 10.在某港口附近的海面有一台风，据监测，当前台风 中心位于港口（如图）东偏南 方向300 千米的海面 处，并以20千米/时的速度沿直线向北偏 西 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前 半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大，问几个小时后该港 口开始受到台风的侵袭？受到台风侵袭的时间有多长？ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 75 解：设经过小时后台风中心移动到点 时，台风边沿 恰好在港口，连接 . 由题意得,, ., , , . 由余弦定理得 , 即 ,整理得 ,解得, ,则 .故12小时后该港口开始受 到台风侵袭，受到台风侵袭的时间为12小时. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 76 11.某数学兴趣小组成员为测量， 两地（视为质点）之间的距离， 在的正北方向和西偏北 方向上分别选取点，，已知， 两 地相距千米，，两地相距千米，且在 的西南方向 上，在的西南方向上，则， 两地之间的距离是( ) A.20千米 B.千米 C.千米 D. 千米 √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 77 [解析] 如图，在中， , ，则 ， 由正弦定理得，解得千米. 在 中， ，设 千米， 由余弦定理得 ，即 ，解得 （负值舍去）， 故， 两地之间的距离是20千米. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 78 12.如图所示，位于处的信息中心获悉，在其正东方向相距 海 里的 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告 知在其南偏西 相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东 的方 向沿直线前往处救援，则_______海里， _ ___. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 79 [解析] 在中， 海里， 海里， ， 由余弦定理得 由正弦定理 ，得 . ， 可得 海里. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 80 知 为锐角，所以 ， 所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.[2024·郑州外国语学校高一月考] 郑州二七罢工纪念塔位于郑州 市中心二七广场，是郑州城市的标志性建筑.如图，小米同学为了测 量二七塔的塔高，在塔底所在的水平面内取点 ，测得塔顶的仰 角为 ，前进130米后到达点，测得塔顶的仰角为 ，再前进 米后到达点，测得塔顶的仰角为 ，则塔高 ____米. （参考数据： ，最终结果保留整数，即结果精确到1米） 63 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 82 [解析] 因为 , 所以 米， . 在 中，由正弦定理得 ，则 ， 可得，因为 为锐角，所以. 在 中， （米）. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 83 14.[2025·吉林松原高一期中] 如图，， 是海上相 距海里的两个观测塔，位于 的正南 方向.工作人员在观测塔处发现其南偏东 方向 上的处有一艘轮船发出求救信号，同时，在 观测 （1）求处到 观测塔的距离. 塔处也发现其北偏东 方向上的处发出求救信号，此时位于 观 测塔南偏西 方向且与相距海里的 处有一艘救援船，其航 行的最大速度为30海里/时. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 84 解：由题得，在中， ， ， ，由正弦定理得 ，即 ， 所以海里，即处到观测塔的距离为 海里. 又 ， 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 85 14.[2025·吉林松原高一期中] 如图，， 是海上相距 海里的两个观测塔，位于 的正南方向. 工作人员在观测塔处发现其南偏东 方向上的 处 （2）处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往 处救援？ 至少航行多长时间才能到达 处？ 有一艘轮船发出求救信号，同时，在观测塔处也发现其北偏东 方向上的处发出求救信号，此时位于观测塔南偏西 方向且与 相距海里的 处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 86 解：在中，， ， , 由余弦定理得 海里，航行时间至少为 （小时）. 因为 ，且 ， 所以 ， ，所以 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 87 所以在的北偏东 方向上. 故处的救援船应该朝北偏东 的方向沿直线前往 处救援，至少航行2小时才能到达 处. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.如图,,,三地有直道相通,其中, 为步行 道,为机动车道,已知在的正北方向处, 在的正东方向处,某校开展步行活动,从 地出发,经地到达 地,中途不休息. （1）媒体转播车从地出发,沿行至点处,此时 ,求 ; 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 89 解：在中, , 所以 ,则 . 在中,由正弦定理得 , 则 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 90 15.如图,,,三地有直道相通,其中, 为步 行道,为机动车道,已知在的正北方向 处,在的正东方向 处,某校开展步行活 动,从地出发,经地到达 地,中途不休息. （2）媒体记者随队步行,媒体转播车从地沿前往 地,两者同时出 发,步行的速度为,为配合转播,转播车的速度为 ,记者 和转播车通过专用对讲机保持联系,转播车开到 地后原地等待,直到 记者到达地,若对讲机的有效通话距离不超过 ,求他们通过对讲 机能保持联系的总时长. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 91 解：设当步行时间为时,记者位于 处,转播车位 于处.当时,在上,, , 在 中，由余弦定理可得 , 由得,所以 ; 当时,在点处,在上,且 ,则 , 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 92 由得,解得 . 故他们通过对讲机能保持联系的总时长为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $