精品解析：湖北襄阳市致远中学教联体2025-2026学年高一下学期5月阶段性测试数学试题

高一年级5月份阶段性测试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑.非选择题用0.5 mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答.答在试题卷上无效. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则||=（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 如图，在矩形中，，点P为的中点，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 16 4. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，已知sin2A+cos2BsinAsinC＝cos2C，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在正四面体中，是的中点，是的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 设α，β是两个不同的平面，则的充要条件是（ ） A. 存在无数条直线与α，β都平行 B. 存在无数个平面与α，β都垂直 C. 对任意的直线，都存在直线，使得 D. 对任意的直线，都存在直线，使得 8. 已知的内角的对边分别为，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在三棱台中，底面，则（ ） A. 三棱台的体积为 B. 平面 C. 直线与直线的夹角的余弦值为 D. 存在两个以该三棱台的顶点为顶点的三棱锥，且它们的外接球的表面积都为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面内两向量，，若，则的值为_____________． 13. 已知正方体的棱长为，一蚂蚁沿着正方体的表面从点爬到点的最短距离是__________． 14. 设锐角三角形的内角 ，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限. （1）求； （2）若，在复平面上的对应点分别为，，求. 16. 已知向量，． （1）若与的夹角为，求实数m值及的模； （2）若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 17. 如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为，高为，圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面. （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积； （3）现准备剪一张彩色塑料纸装饰，使其刚好贴合圆锥内壁表面，请画出剪好后的塑料纸展开图，在图中标出所有的长度及角度. 18. 为打造美好生态校园，缓解学生的学习压力，培养学生的责任和担当意识，某校北校区拟开设饲养动物的课程.校园内有一块空地（如图所示），其中，.学校拟在空地中间规划动物休息区域，活动区域，且，现需要在的周围安装防护网. （1）当时，求防护网的总长度； （2）为了节约成本投入，要求动物休息区域尽可能小，问如何规划，能让的面积最小？最小面积是多少？ 19. 在三棱锥中，，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH. （1）如图1，证明：； （2）如图2，记，直线AP与平面ABC的夹角为，，求证：，并比较θ和的大小； （3）如图3，已知AB=10，AP=8，BC=12，M为平面PBC内一点，且AM=8，求异面直线AM与直线BC夹角的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级5月份阶段性测试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑.非选择题用0.5 mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答.答在试题卷上无效. 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则||=（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程的性质，结合共轭复数、复数模的性质进行求解即可. 【详解】因为方程x2-2x+2=0是实系数方程，且， 所以该方程有两个互为共轭复数的虚数根， 即，即. 故选：B 2. 如图，在矩形中，，点P为的中点，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性加减法法则运算与数量积公式运算即可求解. 【详解】 \ 故选：B. 3. 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则，所以， 由斜二测画法可知原平面图形如下： 将原平面图形上底，下底，高代入公式， 可得四边形ABCD的面积． 4. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆锥母线长为，则，解得，则高， 因此体积，故B正确． 5. 在△ABC中，已知sin2A+cos2BsinAsinC＝cos2C，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把余弦转化为正弦，再利用正弦定理和余弦定理求解. 【详解】由已知得， 即， 由正弦定理得， 所以. 故选：B. 6. 在正四面体中，是的中点，是的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，，或其补角即为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理求出的长，再在中，利用余弦定理的推论求出即可. 【详解】 取的中点，连接，，是的中点， ，， 或其补角即为异面直线与所成的角， 设正四面体的棱长为， 是的中点，是的中点，和均为正三角形， ，，且，， 在中，， 在中，， 异面直线与夹角的余弦值为. 故选：A. 7. 设α，β是两个不同的平面，则的充要条件是（ ） A. 存在无数条直线与α，β都平行 B. 存在无数个平面与α，β都垂直 C. 对任意的直线，都存在直线，使得 D. 对任意的直线，都存在直线，使得 【答案】C 【解析】 【分析】借助于长方体模型逐一判断各选项即可. 【详解】   如上图，作长方体，取平面，平面分别为平面. 对于A，因，且，且，则， 显然可作无数条与平行且不在平面的直线，即存在无数条直线与都平行，但不平行，故A错误； 对于B，因平面与平面均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面， 即存在无数个平面与都垂直，但不平行，故B错误； 对于D，由上图，显然，且，在平面内作一条与垂直相交的直线，则， 从而对平面内的任意直线，都有，即对任意的直线，都存在直线．使得，但不平行，故D错误；    对于C，假设为两相交平面，如上图取平面，平面分别为平面， 则，对于任意的直线，（不妨设与相交）都存在直线，使得，因， 则有，又因，则有，这与与相交矛盾，故假设不成立，故有，充分性成立； 反过来，时，对于任意的直线，都可以过直线和平面内一点作一个平面，使， 则必有，故必要性成立，故C正确. 8. 已知的内角的对边分别为，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系及辅助角公式得到，即，结合正余弦定理得到，与联立解得，，结合余弦定理求解即可. 【详解】由，得 则，所以. 与联立，解得，. 所以. 又，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得，再根据复数的特征逐一判断各选项. 【详解】因为， 对于A，的虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，z在复平面内对应的点位于第一象限，故D错误； 故选：BC． 10. 如图，在中，，若点为的中点，点在上，且，线段与相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据余弦定理解出三角形，再根据向量共线，向量数量积及利用向量数量积求夹角余弦值的计算方法，可逐个判断选项正误． 【详解】对于A：因为， 由余弦定理， 所以，故A正确； 对于B：因为点在BC上，且， 所以，故B正确； 对于C：因为为AB的中点，， 所以， 则 ，故C不正确； 对于D：由已知，，又，所以， 又， 则， 所以，故D不正确. 11. 在三棱台中，底面，则（ ） A. 三棱台的体积为 B. 平面 C. 直线与直线的夹角的余弦值为 D. 存在两个以该三棱台的顶点为顶点的三棱锥，且它们的外接球的表面积都为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据棱台的体积判断A，应用线面垂直的判定定理判定B，应用异面直线余弦计算判定C，应用外接球表面积判断D. 【详解】如图，将棱延长交于一点，因为，所以点分别为三棱锥的棱的中点， 所以，三棱台的体积为，A正确； 因为底面，所以，又，且，所以平面，所以， 因为，点为棱的中点，所以，因为，平面，所以平面，B正确； 取的中点，则，因为底面平面，所以，则侧面． 连接，则，所以为直线与直线所成的角， 在中，易求得，所以，C错误； 在三棱锥中，由上可知，，取的中点，则， 所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的表面积为． 在三棱锥中，连接，则平面，知为外接圆的圆心， 由球的性质可知，三棱锥的外接球的球心在直线上， 设外接球的半径为，则，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，D正确， 故选:ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面内两向量，，若，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以. 故答案为： 13. 已知正方体的棱长为，一蚂蚁沿着正方体的表面从点爬到点的最短距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】做出正方体的侧面展开图，在平面图形内计算最短距离. 【详解】 如图所示，将正方体的侧面与展开， 则最短距离为， 故答案为：. 14. 设锐角三角形的内角 ，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正余弦定理的边角互化化简，结合两角和的正弦公式可得到，推出，继而化简，可得，结合题意确定A的范围，结合二次函数知识即可求得答案. 【详解】由,得, 由余弦定理得, 由正弦定理得,即, 又，所以, 即,所以， 因为为的内角,所以(舍去)或,所以. 由正弦定理得 因为, 又，所以 , 由于得，由，得，则，所以， 当时，取最大值， 当时，等于， 当时，等于， 而， 所以取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题综合考查了解三角形中正余弦定理的应该以及三角恒等变换的知识，综合性强，计算量大，解答的关键是利用正余弦定理的边角互化进行化简，结合三角恒等变换得到，再结合题意以及二次函数知识求得答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限. （1）求； （2）若，在复平面上的对应点分别为，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则可得，，，，从而可求出，进而可求出； （2）先求出，，然后可求出，的坐标，从而可求出，再利用向量的夹角公式可求得结果. 【小问1详解】 设， 因为，所以， 因为，的虚部为2， 所以，得， 因为在复平面上所对应的点在第一象限， 所以，， 所以解得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，， 因为， 所以，， 所以. 16. 已知向量，． （1）若与的夹角为，求实数m值及的模； （2）若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积的坐标公式来求解的值； （2）先求出的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于0且两向量不共线来确定的取值范围. 【小问1详解】 因为，，所以，， 所以，解得，． 【小问2详解】 由条件可得且与不平行， 当时，， 可得，解得， 若，则，则， 所以的取值范围是 17. 如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为，高为，圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面. （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积； （3）现准备剪一张彩色塑料纸装饰，使其刚好贴合圆锥内壁表面，请画出剪好后的塑料纸展开图，在图中标出所有的长度及角度. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）首先求出正三棱柱的体积，然后求出圆锥的体积，两者相减即是该几何体的体积. （2）首先求出正三棱柱的表面积，然后求出圆锥的侧面积和底面积，通过相加减即可得到该几何体的表面积. （3）根据圆锥的结构特征和扇形的相关公式即可求出. 【小问1详解】 正三棱柱的底面积为， 所以正三棱柱的体积为， 设正三角形的内切圆半径为，所以，所以， 所以圆锥的体积为， 所以该几何体的体积为. 【小问2详解】 因为正三棱柱的表面积为， 圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为， 圆锥的底面圆面积为，所以该几何体的表面积为. 【小问3详解】 圆锥的侧面展开图是扇形，其半径即圆锥的母线长为， 扇形的弧长即圆锥的底面周长为， 故扇形的圆心角为，所以塑料纸展开图如图. 18. 为打造美好生态校园，缓解学生的学习压力，培养学生的责任和担当意识，某校北校区拟开设饲养动物的课程.校园内有一块空地（如图所示），其中，.学校拟在空地中间规划动物休息区域，活动区域，且，现需要在的周围安装防护网. （1）当时，求防护网的总长度； （2）为了节约成本投入，要求动物休息区域尽可能小，问如何规划，能让的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用勾股定理求得，从而利用等边三角形求出边长； （2）设，利用正弦定理求出，利用面积公式及三角恒等变换求出面积的三角函数式，利用正弦函数的最值求解即可. 【小问1详解】 在中，，，所以， 在中，，， 由余弦定理得，， 所以，即，所以，又，即， 所以为正三角形，所以的周长为，即防护网的总长度为. 【小问2详解】 设，则，，， 又在中，由，得， 又在中，由，得， 所以， 所以当且仅当，即时，的面积取得最小值. 19. 在三棱锥中，，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH. （1）如图1，证明：； （2）如图2，记，直线AP与平面ABC的夹角为，，求证：，并比较θ和的大小； （3）如图3，已知AB=10，AP=8，BC=12，M为平面PBC内一点，且AM=8，求异面直线AM与直线BC夹角的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，利用线面垂直的判定和性质推理即得结论. （2）过点向作垂线，垂足为点，利用线面垂直的性质，结合直角三角形边角关系及余弦函数性质推理即得结论. （3）利用（1）的信息，结合等体积法求出点到平面的距离，进而求出线面角，再利用（2）的结论求出最小值. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 由，为的中点，得， 由，为的中点，得， 而，平面，则平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 因为点P在平面ABC内的投影为H，所以平面， 平面，则，由（1）知， 又，平面，于是平面， 而平面，因此，又，为锐角， 过点向作垂线，垂足为点，连接，则， 由点P在平面ABC内的投影为H，，得， 由平面，平面，得， 而，，平面，则平面， 由平面，则，于是，显然， 因此，当时，重合，等式成立， 所以，由，得， 又函数在上单调递减，所以； 【小问3详解】 设点到平面的距离为，直线与直线的夹角为， 直线与平面的夹角为， 由（1）知， ，， ， 设到平面的距离为，所以， 由，得，解得，又， 所以，即， 由（2）知，直线AM与直线BC夹角， 所以异面直线AM与直线BC夹角的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $