6.3　等比数列课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“等比数列”核心考点，依据高考评价体系梳理了定义、通项公式、前n项和公式及性质四大考查维度，通过近五年全国卷真题分析明确“前n项和计算”占35%、“性质应用”占40%的高频考点分布，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+方法归纳+素养提升”策略，如2023全国甲理第5题用基本量法结合方程思想求S4，2022全国乙理第8题用等比数列性质简化运算，培养学生数学思维和运算能力。设“易错点警示”和“解题模板”，帮助学生掌握技巧，教师可据此精准教学，实现高效备考。

6.3　等比数列 返回目录 五年高考 考点1　等比数列及其前n项和 1.★★(2023全国甲理,5,5分)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5= 5S3-4,则S4= ( ) A. 　　    B. 　　    C.15　　    D.40     C     解析　设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意可知q≠1.∵S5=5S3-4, ∴ =5· -4, ∴q4-5q2+4=0,解得q2=4或q2=1, ∴q=2,∴S4= = =15,故选C. 返回目录 2.★★★(2022全国乙,文10,理8,5分)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= ( ) A.14　　    B.12　　    C.6　　    D.3     D     解析　解法一　设{an}的公比为q, 则   得 = =q(1-q)= ,4q2-4q+1=0,即(2q-1)2=0,∴q= ,代入①得a1=96, 故a6=a1q5=96× =3,故选D. 解法二　设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.由a2-a5=42,得q≠1. 返回目录 由题意得   得 =4,即4q2-4q+1=0, ∴(2q-1)2=0,得q= ,代入①得a1=96, ∴a6=a1q5=96× =3,故选D. 返回目录 3.★★★(多选)(2025全国二卷,9,6分)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q> 0.若S3=7,a3=1,则 ( ) A.q= 　　    B.a5= 　　    C.S5=8　　    D.an+Sn=8     AD     解析　由  解得 或 (舍去), 则a5=a1q4=4× = , 返回目录 S5= = =8× = , an+Sn=4× + =8× +8-8× =8. 故选AD. 返回目录 4.★★(2023全国甲文,13,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为 _______. 　-      解析　设等比数列{an}的公比为q,易知q≠1, ∵8S6=7S3,∴8× =7× , ∴8(1-q6)=7(1-q3),即8(1+q3)=7, 解得q=- . 返回目录 5.★★★(2024全国甲文,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知2Sn=3an+1-3. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{Sn}的前n项和. 返回目录 解析    (1)设等比数列{an}的公比为q, 由条件得  即  两式相减得2a1q=3a1q(q-1). 显然a1q≠0,解得q= ,a1=1, 故{an}的通项公式为an= . (2)由等比数列的前n项和公式得 返回目录 Sn= =  - . {Sn}的通项公式是一个等比数列减去一个常数的形式, 所以S1+S2+…+Sn = · -  = × × -  =  - - . 返回目录 6.★★★(2020新高考Ⅱ,18,12分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8. (1)求{an}的通项公式; (2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1. 解析    (1)已知数列{an}是公比大于1的等比数列,设公比为q(q>1),依题意有  解得a1=2,q=2,或a1=32,q= (舍)【注意:不要忽略公比大于1这一条件】, 所以an=2n,所以数列{an}的通项公式为an=2n. (5分) (2)a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1 =23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1 = = -(-1)n . (12分) 返回目录 三年模拟 1.★★(2026届湖北荆州起点考,4)已知等比数列{an}中,a1=2,a3=8,则a4= ( ) A.16　　    B.16或-16 C.32　　    D.32或-32     B     解析　设等比数列的公比为q,则q2= =4,故q=±2,故a4=a3q=±16,故选B. 返回目录 2.★★★(2026届广东深圳宝安中学、中山一中联考,5)已知数列{an}为等比数列,公比 为2,且a1+a2=3.若ak+ak+1+ak+2+…+ak+10=216-25,则正整数k的值是 ( ) A.4　　    B.5　　    C.6　　    D.7     C     解析　由题可得a1+2a1=3,解得a1=1,故an=2n-1, 因为ak+ak+1+ak+2+…+ak+10=ak(1+2+22+…+210)=2k-1· =2k+10-2k-1=216-25,解得k=6.故选C. 返回目录 3.★★★(2025届重庆一中三模,5)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,且Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则公比q= ( ) A.-2或1　　    B.2或-1　　    C.1　　    D.-2     D     解析　因为Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列, 所以Sn-Sn+1=Sn+2-Sn. 所以-an+1=an+1+an+2, 则an+2=-an+1-an+1=-2an+1. 所以等比数列{an}的公比q= =-2. 故选D. 返回目录 4.★★★(2026届湖北部分学校联考,6)如图,等边三角形ABC的边长为4,取△ABC各边 的中点D,E,F,作第2个等边三角形DEF,然后取△DEF各边的中点G,H,I,作第3个等边三 角形GHI,依此方法一直继续下去,记△ABC为第1个三角形,△DEF为第2个三角形, △GHI为第3个三角形,……,依此类推,则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为  ( ) A. 　　     B.      D     C. 　　    D.  返回目录 解析　设△ABC的面积为a1,后续各三角形的面积依次为a2,a3,…,an,则a1=4 ,an+1= an, 即{an}是首项为4 ,公比为 的等比数列,则an=4 × ,则a5=4 × = ,a10= 4 × = ,故a5+a10= + = . 返回目录 5.★★★★(2026届湖南名校联盟联考,8)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3an-2.若 λan ≥3lo an+4对任意的正整数n恒成立,则实数λ的最小值为( ) A.3　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     返回目录 解析　因为Sn=3an-2,所以当n=1时,a1=3a1-2⇒a1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3an-2)-(3an-1-2)=3an-3an-1⇒an= an-1, 所以数列{an}是以1为首项, 为公比的等比数列,所以an= , 若 λan≥3lo an+4对任意的正整数n恒成立, 则λ≥(3n+1) 对任意的正整数n恒成立,所以λ≥ , 令bn=(3n+1) , 返回目录 则bn+1-bn=(3n+4) -(3n+1)· = · , 所以当n≥2时,bn+1-bn= · <0,所以bn+1<bn(n≥2), 所以对任意正整数n≥2,bn≤b2= , 又b1=4× = < ,所以λ≥ . 所以实数λ的最小值为 .故选B. 返回目录 6.★★(多选)(2026届广东江门调研,9)已知等比数列{an}的首项为4,公比为q,前n项和为 Sn.若 = ,则 ( ) A.q=- 　　     B.S3=7 C.an+Sn=8　　    D.log2an=n-3     BC     返回目录 解析　由题意得q≠1, 则 = = =1+q5= ,解得q= . 则an=a1qn-1=4× =23-n,Sn= =8-23-n,则S3=8-23-3=7,an+Sn=23-n+8-23-n=8,log2an=log223-n =3-n.故选BC. 返回目录 7.★★★(多选)(2026届山西大学附中模块诊断,10)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn 是数列{an}的前n项和,若a1+a4=18,a2+a3=12,则下列说法正确的是 ( ) A.q=2 B.数列{lg an}是公差为2的等差数列 C.S8=254 D.数列{Sn+2}是等比数列     AD     返回目录 解析　由题意得  整理得2q2-5q+2=0, 解得 或  又公比q为整数,故  an=a1·qn-1=2n,故A正确; lg an=lg 2n=nlg 2,故数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列,故B错误; Sn= =2n+1-2,故S8=29-2=510,故C错误; Sn+2=2n+1,故{Sn+2}为等比数列,故D正确.故选AD. 返回目录 8.★★★(多选)(2025届河南平许济洛三模,10)已知正方形ABCD的边长为2,取正方形 ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作 第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去.若把正方形ABCD的面积记为数列的首项a1, 后继各正方形的面积依次为a2,a3,…,an,…,则下列结论正确的为 ( ) A.a10=  B.前10个正方形的面积之和为  C.数列{log2an}的前100项之和为-4 850 D.若这个作图过程可以一直继续下去,则所有正方形的面积之和将趋近于8     BD     返回目录 解析　由题设,第n个正方形的边长为 ,则其对角线长为 ,如图,   所以 = ,即an+1= ,又a1=4, 所以{an}是首项为4,公比为 的等比数列,故an=4· =23-n, 所以a10=2-7= ,A错误; 返回目录 S10= =8× = ,B正确; 由log2an=3-n,知数列{log2an}的前100项之和为300- =-4 750,C错误; 前n个正方形的面积之和为 =8- ,作图过程一直继续下去,即n→+∞时,所有正 方形的面积之和趋近于8,D正确. 故选BD. 返回目录 9.★★(2026届河北沧州四校期中联考,13)记Sn为等比数列{an}的前n项和,且{an}的公比 为2,若3a3+4=a5,则 =_________. 解析　由3a3+4=a5可得3(a1×22)+4=a1×24,解得a1=1,所以a3=1×23-1=4,S6= =63,故  = . 返回目录 10.★★(2026届江苏盐城期中,13)已知{an}为等比数列,其前n项和为Sn,若an+1=2Sn+2,则a4 =__________.     54     解析　由an+1=2Sn+2得an=2Sn-1+2(n≥2),则an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an,即an+1=3an,则等比数列的公 比为3,在an+1=2Sn+2中,令n=1,得a2=2a1+2=3a1,解得a1=2,则a4=a1q3=2×33=54. 返回目录 11.★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,12)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a3= ,S3 = ,则公比q=____________.     1或-      解析　由S3= ,可得a1+a2+a3= ,所以 + +a3= ,又a3= ,所以 + + = , 所以2q2-q-1=0,解得q=1或q=- . 返回目录 12.★★(2026届湖南益阳教学质量检测,13)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下 问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”意思是: 一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶 层共有_________盏灯.     3     解析　从上往下,下一层灯数为上一层的2倍,即各层灯数是以2为公比的等比数列. 设塔的顶层灯数为a1,S7=381, 则S7= =381, 化简得127a1=381⇒a1=3. 返回目录 13.★★★(2026届重庆巴蜀中学开学考,13)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S9+8S3=9S6, 则{an}的公比为_________.     2     解析　设数列{an}的公比为q, 若q=1,则S9+8S3=9a1+8×3a1=33a1,9S6=9×6a1=54a1, 因为a1≠0,所以S9+8S3≠9S6,故q≠1. 由S9+8S3=9S6可得  +8× =9× , 化简得(1-q3)(1+q3+q6)+8(1-q3)=9(1-q3)(1+q3), 因为q≠1,所以q6-8q3=0,由q≠0,解得q=2. 返回目录 14.★★★(2026届福建百校联考期中,18)已知数列{an}的首项a1=1,an+an+1=4×3n. (1)求证:{an-3n}是等比数列; (2)求数列{an}的前n项和Sn; (3)令bn= ,求数列{bn}中的最大项. 返回目录 解析    (1)证明:因为an+an+1=4×3n,所以an+1-3n+1=-(an-3n), 又a1=1,所以a1-3=-2, 所以{an-3n}是以-2为首项,-1为公比的等比数列. (2)由(1)可得an-3n=2×(-1)n, 所以an=3n+(-1)n×2, 所以Sn=31+32+…+3n+2×[(-1)1+(-1)2+…+(-1)n]. = +2×  = - +(-1)n. 返回目录 (3)由(2)可得bn= = , 则bn+1-bn= -  = , 令-n(2n2-3n-3)+1>0,得1≤n≤2, 所以当1≤n≤2时,bn+1-bn>0, 令-n(2n2-3n-3)+1<0,得n≥3, 所以当n≥3时,bn+1-bn<0, 即b1<b2<b3>b4>b5>…, 所以数列{bn}中的最大项为b3=1. 返回目录 五年高考 考点2　等比数列的性质 1.★★★(2021全国甲理,7,5分)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn} 是递增数列,则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件　　     B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件　　     D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件     B     返回目录 解析　当q=1,a1<0时,等比数列{an}的前n项和Sn=na1<0,可知{Sn}是递减数列,因此甲不 是乙的充分条件; 若{Sn}是递增数列,则当n≥2时,an=Sn-Sn-1>0,即a1qn-1>0恒成立,而只有当a1>0,q>0时,a1qn-1> 0恒成立,所以可得q>0,因此甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的必要条件但不是充分条 件.故选B. 小题速解　当数列为-2,-4,-8,…时,满足q>0,但是{Sn}不是递增数列,所以甲不是乙的充 分条件.若{Sn}是递增数列,则必有an>0成立,若q<0,则会出现an正负交替的情况,与题设 不符,又q≠0,所以q>0,故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 返回目录 2.★★★(2021全国甲文,9,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6= ( ) A.7　　    B.8　　    C.9　　    D.10     A 解析　解法一　基本量法　设{an}的公比为q(q≠1), 则 解得  ∴S6= = ·[1-(q2)3]=8× =7,故选A. 解法二　利用等比数列前n项和的性质求解 由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,则(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7,故选A. 返回目录 3.★★★(2023新课标Ⅱ,8,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8= ( ) A.120　　    B.85　　    C.-85　　    D.-120 C     返回目录 解析　解法一　由等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……为等比数列,可得S2,S4-S2, S6-S4,S8-S6,……为等比数列,则(S4-S2)2=S2·(S6-S4), 即(-5-S2)2=S2·(21S2+5), 化简得4 -S2-5=0,即(4S2-5)(S2+1)=0,所以S2= 或S2=-1. 设等比数列{an}的公比为q, 当S2= 时, = =q2=-5,无实数解,舍去,故S2=-1, 所以S4-S2=-4,S6-S4=-16, 所以S8-S6=-64. 返回目录 又因为S6=-21,所以S8=-85,故选C. 解法二　设等比数列{an}的公比为q, 当q=1时,S4=4a1=-5,解得a1=- , 因为S6=6a1=- ,21S2=21×2a1=- , 所以S6≠21S2,故q≠1. 因为  返回目录 所以  【提示:把q6看作(q2)3,用立方差公式展开】 所以S8= = ×(1-44)=-85,故选C. 返回目录 4.★★★(2025全国一卷,13,5分)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4, 前8项的和等于68,则这个数列的公比等于_________.     2     解析　设等比数列为{an},公比为q(q>0),前n项和为Sn. 解法一　由题意得a1+a2+a3+a4=4,a5+a6+a7+a8=S8-S4=68-4=64, 则q4= =16, 又q>0,所以q=2. 解法二　易知q≠1, 返回目录 由题意得   得 = = ,解得q=2(舍负). 返回目录 5.★★★(2023全国乙理,15,5分)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=_______. 　-2     解析　由等比数列的性质得a4a5=a3a6≠0,∵a2a4a5=a3a6,∴a2=1. 又∵a9a10=-8,∴a2q7·a2q8=-8, ∴ q15=-8, ∴q15=-8,∴(q5)3=-8,∴q5=-2, ∴a7=a2q5=1×(-2)=-2. 返回目录 三年模拟 1.★(2026届黑龙江大庆教学质量检测,3)已知等比数列{an},a2=2,a4=8,则a6= ( ) A.14　　    B.32　　    C.16　　    D.54     B     解析　因为 =q2=4,所以a6=a4q2=32,故选B. 返回目录 2.★★(2026届江苏南京学情调研,3)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=6,则a5+a6 = ( ) A.8　　    B.10　　    C.14　　    D.18     A     解析　等比数列{an}中,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∴2,4,S6-S4成等比数列,∴S6-S4=8=a5+a6. 故选A. 返回目录 3.★★(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,6)在等比数列{an}中,a4,a16是方程x2+30x+36=0 的两个根,则a10= ( ) A.±6　　    B.6　　    C.36　　    D.-6     D     解析　∵a4,a16是方程x2+30x+36=0的两个根,∴ ⇒a4<0, 由 =a4·a10>0⇒a10<0,由 =a4·a16=36⇒a10=-6.故选D. 返回目录 4.★★(2026届江苏南京六校联考,7)在等比数列{an}中,a3a4a5=8,a4+a8=20,则a6=  ( ) A.36　　    B.±6　　    C.-6　　    D.6     D 解析　∵{an}是等比数列,a3a4a5= =8,∴a4=2,又a4+a8=20,∴a8=18,∴ =a4a8=36,∴a6=6 (舍负),故选D. 返回目录 5.★★(2026届广东深圳外国语学校开学考,5)在等比数列{an}中,a2,a10是函数f(x)=x2+20x +25的两个零点,则a6= ( ) A.±5　　    B.-5　　    C.5　　    D.±2      B     解析　因为a2,a10是函数f(x)=x2+20x+25的两个零点, 所以a2,a10是方程x2+20x+25=0的两个根,则a2+a10=-20,a2a10=25, 所以a2,a10都为负数, 又因为{an}是等比数列,所以a6=a2q4<0, 又 =a2a10=25,所以a6=-5.故选B. 返回目录 6.★★★(2026届河南南阳第三次质量检测,6)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n 项和为Sn,且满足a1a4a5=a2a7,S3=7,则S5= ( ) A.11　　    B.31　　    C.32　　    D.121     B     解析　由等比数列的性质知a4a5=a2a7≠0,又a1a4a5=a2a7,所以a1=1, 设{an}的公比为q(q>0),则S3=1+q+q2=7,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去),所以S5= = 31.故选B. 返回目录 7.★★★(2026届四川巴中零诊,7)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1a3 a5=3 ,b1+b3+b5= ,则sin 的值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     返回目录 解析　由数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,且a1a3a5=3 ,b1+b3+b5= ,得 =a1a3a5=3 ,3b3=b1+b3+b5= ,解得a3= ,b3= , 又由等差数列与等比数列的性质,可得a2a4= =3,b2+b4=2b3= , 所以sin =sin =sin =sin =sin =sin cos -cos ·sin = × -  × = .故选D. 返回目录 8.★★★(创新知识交汇)(2026届山东临沂沂水四中质量检测,8)若x1,x2是函数f(x)=   x3+ax2+bx+1(a>0,b>0)的导函数的两个不同零点,且x1,x2,2这三个数可适当排序后成等差 数列,也可适当排序后成等比数列,则a+b= ( ) A.5　　    B.13　　    C. 　　    D.      C     解析　因为f '(x)=x2+2ax+b,所以x1+x2=-2a<0,x1x2=b>0, 所以x1,x2为两个不等的负数,不妨设x1<x2<0, 则x1,x2,2(或2,x2,x1)成等差数列,x1,2,x2(或x2,2,x1)成等比数列, 故有2x2=x1+2,x1x2=4,解得x1=-4,x2=-1,可得a= ,b=4,∴a+b= ,故选C. 返回目录 9.★★★(2026届江苏昆山震川高级中学阶段测试,7)已知数列{cn}的通项公式为cn=-3·  ,设数列{cn}的前n项和为Tn,则Tn- (n∈N*)的最大值和最小值为 ( ) A. ,- 　　    B. ,0　　    C. , 　　    D.0,-      A     解析　由cn=-3· 知数列{cn}是首项为 ,公比为- 的等比数列,则Tn=1- , 当n为奇数时,Tn=1- >1, 又 =- < =- , 所以Tn>Tn+2,所以n=1时,得最大值T1= ; 返回目录 当n为偶数时,0<Tn=1- <1,又 = > = ,所以Tn<Tn+2, 所以n=2时,得最小值T2= . 由于函数f(x)=x- 在(0,+∞)上单调递增, 所以当Tn=T1= 时,Tn- 取得最大值 ;当Tn=T2= 时,Tn- 取得最小值- ,故选A. 返回目录 10.★★★(多选)(2026届湖北高中名校联盟第一次联合测评,9)已知等比数列{an}的前n 项和Sn=- +t,t∈R,{an}的前n项积为Tn,则 ( ) A.t=1 B.an=  C.Tn=  D.数列{an+an+1+an+2}是等比数列     ABD     返回目录 解析　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=- +t- = . 已知{an}为等比数列,则a1= ,an= ,t=1,Tn= = .  = = ,所以数列{an+an+1+an+2}是等比数列,故选ABD. 返回目录 11.★★(2025届河北秦皇岛山海关二模,12)已知等比数列{an}的前6项和为126,其中偶 数项和是奇数项和的2倍,则a1=_________.     2     解析　由题设得   则  设{an}的公比为q,则a2+a4+a6=(a1+a3+a5)q⇒q=2, 所以a1+a3+a5=a1(1+q2+q4)=21a1=42,则a1=2. 返回目录 12.★★(2025届福建厦门外国语学校阶段检测,12)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若  = ,则 =_________.     8     解析　因为 = ,所以S6=4S3,则S6-S3=3S3,由等比数列{an}的前n项和Sn的性质可知,数列 S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是以S3为首项,3为公比的等比数列, 所以S9-S6=32S3=9S3,即S9=9S3+S6=13S3, S12-S9=33S3=27S3,即S12=27S3+S9=40S3, 所以 = =8. 返回目录 $