6.3等比数列课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦等比数列专题，依据高考评价体系梳理了定义、等比中项、通项公式、前n项和公式及性质等核心考点，明确了基本量运算、判定证明、性质应用的高频考查角度，通过典例分析归纳了方程思想、分类讨论等常考题型解法。 课件亮点在于“真题变式+技巧总结”，如以2025届山东菏泽联考真题为例，运用“m+n=p+q则a_m a_n=a_p a_q”性质快速求解项的乘积问题，培养学生数学思维与运算能力。特设易错点警示和方法归纳，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

6.3 等比数列 返回目录 知识清单 知识点1　等比数列的定义及有关概念 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q(q≠0)表示,符号表示为 =q(n∈N*) 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时G2=ab 通项公式 an=a1qn-1; 推广:an=am·qn-m(m,n∈N*) 前n项和 公式 Sn=  返回目录 知识点2　等比数列的性质 项的有关 性质 (1)若{an}是等比数列,且m+n=p+t(m,n,p,t∈N*),则am·an=ap·at. 特别地,若m+n=2p,则am·an= . (2)若{an},{bn}是项数相同的等比数列,则{λan}(λ≠0),{ },{an·bn}, 仍是等比数列. (3)若{an}是公比为q的等比数列,则数列ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)也是等比数列,公比为qm 前n项和 的有关性质 若等比数列{an}的公比q≠-1(或q=-1且n为奇数),前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列,公比为qn 前n项积 的有关性质 若{an}是等比数列,且a1·a2·…·an=Tn,则Tn, , ,…成等比数列 返回目录 奇偶项的 有关性质 若等比数列{an}的公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则: (1)当n为偶数时, =q. (2)当n为奇数时, =q 函数特性 (1)当 或 时,等比数列{an}是递增数列; 当 或 时,等比数列{an}是递减数列; 当q=1时,等比数列{an}是常数列; 当q<0时,等比数列{an}是摆动数列. (2)“当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·qn(k≠0)”是“{an}是等比数列”的充要条件,此时k=  返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)任意两个实数都有等比中项. ( ) (2)若数列{an}的通项公式是an=cqn(c,q∈R,c≠0,q≠0),则{an}一定是等比数列. ( ) (3)若数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列. ( )     ✕         √         ✕     返回目录 2.已知数列{an}满足a4=1, = (n=1,2,…),则{an}的前4项和为__________.     15     返回目录 3.在等比数列{an}中,已知a1=3,an=48,Sn=93,则n=_________.     5     返回目录 4.(易错题)等比数列{an}中,a2=4,a6=16,则a4=_________.     8     返回目录 考点清单 考点1　等比数列及其前n项和 角度1　等比数列基本量的运算 典例1    (2026届湖南怀化开学考,6)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a2=1,S6=10S3,则a5=  ( ) A.10　　    B.13　　    C.9　　    D.27     C     解析　设等比数列{an}的公比为q,则S6-S3=a6+a5+a4=9S3=9(a3+a2+a1),即a1q3(1+q+q2)=9a1 (1+q+q2), 因为1+q+q2= + >0,a1≠0, 所以q3=9,则a5=a2q3=9.故选C. 返回目录 归纳总结　解决等比数列基本量运算的思想方法 1.方程思想:等比数列的基本量运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有a1,q,n, an,Sn五个基本量,一般可“知三求二”.通过列方程(组)求基本量. 2.分类讨论思想:等比数列{an}的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,Sn=na1; 当q≠1时,Sn= = . 返回目录 变式训练 1.(关键元素变式)(2023天津,6,5分)已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1=2,an+1=2Sn+2(n ∈N*),则a4= ( ) A.16　　    B.32　　    C.54　　    D.162     C     解析　∵an+1=2Sn+2,∴an=2Sn-1+2(n≥2),两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2), 当n=1时,由已知,得a2=2a1+2=6,则a2=3a1,∴数列{an}是等比数列,首项为2,公比为3. ∴an=2×3n-1,∴a4=2×33=54,故选C. 返回目录 2.(设问条件变式)已知等比数列{an}中,a3+a4=40,a3-a5=30,则公比q=_________. 解析　易知q≠1.由 得 则  返回目录 3.(逆反条件变式)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=_____.     7 解析　由an+1=2an得数列{an}是公比为2的等比数列,又a1=2,Sn=126,所以Sn= =1 26,解得n=7. 返回目录 角度2　等比数列的判定与证明 典例2　已知数列{an}的首项a1= ,且满足an+1= . (1)求证:数列 为等比数列; (2)若 + + +…+ <100,求满足条件的最大整数n. 返回目录 解析    (1)证明: = = + , -1= - , = ,而 -1= ,所以 是以  为首项, 为公比的等比数列. (2)由(1)可得 + + +…+ -n= =1- ,所以 + + +…+ =1- +n.而1-  +n随着n的增大而增大,且当n=99时满足题意,当n=100时不合题意,所以满足条件的最 大整数n=99. 返回目录 方法总结　等比数列的判定与证明方法 定义法 若 =q(q为非零常数,n∈N*)或 =q(q为非零常数且n ≥2,n∈N*),则{an}是等比数列 等比中 项法 若数列{an}中,an≠0且 =an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等 比数列 通项 公式法 若数列的通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数, n∈N*)的形式,则{an}是等比数列 前n项和 公式法 若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1), 则{an}是等比数列 返回目录 注意:(1)只有定义法、等比中项法可用于证明等比数列,通项公式法与前n项和公式法 只能用于小题中等比数列的判定. (2)证明一个数列{an}不是等比数列,只需要说明前三项满足 ≠a1·a3,或者存在一个正 整数m,使得 ≠am·am+2即可. 返回目录 变式训练 4.(关键元素变式)已知数列{an}满足:a1= ,an=3an-1-1(n≥2). (1)求证:数列 是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn. 返回目录 解析    (1)证明:由题意得an+1=3an-1(n∈N*),则  = = =3, 又a1- = - =3, 所以数列 是以3为首项,3为公比的等比数列. (2)由(1)得,an- =3n,即an=3n+ , 所以Sn= + = . 返回目录 5.(设问条件变式)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an-n2+3n(n∈N*). (1)是否存在常数λ,μ,使得数列{an+λn2+μn}是等比数列?若存在,求出λ,μ的值;若不存在, 说明理由. (2)设bn= ,Sn=b1+b2+b3+…+bn,证明:当n≥2时,Sn< . 返回目录 解析    (1)设an+1=2an-n2+3n可化为an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=2(an+λn2+μn), 即an+1=2an+λn2+(μ-2λ)n-λ-μ, 故 解得  ∴an+1=2an-n2+3n可化为an+1-(n+1)2+(n+1)=2(an-n2+n),又a1-12+1=1≠0, 故存在λ=-1,μ=1,使得数列{an+λn2+μn}是等比数列. (2)证明:由(1)得an-n2+n=2n-1, ∴bn= = , 返回目录 ∵bn= = < = - , ∴n≥2时,Sn=b1+b2+b3+…+bn<1+ + +…+  =1+ - < . 返回目录 考点2　等比数列的性质 角度1　项的性质 典例3    (多选)(2025届山东菏泽曹县一中开学考,10)记等比数列{an}的前n项积为Tn,且 a5,a6∈N*,若T10=65,则a5+a6的可能取值为 ( ) A.-7　　    B.5　　     C.6　　    D.7     BD     解析　∵T10=a1·a2·…·a10=(a5·a6)5=65,∴a5·a6=6, 又∵a5,a6∈N*,2×3=6,1×6=6,∴a5+a6=5或7.故选BD. 返回目录 解题技巧　在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,灵活利用性质,特别是 性质“若m+n=p+q=2k,m,n,p,q,k∈N*,则am·an=ap·aq= ”,可以减少运算量,提高解题速 度. 返回目录 变式训练 6.(设问条件变式)(2026届安徽皖西南示范中学起点考试,5)在正项等比数列{an}中,a3, a5是方程x2-15x+9=0的两个根,则a1a7-a4= ( ) A.3　　    B.6　　     C.9　　    D.12     B     解析　因为a3,a5是方程x2-15x+9=0的两个根,所以a3a5=9, 在正项等比数列{an}中,有a1a7=a3a5==9,所以a4=3,所以a1a7-a4=9-3=6.故选B. 返回目录 角度2　和的性质 典例4    (2025届江西十校协作体二模,3)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a4+a5+a6=-3,a7+ a8+a9=9,则S15= ( ) A.81　　    B.71　　     C.61　　    D.51     C     返回目录 解析　由题可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12成等比数列, 所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),即(-3)2=S3×9,得S3=1, 则等比数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12的首项是1,公比是-3, 则S12-S9=a10+a11+a12=9×(-3)=-27, S15-S12=a13+a14+a15=-27×(-3)=81, 所以S15=1+(-3)+9+(-27)+81=61.故选C. 返回目录 典例5　已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公 比q=_________.     2     解析　由题意,得 解得 所以q= = =2. 返回目录 变式训练 7.(关键元素变式)(2025届江苏省镇江中学学情检测,12)已知{an}是公比为 的等比 数列,若a1+a4+a7+…+a97=100,则a3+a6+a9+…+a99=__________.     25     解析　因为 =q2= ,a1+a4+a7+···+a97=100, 所以a3+a6+a9+…+a99=25. 返回目录 8.(设问条件变式)若等比数列{an}共有奇数项,首项为1,其偶数项和为170,奇数项和 为341,则这个数列的公比为_________,项数为_________.     9         2     解析　设公比为q.在等比数列{an}中,由S奇=a1+qS偶,得341=1+170q,解得q=2, 设这个数列共有(2n+1)项,则S2n+1= =341+170=511,解得n=4,所以这个等比数列的 项数为9. 返回目录 $