高考热点10　轨迹问题课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“轨迹问题”核心考点，覆盖椭圆、抛物线、双曲线等常规曲线及非常规曲线的轨迹方程推导，对接高考评价体系，通过近五年真题分析明确“定义法”“相关点法”等高频考点（占比约60%），归纳垂直平分线与圆结合、重心轨迹等典型题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+素养提升”策略，如以2021新高考Ⅰ卷双曲线题为例，用数学思维剖析轨迹定义，通过韦达定理、重心坐标公式等培养数学语言表达能力，设置“忽略轨迹范围”等易错点警示，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

高考热点10　轨迹问题 返回目录 类型1　常规曲线的轨迹问题 1.★★(2026届湖北仙桃中学期中,4)平面内,动点P的坐标(x,y)满足方程 +  =2 ,则动点P的轨迹方程为 ( ) A. + =1　　    B. + =1 C. + =1　　    D. + =1     D     解析　由题意知点P(x,y)到两个定点( ,0),(- ,0)的距离之和等于常数2 ,且两个定 点间的距离为2 ,所以由椭圆的定义知,点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆,且a= ,c=  ,故b= ,故点P的轨迹方程为 + =1.故选D. 返回目录 2.★★(2026届山东青岛期初调研,7)已知圆M的方程为(x+1)2+y2=16,定点N(1,0),P为圆M 上任意一点,线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q,则点Q的轨迹方程为  ( ) A. +y2=1　　    B. + =1 C. -y2=1　　    D.x2- =1     B 返回目录 解析　因为圆M的圆心为M(-1,0),半径r=4, 由题知|QN|=|QP|,又|QP|+|QM|=r=4,则|QN|+|QM|=4>|MN|=2, 所以点Q在以M(-1,0),N(1,0)为焦点,2a=4的椭圆上, 由a=2,c=1,得b2=a2-c2=3,所以点Q的轨迹方程为 + =1,故选B. 返回目录 3.★★★(2025届湖南长郡中学第一次调研,15)已知M为圆x2+y2=9上一个动点,MN垂直 于x轴,垂足为N,O为坐标原点,△OMN的重心为G. (1)求点G的轨迹方程; (2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线l与曲线C相交于A,B两点,点Q(0,1),若点H( ,0)恰好是 △ABQ的垂心,求直线l的方程. 返回目录 解析    (1)设G(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0), 因为G为△OMN的重心, 故 解得 结合 + =9,化简得 +y2=1,又x0y0≠0,故xy≠0, 所以G的轨迹方程为 +y2=1(xy≠0). (2)因为H为△ABQ的垂心,所以AB⊥HQ,AH⊥BQ, 因为kHQ= =- ,所以kl= ,故设直线l的方程为y= x+m(m≠±1,±2 ),联立 返回目录   消去y得13x2+8 mx+4m2-4=0, 由Δ=208-16m2>0得m2<13, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2= ,x1x2= , 由AH⊥BQ,得 · =-1, 所以x2(x1- )+( x1+m)( x2+m-1)=0, 返回目录 所以4x1x2+ (m-1)(x1+x2)+m2-m=0, 所以4(4m2-4)-24m(m-1)+13(m2-m)=0,化简得5m2+11m-16=0, 解得m=1(舍去)或m=- (满足Δ>0), 故直线l的方程为y= x- . 返回目录 4.★★★(2025届广东华南师大附中二模,17)设A,B分别是直线y= x和y=- x上的动 点,且|AB|= ,设O为坐标原点,动点P满足 = + ,记P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)已知点Q为曲线C的上顶点,点F1,F2分别为左、右焦点,过点Q的直线l交曲线C于另一 点M,若 = ,求l的方程. 返回目录 解析    (1)由题意,设A ,B ,P(x,y), ∵ = + , ∴x=x1+x2,y= (x1-x2). 则 (*) ∵|AB|= , ∴2=(x1-x2)2+ , 返回目录 将(*)式代入得2=2y2+ x2, 化简得 +y2=1. ∴动点P的轨迹方程为 +y2=1. (2)设点M(x,y).由题意得Q(0,1),F1(- ,0),F2( ,0). ∵ = ,∴MF1∥QF2, 故 ∥ , 又 =(- -x,-y), =( ,-1), ∴ +x+ y=0, 返回目录 故点M在直线x+ y+ =0上, 联立 消去x得7y2+6y-1=0,解得y=-1或y= . ∴M(0,-1)或M . 当M坐标为(0,-1)时,直线l的方程为x=0, 当M坐标为 时,直线l的方程为y-1= x,即y= x+1. 返回目录 5.★★★★(2026届四川成都树德中学阶段测试,18)已知动点E与点F(1,0)的距离与其到 直线x=-1的距离相等. (1)求动点E的轨迹方程; (2)若点R是y轴左侧(不含y轴)一点,动点E的轨迹上存在不同的两点A,B满足RA,RB的中 点均在E的轨迹上. (i)设AB中点为M,证明:RM∥x轴; (ii)若R是半圆x2+y2=1(x<0)上的动点,求△RAB面积的取值范围. 返回目录 解析    (1)由题意知动点E到F(1,0)的距离与它到直线x=-1的距离相等,所以动点E的轨 迹是以F(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,因此动点E的轨迹方程为y2=4x. (2)(i)设R(x0,y0),A ,B .因为RA,RB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程  =4· ,即y2-2y0y+8x0- =0的两个不同的实数根.所以y1+y2=2y0. 因此,RM∥x轴. (ii)由已知 + =1,由(i)可知Δ=4 -4(8x0- )=8(- -4x0+1)>0(-1<x0<0),且  所以|RM|= ( + )-x0=  -3x0,|y1-y2|=2 , 返回目录 因此,△RAB的面积S△RAB= |RM|·|y1-y2|= ( -4x0 . 因为 + =1(-1≤x0<0), 所以 -4x0=- -4x0+1∈(1,4]. 因此,△RAB面积的取值范围是 . 返回目录 6.★★★★★(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(- ,0), F2( ,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C. (1)求C的方程; (2)设点T在直线x= 上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|· |TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 返回目录 解析    (1)由题意知|F1F2|=2 ,因为|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=2 ,所以结合双曲线定义知, 点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的双曲线的右支. 设其方程为 - =1(a>0,b>0,x≥a), 则2a=2,2c=2 ,解得a=1,c= , 则b2=c2-a2=( )2-12=16, 故M的轨迹C的方程为x2- =1(x≥1). 返回目录 (2)如图,设T ,直线AB的方程为y-m=k1 ,由 消去y得(16- )x2+ ( -2k1m)x-  +k1m-m2-16=0,   设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2= , 返回目录 x1x2= , 因为T , 所以|TA|=  =  =  =   , 返回目录 同理|TB|=   , 所以|TA|·|TB| =(1+ )   =(1+ ) x1x2- (x1+x2)+   =(1+ )  - × +   =(1+ )· 返回目录   = . 设直线PQ的方程为y-m=k2 , 同理得|TP|·|TQ|= , 因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|, 所以 = , 返回目录 即 = , (1+ )( -16)=(1+ )( -16), 化简得 = , 由题意知k1≠k2,所以k1+k2=0, 即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0. 返回目录 类型2　非常规曲线的轨迹问题 1.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,11,6分)设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲 线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与 到定直线x=a(a<0)的距离之积为4.则 ( ) A.a=-2 B.点(2 ,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤      ABD     返回目录 解析　对于A,因为点O在曲线上,所以点O到直线x=a(a<0)的距离为-a,而|OF|=2,所以-a· 2=4,即a=-2,故A正确; 对于B,由题意可知曲线C的方程为(x+2)· =4,把点(2 ,0)代入,满足方程,故B 正确; 对于C,y2= -(x-2)2, 令f(x)= -(x-2)2,x>0, 则f '(x)=- -2(x-2), 返回目录 则f(2)=1,f '(2)=- <0, 所以在x=2的左侧必存在一个区间(2-ε,2)满足f(x)>1,因此y的最大值一定大于1,故C错 误; 对于D, = -(x0-2)2≤ ,x0>-2,则y0≤ ,故D正确. 故选ABD. 返回目录 一题多解　对于C, f '(x)= ,x>0, 令g(x)=x3+4x2-16,x>0, 则g'(x)=3x2+8x>0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增, 又g(1)=-11<0,g(2)=8>0,所以存在x1∈(1,2),使g(x1)=0,即f '(x1)=0, 所以f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,2)上单调递减, 故存在f(x)>f(2)=1,所以ymax>1,C错误. 返回目录 2.★★★★(多选)(2026届湖南怀化入学考,11)已知曲线C过点(1,0),且C上的点满足到 坐标原点O的距离与到定直线y=m(m>0)的距离之和为2,则 ( ) A.m=1 B.曲线C关于x轴对称 C.C上的点的横坐标的最大值为  D.x2+2y2-2y的最小值为1     ACD     返回目录 解析　设曲线C上的动点坐标为(x,y),则 +|y-m|=2, 因为曲线C过点(1,0),所以有1+|0-m|=2,解得m=1(负根舍去),因此A正确; 由选项A知,曲线C的方程为 +|y-1|=2,若P(x,y)在曲线上,则P1(-x,y)也在曲线上,因 此曲线C关于y轴对称,又点Q( ,1)在曲线C上,但Q1( ,-1)不在曲线C上,所以曲线C不 关于x轴对称,因此B错误; 当y≥1时, +|y-1|=2可化为 +y-1=2,即x2=9-6y≤3, 当y<1时, +|y-1|=2可化为 +1-y=2,即x2=1+2y<3, 当且仅当y=1时,x= ,即C上的点的横坐标的最大值为 ,因此C正确; 令a= ,b=|y-1|,则a≥0,b≥0,a+b=2,x2+2y2-2y=a2+b2-1, 返回目录 因为 ≥ ,所以a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时取到等号,即x2+2y2-2y的最小值为 1,因此D正确.故选ACD. 返回目录 $