高考热点13　概率创新题课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦概率创新题热点，覆盖新定义集合性质、信息熵与函数导数综合、数列与概率递推等核心考点。对接高考评价体系，分析近五年真题（如2020新高考Ⅰ卷、2023新课标Ⅰ卷）的考点分布，归纳性质判断、证明推理、概率计算等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题情境+素养导向+解题策略”，如类型1中性质M的新定义问题，通过定义辨析和等差数列证明培养数学抽象能力。类型2信息熵结合导数分析单调性，强化逻辑推理。帮助学生掌握新定义转化、递推关系建立等技巧，教师可据此实施专题突破，提升复习效率。

高考热点13　概率创新题 返回目录 类型1　以全新信息为载体 ★★★★★(2026届山东潍坊月考,19)对于非空数集S,T={x-y|x,y∈S,x≥y},若T=S,则称 数集S具有性质M. (1)判断S1={0,2,4,6},S2={0,1,3,4}是否具有性质M,并说明理由; (2)若S={a1,a2,a3,…,an}(n≥3)满足:①a1=0;②∀i,j∈N*,当i<j时,都有ai<aj;③数集S具有性 质M. (i)证明:数列{an}为等差数列; (ii)若an=6a2,P={x+y|x,y∈S},A⊆P,求数集A具有性质M的概率. 返回目录 解析    (1)S1={0,2,4,6},T={x-y|x,y∈S1,x≥y}={0,2,4,6}=S1,所以S1具有性质M.S2={0,1,3, 4},T={x-y|x,y∈S2,x≥y}={0,1,2,3,4},所以T≠S2,所以S2不具有性质M. (2)(i)证明:由题意知,显然ai-a2∈T,其中i=3,4,…,n,有(n-2)个元素,0∈T,an-0=an∈T, 且i<j时,都有ai<aj,所以0<a3-a2<a4-a2<…<an-a2<an, 因为数集S具有性质M,即S=T, 则{0,a2,a3,…,an-1,an}={0,a3-a2,a4-a2,…,an-a2,an}, 所以ai-a2=ai-1(i=3,4,…,n),所以ai-ai-1=a2(i=3,4,…,n), 又a2-a1=a2,所以数列{an}是以0为首项,a2为公差的等差数列. 返回目录 (ii)由(i)知数列{an}是以0为首项,a2为公差的等差数列,即an=(n-1)a2, 由an=6a2,知S={0,a2,2a2,…,6a2},易知S具有性质M, 所以P={0,a2,2a2,…,12a2},共有13个元素,子集数为213,P也具有性质M. A⊆P,当A中只有一个元素,且具有性质M时,A={0},共1个; 当A中元素个数大于或等于2,且具有性质M时,记A={b1,b2,…,bk},b1<b2<…<bk, 结合(i), 当b2=a2时,A={0,a2},A={0,a2,2a2},…,A={0,a2,2a2,…,12a2},共12个; 当b2=2a2时,A={0,2a2},A={0,2a2,4a2},…,A={0,2a2,4a2,6a2,8a2,10a2,12a2},共6个; 当b2=3a2时,A={0,3a2},A={0,3a2,6a2},A={0,3a2,6a2,9a2},A={0,3a2,6a2,9a2,12a2},共4个; 返回目录 当b2=4a2时,A={0,4a2},A={0,4a2,8a2},A={0,4a2,8a2,12a2},共3个; 当b2=5a2时,A={0,5a2},A={0,5a2,10a2},共2个; 当b2=6a2时,A={0,6a2},A={0,6a2,12a2},共2个; 当b2=7a2时,A={0,7a2},共1个; 当b2=8a2时,A={0,8a2},共1个; 当b2=9a2时,A={0,9a2},共1个; 当b2=10a2时,A={0,10a2},共1个; 当b2=11a2时,A={0,11a2},共1个; 当b2=12a2时,A={0,12a2},共1个. 综上,具有性质M的集合A共有36个,所以数集A具有性质M的概率为 = . 返回目录 类型2　与函数、导数综合创新 1.★★★★(多选)(2020新高考Ⅰ,12,5分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变 量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n), pi=1,定义X的信息熵H(X)= - pilog2pi. ( ) A.若n=1,则H(X)=0 B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大 C.若pi= (i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大 D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X) ≤H(Y)     AC     返回目录 解析　对于A,若n=1,则p1=1, ∴H(X)=-1×log21=0,A正确. 对于B,若n=2,则p1+p2=1, ∴H(X)=- pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2),∵p1+p2=1, ∴p2=1-p1,p1∈(0,1), ∴H(X)=-[p1log2p1+(1-p1)log2(1-p1)], 令f(p1)=-[p1log2p1+(1-p1)log2(1-p1)], ∴f'(p1)=- p1· +log2p1+(1-p1)· -log2(1-p1) =-[log2p1-log2(1-p1)]=log2 , 返回目录 令f '(p1)>0,得0<p1< ; 令f '(p1)<0,得 <p1<1. ∴y=f(p1)在 上为增函数,在 上为减函数,∴H(X)随着p1的增大先增大后减小,B 不正确. 对于C,由pi= (i=1,2,…,n)可知,H(X)=- pilog2pi=-  log2 =log2n, ∴H(X)随着n的增大而增大,C正确. 对于D,解法一　特例法　不妨设m=1,n=2, 则H(X)=- pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2), 返回目录 由于p1+p2=1,不妨设p1=p2= ,则H(X)=- =log22=1,H(Y)=-1×log21=0,故 H(X)>H(Y),D不正确. 解法二　由P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),得P(Y=1)=p1+p2m,P(Y=2)=p2+p2m-1,……,P(Y=m)= pm+pm+1,∴H(Y)=-[(p1+p2m)·log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)·log2(p2+p2m-1)+…+(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)], 由n=2m,得H(X)=- pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2+…+p2m·log2p2m), 不妨设0<a<1,0<b<1,且0<a+b≤1, 则log2a<log2(a+b),alog2a<alog2(a+b),同理,blog2b<blog2(a+b),∴alog2a+blog2b<(a+b)· log2(a+b), ∴p1log2p1+p2mlog2p2m<(p1+p2m)log2(p1+p2m), 返回目录 p2log2p2+p2m-1log2p2m-1<(p2+p2m-1)·log2(p2+p2m-1), …… pmlog2pm+pm+1log2pm+1<(pm+pm+1)log2(pm+pm+1), ∴ pilog2pi< (pj+p2m+1-j)log2(pj+p2m+1-j),∴H(X)>H(Y),D不正确. 返回目录 2.★★★★★(2026届重庆巴蜀中学联合诊断,18)根据社会人口学研究发现,一个家庭 有X个孩子的概率模型为: X 0 1 2 3 概率 α(1-p)2   α α(1-p) 其中α>0,0<p<1.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 且相互独立,事件Ai表示 一个家庭有i个孩子(i=0,1,2,3),事件B表示一个家庭的男孩比女孩多.(如果一个家庭只 有一个孩子且是男孩,则该家庭男孩多) 返回目录 (1)若p= ,求α的值以及P(B); (2)为了调控未来人口结构,需要调控p的值,其中参数p受到各种因素的影响(例如生育 保险的增加,教育、医疗福利的增加等). ①若希望P(X=2)增大,如何调控p的值? ②是否存在p的值,使得E(X)≥ ?若存在,求出p的值或范围;若不存在,请说明理由. 返回目录 解析    (1)由题可知α(1-p)2+ +α+α(1-p)=1.因为p= ,所以 α=1,所以α= . 分析可得: 事件A0B表示一个家庭有0个孩子,且是男孩,所以P(A0B)=0; 事件A1B表示一个家庭有一个孩子,且是男孩,所以P(A1B)=P(B|A1)P(A1)= · = ; 事件A2B表示一个家庭有两个孩子,且均是男孩,所以P(A2B)=P(B|A2)P(A2)= ·α= ; 事件A3B表示一个家庭有三个孩子,其中有两个是男孩、一个是女孩或三个均是男孩, 所以P(A3B)=P(B|A3)P(A3)= ·α(1-p)= α = , 返回目录 所以P(B)= P(AiB)= . (2)①由题可知:α(1-p)2+ +α+α(1-p)=1(α>0),所以 =p2-3p+3+ . 令f(p)=p2-3p+3+ ,0<p<1, 则f'(p)=2p-3- ,0<p<1. 令g(p)=2p-3- ,0<p<1, 则g'(p)=2+ >0. 所以g(p)在(0,1)上单调递增,所以g(p)<g(1)=-2<0,即f '(p)<0, 返回目录 所以f(p)在(0,1)上单调递减. 因此,当p增大时, =f(p)减小.因为α>0,所以α增大,即P(X=2)增大. 故若希望P(X=2)增大,则可增大p的值. ②由①得 =p2-3p+3+ , 假设存在p的值,使得E(X)≥ ,则E(X)= +2α+3α(1-p)=α ≥ , 因为α>0,所以 +5-3p≥ ,即 +5-3p≥  , 整理得3p2-3p-1+ ≤0, 返回目录 即 ≤0.因为0<p<1,所以3p2-1≥0,所以 ≤p<1. 所以存在p的值,使得E(X)≥ ,p的取值范围是 . 返回目录 类型3　与数列综合创新 1.★★★(2026届贵州贵阳摸底,16)如图,单位圆上的一质点在随机外力的作用下,每一 次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动 ,设移动n次回到起始位置的概率为Pn. (1)求P2及P3的值; (2)求数列{Pn}的前n项和.   返回目录 解析    (1)记事件Ai:质点移动i次回到起始位置(i=1,2,…),则P1=P(A1)=0,P2=P(A2)= × ×  = , P3=P(A3)= + = . (2)根据题意,由全概率公式有 P(An)=P(An-1)P(An|An-1)+P( )·P(An| ), 所以Pn=Pn-1·0+(1-Pn-1)· , 即Pn=- Pn-1+ , 返回目录 所以Pn- =-  (n≥2), 所以 是以P1- =- 为首项,- 为公比的等比数列. 所以Pn- =- × ,即Pn=- × + , 设数列{Pn}的前n项和为Sn, 则Sn= + n =- × + n. 返回目录 2.★★★★★(2023新课标Ⅰ,21,12分)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下: 若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮 的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投 篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第i次投篮的人是甲的概率; (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E =  记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). 返回目录 解析    (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi, 所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6. (2)设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)=1-pi,则P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1) =P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi), 即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2,【根据全概率公式找到递推式是解题关键】 设pi+1+λ= (pi+λ),解得λ=- , 则pi+1- =  , 返回目录 又p1= ,p1- = ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列, 即pi- = × ,pi= × + . (3)因为pi= × + ,i=1,2,…,n, 所以当n∈N*时,E(Y)=p1+p2+…+pn= × + =  + , 故E(Y)=  + . 返回目录 $