第三章_高考热点1　三次函数的性质综合课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三次函数的性质综合”专题，依据高考评价体系梳理了图象与性质、极值、零点、切线四大核心考点，通过近五年高考真题分析明确导数应用、单调性判定、极值与零点关系等高频考点权重，归纳出选择（多选）、填空、解答题等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养提升”的复习策略，如以2019课标Ⅲ三次函数单调性与最值题为例，深入讲解导数分类讨论法和极值点分析技巧，培养学生逻辑推理和数学建模素养。特设“易错点警示”和“题型变式训练”，帮助学生掌握答题规范，教师可据此精准定位学生薄弱环节，实现高效复习冲刺。

高考热点1 三次函数的性质综合 返回目录 类型1　三次函数的图象与性质 1.★★(2025届河南部分高中第四次考试,5)已知函数f(x)=ax3-2x2-3x+1在R上单调递减, 则实数a的取值范围为 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      D     解析　由题意知f '(x)=3ax2-4x-3≤0在R上恒成立,所以 解得a≤- .故选 D. 返回目录 2.★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分)已知函数 f(x)=x3-x+1,则 ( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线     AC     返回目录 解析　∵f(x)=x3-x+1,∴f '(x)=3x2-1,令f '(x)=0,得x=± ,当x∈ 时, f '(x)>0, f(x)单 调递增,当x∈ 时, f '(x)<0, f(x)单调递减,当x∈ 时, f '(x)>0, f(x)单调递 增,∴f(x)有两个极值点,故A正确. ∵f = - +1= >0,∴f(x)的极小值大于0,∴f(x)仅有一个零点.故B错误. 由于函数f(x)的图象是由奇函数y=x3-x的图象向上平移1个单位长度得到的,故f(x)的图 象关于点(0,1)对称,即点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心,故C正确. 曲线y=f(x)的切线斜率为2,即f '(x)=2,得x=±1,故曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程为y=2x- 1或y=2x+3,故D错误.故选AC. 返回目录 3.★★★(2025届浙江嘉兴期中,15)已知函数f(x)=x3-(1+a)x2-(a2-2a)x. (1)当a=1时,求函数的极值; (2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围. 返回目录 解析    (1)当a=1时, f(x)=x3-2x2+x,故f '(x)=3x2-4x+1. 令f '(x)=0,解得x=1或x= . f '(x), f(x)随x的变化情况如表: x  -∞,       ,1  1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 返回目录 所以f(x)极大值=f = , f(x)极小值=f(1)=0. (2)f'(x)=3x2-2(1+a)x-(a2-2a)=[3x+(a-2)](x-a), 令f '(x)=0,解得x1=a,x2= . 当x1=x2时,a= ,解得a= ,所以若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,则a≠ ,且-1<a<1或-1 < <1, 解得-1<a<1或-1<a<5且a≠ . 故a的取值范围为 ∪ . 返回目录 类型2　三次函数的极(最)值问题 1.★★★(多选)(2026届广东深圳联考,10)已知函数f(x)=x3-3x+1,则 ( ) A.f(x)有两个极值点 B.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 C.f(x)有三个零点且三个零点的和为0 D.直线y=3x是曲线y=f(x)的切线     ABC     返回目录 解析　因为函数f(x)=x3-3x+1, 所以f '(x)=3x2-3, 令f '(x)=3x2-3=0,∴x=±1, 当x<-1或x>1时, f '(x)>0, f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增, 当-1<x<1时, f '(x)<0, f(x)在(-1,1)上单调递减, 故x=-1为函数的极大值点,x=1为函数的极小值点,即f(x)有两个极值点,A正确; 因为f(x)+f(-x)=x3-3x+1+[(-x)3+3x+1]=2, 故点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心,B正确; 返回目录 由A可知f(x)有两个极值点x=±1,且f(-1)=3>0, f(1)=-1<0, f(-2)=-8+6+1<0, f(2)=8-6+1>0, 结合f(x)的单调性可知函数在(-2,-1),(-1,1),(1,2)上各有一个零点, 即函数f(x)有3个零点, 不妨设这3个零点为x1,x2,x3, 故满足f(x1)=f(x2)=f(x3)=0, 即x3-3x+1=(x-x1)(x-x2)(x-x3) =x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x1x3)·x-x1x2x3,故x1+x2+x3=0,C正确; 假设直线y=3x是曲线y=f(x)的切线,令f'(x)=3x2-3=3,则x=± , 返回目录 即切点坐标为( ,3 ),(- ,-3 ), 而f( )=- +1≠3 , f(- )= +1≠-3 ,说明假设不成立,即直线y=3x不是曲线y= f(x)的切线,D错误. 故选ABC. 返回目录 2.★★★(多选)(2024新课标Ⅰ,10,6分)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 ( ) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时, f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时, f(2-x)>f(x)     ACD     返回目录 解析　由题意知f '(x)=3(x-1)(x-3). 对于A,令f '(x)>0,得x<1或x>3,令f '(x)<0,得1<x<3,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上 单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以x=3是f(x)的极小值点,故A正确; 对于B,当0<x<1时,0<x2<x<1,由f(x)在(0,1)上单调递增,得f(x2)<f(x),故B错误; 对于C,由1<x<2,得1<2x-1<3,由f(x)在(1,3)上单调递减,得f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)< 0,故C正确; 对于D, f(2-x)-f(x)=(x-1)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2·(-2x+2)=-2(x-1)3,当-1<x<0时, f(2-x)-f(x)> 0,则f(2-x)>f(x),故D正确.故选ACD. 返回目录 3.★★★★(2019课标Ⅲ,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围. 解析    (1)f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a). 令f '(x)=0,得x=0或x= . 若a>0,则当x∈(-∞,0)∪ 时, f '(x)>0; 当x∈ 时, f '(x)<0. 故f(x)在(-∞,0), 单调递增,在 单调递减; 返回目录 若a=0, f(x)在(-∞,+∞)单调递增; 若a<0,则当x∈ ∪(0,+∞)时, f '(x)>0;当x∈ 时, f '(x)<0. 故f(x)在 ,(0,+∞)单调递增,在 单调递减. (2)当0<a<3时,由(1)知, f(x)在 单调递减,在 单调递增,所以f(x)在[0,1]的最小值 为f =- +2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a. 于是m=- +2,M=  返回目录 所以M-m=  当0<a<2时,可知2-a+ 单调递减, 所以M-m的取值范围是 . 当2≤a<3时, 单调递增,所以M-m的取值范围是 . 综上,M-m的取值范围是 . 返回目录 类型3　三次函数的零点问题 1.★★★(多选)(2026届重庆一中月考,9)设函数f(x)=x3-3x2-9x+1,则 ( ) A.f(x)有极大值点 B.f(x)仅有2个零点 C.f(x)的图象在(0,1)处的切线方程为9x+y-1=0 D.f(x)图象的对称中心是(1,-10)     ACD     返回目录 解析    f(x)=x3-3x2-9x+1,则f '(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),所以x∈(-∞,-1)时, f '(x)>0, f(x)单调 递增;x∈(-1,3)时, f '(x)<0, f(x)单调递减;x∈(3,+∞)时,f '(x)>0, f(x)单调递增.对于A,B, f(x) 在x=-1处取得极大值f(-1)=6>0,在x=3处取得极小值f(3)=-26<0,故A正确,B错误; 对于C,因为f '(0)=-9,故f(x)的图象在(0,1)处的切线方程为y-1=-9(x-0),即9x+y-1=0,C正确; 对于D,因为f '(x)=3x2-6x-9,所以f(x)图象的对称中心的横坐标为x= =1,又因为f(1)=-10, 所以f(x)图象的对称中心是(1,-10),故D正确,故选ACD. 返回目录 2.★★★(多选)(2026届湖北鄂东南教育联盟期中,10)已知函数f(x)=2x3+6x2+ax-3,a∈R, 则 ( ) A.当a=8时, f(x)在R上单调递增 B.当a≤6时, f(x)有两个极值 C.若f(x)有三个不同零点x1,x2,x3,则x1x2x3=  D.过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条,则-5<m<-3     ACD     返回目录 解析　当a=8时, f '(x)=6x2+12x+8⇒Δ=122-4×6×8=-48<0⇒f '(x)>0恒成立,则函数f(x)在R上 单调递增,故A正确; f '(x)=6x2+12x+a,由Δ=122-4×6a>0,解得a<6,则f(x)有2个极值, 当a=6时,Δ=0⇒f '(x)≥0恒成立, 此时函数f(x)在R上单调递增,无极值,故B错误; 由题意可设f(x)=2(x-x1)(x-x2)(x-x3), 则f(x)=2x3-2(x1+x2+x3)x2+2(x1x2+x2x3+x1x3)x-2x1x2x3, 结合f(x)的解析式得-2x1x2x3=-3⇒x1x2x3= ,故C正确; 返回目录 设切点为(x0, f(x0)), f '(x)=6x2+12x+a, 则切线方程为y-(2 +6 +ax0-3)=(6 +12x0+a)(x-x0), 把(0,m)代入得m=-4 -6 -3, 过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条⇔直线y=m与h(x0)=-4 -6 -3的图象有3个 不同的交点, h'(x0)=-12 -12x0≥0⇒-1≤x0≤0,h'(x0)=-12 -12x0<0⇒x0<-1或x0>0, 函数h(x0)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递减,在[-1,0]上单调递增, 且h(-1)=-5,h(0)=-3, 结合图象可得-5<m<-3,故D正确. 故选ACD. 返回目录 3.★★★(多选)(2025届安徽合肥第一中学最后一卷,10)设函数f(x)=x3-3x2-9x-a有三个不 同的零点,从小到大依次为x1,x2,x3,则 ( ) A.-27<a<5 B.函数y=f(x)+a的图象的对称中心为(1,-11) C.过(x1, f(x1))引曲线y=f(x)的切线,有且仅有1条 D.若x1,x2,x3成等差数列,则a=-11     ABD     返回目录 解析　由题意得f '(x)=3x2-6x-9, 令f '(x)>0,解得x>3或x<-1, 令f '(x)<0,解得-1<x<3, ∴f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递增,在(-1,3)上单调递减. 对于A,若f(x)有3个零点,则f(-1)>0>f(3),解得-27<a<5,故A正确; 对于B,令g(x)=f(x)+a,则g(x)=x3-3x2-9x,- =- =1,又g(1)=-11,所以g(x)图象的对称中心 为(1,-11),故B正确; 对于C,结合图象,过(x1, f(x1))引曲线y=f(x)的切线,有2条,故C错误; 返回目录   对于D, f(x)=x3-3x2-9x-a=(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)x-x1x2x3, ∴x1+x2+x3=3,x1x2+x2x3+x3x1=-9,x1x2x3=a, 若x1,x2,x3成等差数列,则2x2=x1+x3, 则x2=1,x1+x3=2,故a=x1x3=-9-x2(x1+x3)=-11,故D正确.故选ABD. 返回目录 4.★★★(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点, 则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为_______. 　-3     解析　∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a). 若a≤0,则x>0时, f '(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零 点,∴a>0. 当0<x< 时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x> 时, f '(x)>0, f(x)单调递增,∴x>0时, f(x)有极小值, 为f =- +1. ∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点, ∴f =0,∴a=3. 返回目录 ∴f(x)=2x3-3x2+1, f '(x)=6x(x-1). 令f '(x)=0,得x=0或x=1, f'(x), f(x)随x的变化情况如表: x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 f'(x) + 0 - 0 f(x) -4 增 1 减 0 ∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4. ∴最大值与最小值的和为-3. 返回目录 5.★★★(2025届山东泰安模拟预测(三),15)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=1处有极小值. (1)求实数c的值; (2)若函数g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,求实数a的取值范围. 返回目录 解析    (1)∵f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,∴f '(x)=3x2-4cx+c2=(x-c)(3x-c),由已知得f '(1)=0,即 (1-c)(3-c)=0,∴c=1或c=3, 当c=1时, f '(x)=(x-1)(3x-1), ∴当x< 时, f '(x)>0,当 <x<1时, f '(x)<0,当x>1时, f '(x)>0,∴f(x)在 上单调递增,在  上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴x=1时有极小值,符合题意. 当c=3时, f '(x)=3(x-3)(x-1), ∴当x<1时, f '(x)>0,当1<x<3时, f '(x)<0,当x>3时, f'(x)>0, 返回目录 ∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增, ∴x=1时有极大值,不符合题意,舍去. ∴c=1. (2)g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,即y=f(x)的图象与直线y=-a有三个不同的交点, 由(1)知f(x)在x= 处取极大值, f(x)极大值=f = × = , 又f(x)极小值=f(1)=0, ∴0<-a< ,∴- <a<0. 返回目录 类型4　三次函数的切线问题 1.★★★(2025届湖北武汉武昌三模,6)已知函数f(x)=x3-6x+7,直线l是曲线y=f(x)的切线, 如果切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,那么这样的直线l有 ( ) A.0条　　    B.1条　　    C.2条　　    D.3条     B     返回目录 解析　函数f(x)=x3-6x+7,对其求导得f '(x)=3x2-6. 设切点为(a, f(a)),则切线斜率为f '(a)=3a2-6,又f(a)=a3-6a+7, 所以切线方程为y-(a3-6a+7)=(3a2-6)(x-a),化简得y=(3a2-6)x-2a3+7. 联立得:  整理得x3-3a2x+2a3=0,因式分解得(x-a)2(x+2a)=0,解得x=a或x=-2a,因为切线l与曲线y=f(x) 有且只有一个公共点,所以a=-2a,解得a=0,此时切线方程为y=-6x+7,切线l仅1条. 返回目录 2.★★(2026届福建部分学校联考,13)若曲线y=tan x在坐标原点处的切线与曲线y=x3-2x +m(x>0)相切,则m=_________.     2     解析　因为(tan x)'= ,所以曲线y=tan x在坐标原点处的切线的斜率为 =1,则直 线y=x与曲线y=x3-2x+m(x>0)相切,设切点的横坐标为x0(x0>0),则y' =3 -2=1,则x0=1,所 以有13-2×1+m=1,解得m=2. 返回目录 3.★★★★(2021全国乙,21(2))已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.求曲线y=f(x)过坐标原点的切线 与曲线y=f(x)的公共点的坐标. 解析　设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x0,y0), 则切线的斜率为f '(x0)=3 -2x0+a, 故以点P为切点的切线方程为y=(3 -2x0+a)(x-x0)+y0.由y0= - +ax0+1,且切线过原点,得 2 - -1=0,即(x0-1)·(2 +x0+1)=0,解得x0=1,从而得P(1,1+a). 所以切线方程为y=(1+a)x,联立  消去y得x3-x2-x+1=0, 即(x-1)2(x+1)=0,∴x=1或-1, ∴公共点为(1,1+a)与(-1,-1-a). 返回目录 $