计数原理、排列与组合课件-2027届高三数学一轮复习

第1节　计数原理、排列与组合 1.两个计数原理 (1)分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有 N=　　　　　种不同的方法.  (2)分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=　　　　　种不同的方法.  2.排列与组合的概念 名称 定义 排列 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照　　　 　排成一列  组合 作为一组 m+n m×n 一定的顺序 3.排列数与组合数 名称 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N*)个元素的所有不同排列的个数,用符号　　　　　　　表示  从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N*)个元素的所有不同组合的个数,用符号　　　　　　表示  名称 排列数 组合数 公式   乘积式常用于计算,阶乘式常用于化简或证明 =n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)] =　　　　　　  = =　 　　　  性质 =1,=　　　, 0!=　　　  =1, =　　　　　　  n! 1 [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同.(　　) (2)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　) (3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　) (4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　　) × 解析 在分类加法计数原理中,方法不能重复. × 解析 在分步乘法计数原理中,每个步骤无法单独完成一件事,各步缺一不可. × 解析 元素相同但顺序不同的排列是不同的排列. √ 2.(人A选三教材习题改编)如图,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路;从甲地到丙地有3条路,从丙地到丁地有4条路.从甲地到丁地的不同路线共有(　　) A.12条 B.15条 C.18条 D.72条 C 解析 若路线为甲乙丁,则有3×2=6(条),若路线为甲丙丁,则有3×4=12(条),故共有6+12=18(条).故选C. 3.(2023·全国乙,理7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 C 解析 (方法一:直接法)甲在6种课外读物中任选2种,有种选法,乙在甲选的2种课外读物中挑一种有种选法,乙在甲选2种课外读物后剩下的4种中选一种有种选法,则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有2×4=120种. (方法二:间接法)甲、乙两位同学各自选读2种课外读物共有种选法,甲、乙所选都不同有种选法,甲、乙所选都相同有种选法,故这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法有(-1)=120种.故选C. 4.(人A选三教材习题改编)五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为　　　　.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),则获得冠军的可能情况有　　　　种.  45　 54 解析 五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,每个学生有4种报名方法,共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军,每个冠军有5种可能情况,共有54种获得冠军的可能情况. 考点一　两个计数原理 例1　(1)(2025·山东淄博三模)将编号为1,2,3的小球放入编号为1,2,3,4的小盒中,每个小盒至多放一个小球,要求恰有1个小球与所在盒子编号相同,则所有放法的种数为(　　) A.7 B.9 C.11 D.13 B 解析 根据题意,先确定一个编号相同的盒子,有3种,假设选的是1号,剩下的两个小球都没有放到对应的盒子有2→3,3→2;2→3,3→4;2→4,3→2,共3种情况,所以共有3×3=9(种)不同的放法.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2024·新高考Ⅱ,14)在下图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　　种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格的4个数之和的最大值是　　　　　.  11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 24 112 解析 因为每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有4×3×2×1=24种选法. 4个数之和最大的选法为最后一列选43,逐列递选,最大值为43+33+21+15=112. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](1)(2025·江苏泰州模拟)如图,某社区为墙面A,B,C,D四个区域进行涂色装饰,每个区域涂1种颜色,相邻区域(有公共边)不能用同一种颜色,若只有4种颜色可供使用,则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有(　　) A B C D A.12种 B.24种 C.48种 D.84种 C 解析 由条件可知,可以分成两类情况:只有A和D颜色相同,或只有B和C颜色相同.若只有A和D颜色相同,则有=24(种)方法,只有B和C颜色相同,也有24种方法,所以一共有24×2=48(种)方法.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2023·新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　　种.(用数字作答)  64 解析 (方法一:直接法) 若选2门课,只需体育类和艺术类各选1门,有 =16(种)不同的选课方案; 若选3门课,分两类.体育类选1门、艺术类选2门,体育类选2门、艺术类选1门,有=48(种)不同的选课方案.综上,共有16+48=64(种)不同的选课方案. (方法二:间接法) 由题意可知,从8门课中选择2门或者3门共有 =84(种) 不同的选课方案,只选择体育类或艺术类的有2()=20(种),则符合题意的共有84-20=64(种)不同的选课方案. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二　排列问题 例2　有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数. (1)选其中5人排成一排; (2)排成前后两排,前排3人,后排4人; (3)全体排成一排,女生必须站在一起; (4)全体排成一排,男生互不相邻; (5)全体排成一排,其中甲不站在排头,也不站在排尾. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 (1)(直接法)从7人中选5人排列,有=2 520(种)不同排法. (2)分两步完成,先选3人站前排,有种方法,余下4人站后排,有种方法,共有=5 040(种)不同排法. (3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有种方法,再将女生全排列,有种方法,共有=576(种)不同排法. (4)(插空法)先排女生,有种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有种方法,共有=1 440(种)不同排法. (5)(方法一:特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有种排列方法,共有5=3 600(种)不同排法. (方法二:特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人,有种排法,其他人有种排法,共有=3 600(种)不同排法. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　求解排列问题的四种常用方法 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练2](2023·全国甲,理9)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 B 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 (方法一)先在5名志愿者中安排1名在这两天都参加公益活动,有5种安排方法.再在星期六、星期日,每天从剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者参加公益活动,有4×3=12种安排方法.由乘法原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有5×12=60种.故选B. (方法二)在5名志愿者中安排2名在星期六参加公益活动,有=10种安排方法.再从星期六参加公益活动的2名志愿者中安排1名及从剩下的3名志愿者中安排1名在星期日参加公益活动,有2×3=6种.由乘法原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有10×6=60种.故选B. (方法三)从5名志愿者中,在星期六、星期日两天各安排2名参加公益活动,有=100种安排方法,星期六、星期日两天的志愿者全不相同的安排方法有=30种,全相同的安排方法有=10种,所以恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有100-30-10=60种.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点三　组合问题 例3　(1)(2023·新高考Ⅱ,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有(　　) A.种 B.种 C.种 D.种 D 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 由题意,初中部和高中部总共有400+200=600(人),按照分层随机抽样的原理,应从初中部抽取60=40(人),从高中部抽取60=20(人). 第一步,从初中部抽取40人,有种方法,第二步,从高中部抽取20人,有种方法,根据分步乘法计数原理,一共有种抽样结果.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(多选题)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有(　　) A.如果4人全部为男生,那么有30种不同的选法 B.如果4人中男生、女生各有2人,那么有30种不同的选法 C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有28种不同的选法 D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有140种不同的选法 CD 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 如果4人全部为男生,选法有=15(种),故A错误;如果4人中男生、女生各有2人,男生的选法有=15(种),女生的选法有=6(种),则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6=90(种),故B错误;如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,在剩下的8人中再选2人即可,有=28(种)不同的选法,故C正确;在10人中任选4人,有=210(种)选法,其中甲、乙都没被选中的选法有=70(种),故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有 210-70=140(种),故D正确.故选CD. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　两类组合问题的解题方法 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练3](1)为改善农村缺医少药的状况,某医院组织下乡送医送药活动.现从相关科室的6名医生和4名护士选出4名组成一个医疗队,且主任医生甲和护士长乙必须在内,则不同的组队方案有(　　) A.25种 B.28种 C.32种 D.36种 B 解析 由题意,需从5名医生和3名护士中任选2人,故有=28(种)组队方案,故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2025江苏连云港模拟)如图,在一个4×4的区域内(每个交叉点可视为一个通信节点位置),有16个潜在的通信节点位置,为了建立一个稳定的通信网络,需要选择3个节点,且这3个节点不能在同一条直线上(否则会存在信号干扰或覆盖缺陷),则不同的节点选择方案数量为(　　) A.576 B.528 C.520 D.516 D 解析 从16个潜在的通信节点中选择3个节点,共有=560(种)情况.16个节点中,4点共线有10种情况,3点共线有4种情况,所以满足条件的方案有560-10-4=516(种).故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点四　排列与组合的综合问题 考向1　相邻、不相邻问题 例4　(1)(2022·新高考Ⅱ,5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有(　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 B 解析 把丙、丁看成一个元素,则(丙、丁)、乙、戊的排列共有=12(种)不同的排法.又由于甲不站在两端,利用“插空法”可得甲只有种不同的排法.由分步乘法计数原理可得,不同的排列方式共有12=24(种).故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)[一题多变]某次志愿者活动需分配4名大学生(A,B,C,D)和2名老师(甲、乙)排成一列合影.要求大学生A与B必须相邻,两名老师不能相邻,则满足条件的排列方式共有　　　　　种.  144 解析 由题知,先把学生A与B进行捆绑有种,再与C,D进行全排,有种,最后把2名老师插入4个空中,有种,所以共有=144(种)排列方式. 考点一 考点二 考点三 考点四 AI变式 [变式1](改变条件)本例(2)中增加条件“甲在乙的前面”,其余条件不变,则满足条件的排列方式共有　　　　　种.  72 解析 由题知,先把学生A与B进行捆绑有种,再与C,D进行全排,有种,最后把2名老师插入4个空中且甲在乙的前面,有种,所以共有=72(种)排列方式. 考点一 考点二 考点三 考点四 [变式2](改变条件)本例(2)中的条件“大学生A与B必须相邻”变为“大学生A不能排在最后”,其余条件不变,则满足条件的排列方式共有　　　种.  408 解析 若B,C,D同学中有一名同学排在最后,则有=216(种)不同的排法.若两名老师中的一名排在最后,则有=192(种)不同的排法,故不同的排法共有216+192=408(种). 考点一 考点二 考点三 考点四 [变式3](改变条件)本例(2)中的条件变为“两名老师甲、乙相邻,且大学生A不能排在最前面、B不能排在最后面”,则满足条件的排列方式共有 　　　　　种.  156 解析 (间接法)满足条件的排列方式共有-2)=2×(120-48+6) =156(种). 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　1.相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法. 2.捆绑法的解题步骤 考点一 考点二 考点三 考点四 3.插空法的解题步骤 考点一 考点二 考点三 考点四 考向2　分组、分配问题 例5　(2025·广东深圳模拟)某高校的教授为了完成一个课题,将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题,要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验,且每个实验室至少安排1名研究生助理,则不同的安排方法的种数为(　　) A.72 B.54 C.48 D.36 D 解析 将4名研究生助理分成3组,有种方法,再将3个组分配到3个实验室有=36(种)方法.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　1.相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 2.解决分组、分配问题(将元素分为若干组)的策略 非平均分组:各组元素个数互不相等,直接分步选取,依次从总数中选各组元素,方法数为分步组合数的乘积,然后分配. 平均分组:若分为k组,每组m个元素(n=km),因组与组无顺序,需除以消除重复计数,然后分配. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练4](2026·湖南怀化模拟)在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列,不同的排列表示不同的信号.已知某信号由2个“1”和4个“0”组成,且每个“0”的左边或者右边位置至少有1个“0”与它相邻,则这样的信号有　　　　　种.  6 解析 第一种情况,4个“0”全部相邻,把4个“0”看成1个元素,共有=3(种); 第二种情况,将4个“0”分成2组,每组2个“0”,每组不相邻,利用插空法共有=3(种). 综上,这样的信号共有6种. 考点一 考点二 考点三 考点四 $