高考热点2　导数中的构造问题课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦导数构造与指对同构两大核心热点，依据高考评价体系明确“原函数与导函数混合构造”“指对式同构转化”等高频考点，通过近三年模拟题分析归纳比较大小、不等式恒成立等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养提升”，如以河南质检题为例解析F(x)=f(x)/cosx构造法，浙江模拟题展示指对同构f(x)=lnx+x思维路径，培养数学思维与数学语言表达能力。教师可依托题型分类与易错点分析，指导学生高效突破导数难点，提升高考得分率。

高考热点2　导数中的构造问题 返回目录 类型1　导数中原函数与导函数的混合构造 1.★★★(2026届河南部分学校第三次质量检测,8)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函 数为f '(x),且当x∈ 时, f '(x)cos x+f(x)sin x>0,若a= f ,b=2f ,c= f ,则a, b,c的大小关系为 ( ) A.c<a<b　　    B.a<c<b　　    C.b<a<c　　    D.a<b<c     B     返回目录 解析　构造函数F(x)= ,x∈ , 求导得F '(x)= >0,故函数F(x)在 上单调递增, 因此F <F <F , 又f(x)是定义域为R的偶函数, 则f  =f  , 而a= =F ,b= = =F ,c= =F , 则a<c<b.故选B. 返回目录 2.★★★(2025届湖南三模,8)已知y=f(x)是定义在(1,+∞)上的连续可导函数,其导函数为 y=f '(x),若xf '(x)<f(x),且f(3)=6,则不等式f(ln x)>2ln x的解集为 ( ) A.(1,3)　　    B.(3,e2) C.(1,e3)　　    D.(e,e3)     D     返回目录 解析　令g(x)= (x>1), 则g'(x)= , 因为xf '(x)<f(x),所以xf '(x)-f(x)<0,所以g'(x)<0, 则g(x)= 在(1,+∞)上单调递减, 又f(3)=6, f(ln x)>2ln x, 所以 所以1<ln x<3, 解得e<x<e3,故选D. 返回目录 3.★★★(2025届宁夏石嘴山一中模拟,8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f '(x)>1, f(1) =3,则不等式exf(x)>ex+2e的解集为 ( ) A.(2,+∞)　　    B.(1,+∞)　　     C.(-∞,2)　　     D.(-∞,1)     B     返回目录 解析　设g(x)=exf(x)-ex(x∈R), 则g'(x)=exf(x)+exf '(x)-ex=ex[f(x)+f '(x)-1], 因为f(x)+f '(x)>1,所以f(x)+f '(x)-1>0,又ex>0,所以g'(x)>0恒成立, 所以g(x)在定义域R上单调递增. 故原不等式可转化为exf(x)-ex>2e,又f(1)=3,所以g(1)=ef(1)-e=2e, 所以g(x)>g(1),所以x>1,故不等式exf(x)>ex+2e的解集为(1,+∞). 故选B. 返回目录 4.★★★★(2025届浙江杭州学军中学模拟,8)定义在(0,+∞)上的可导函数f(x),满足f '(x) + = ,且f(e)= ,若a=f(3),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系是 ( ) A.a>b>c　　    B.a>c>b　　     C.b>c>a　　    D.c>b>a     C     返回目录 解析　由已知可得:x2f '(x)+2xf(x)=ln x,令g(x)=x2f(x),则f(x)= ,g'(x)=x2f '(x)+2xf(x)=ln x, f '(x)= = , 令h(x)=xln x-2g(x), 则h'(x)=1+ln x-2g'(x)=1-ln x, ∴当x∈(0,e)时,h'(x)>0,即函数h(x)在(0,e)上单调递增, 当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,即函数h(x)在(e,+∞)上单调递减,又f(e)= , ∴h(x)≤h(e)=e-2g(e)=e-2e2f(e)=0, ∴f '(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上为减函数, ∵2<e<3,∴f(2)>f(e)>f(3),即b>c>a. 故选C. 返回目录 类型2　导数中的指对同构问题 1.★★★★(2026届湖南九校联盟联考,8)已知正实数a,b满足aea-2=e2 025和b(ln b-2)=e2 029, 则ab的值为 ( ) A.e2 029　　    B.e2 028　　    C.e2 027　　    D.e2 026     A     解析　对aea-2=e2 025两边取自然对数,得ln a+a-2=2 025,即ln a+a=2 027,① 对b(ln b-2)=e2 029两边取自然对数,得ln b+ln(ln b-2)=2 029, 即ln b-2+ln(ln b-2)=2 027,② 设F(x)=ln x+x,x>0,则F'(x)= +1>0,所以F(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以方程F(x)=2 027的解只有一个,所以a=ln b-2,所以ab=(ln b-2)b=e2 029. 返回目录 2.★★★★(2025届河南豫西北教研联盟三模,8)若∀x∈[1,+∞),都有aeax-ln x≥0(a∈R), 则a的取值范围为 ( ) A.[e,+∞)　　    B.[2,+∞)　　     C.[1,+∞)　　    D.      D     返回目录 解析　由题设知∀x∈[1,+∞),axeax≥xln x,即eaxln eax≥xln x, 令f(x)=xln x,x>0,则f '(x)=ln x+1, 当0<x< 时, f '(x)<0,即f(x)在 上单调递减, 当x> 时, f '(x)>0,即f(x)在 上单调递增, 当a<0时,0<eax<1,则aeax<0≤ln x,不合题意, 故a≥0,所以eax≥1, 而f(x)=xln x在[1,+∞)上单调递增,则eax≥x,【两边取自然对数得ax≥ln x】 返回目录 问题转化为a≥0时,a≥ 在[1,+∞)上恒成立, 令h(x)= (x≥1),则h'(x)= , 当1≤x<e时,h'(x)>0,即h(x)在[1,e)上单调递增, 当x>e时,h'(x)<0,即h(x)在(e,+∞)上单调递减, 所以h(x)≤h(e)= ,故a≥ . 故选D. 返回目录 3.★★★★(2025届山西晋城二模,7)已知0<x<1,y>1,且 =ln ,则 ( ) A.x<2ln y　　    B.x<ln y　　    C.2x<ln y　　    D.2ln y<x     A     解析　由 =ln ,得 =x+ +ln , 即e-x+(-x)= +ln . 因为0<x<1,y>1, 所以0< <1,所以0< < , 所以e-x+(-x)> +ln = +ln , 返回目录 且e-x+(-x)< +ln = +ln . 因为函数f(x)=ex+x在R上单调递增, 且f <f(-x)<f , 所以ln <-x<ln ,即-2ln y<-x<-ln y,故2ln y>x>ln y.故选A. 返回目录 4.★★★★(2025届安徽江淮十校联考,13)已知a∈R,关于x的不等式 -3aln x≥x+1对 任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围是_______________.     (-∞,-1]     解析　因为关于x的不等式 -3aln x≥x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立, 所以a≤ 对任意x∈(1,+∞)恒成立, 令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,所以当x>0时,g'(x)>0,当x<0时,g'(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以g(x)≥g(0)=0,即ex≥x+1恒成立 (当且仅当x=0时取等号), 所以x-3ex= =ex-3ln x≥-3ln x+x+1(当且仅当-3ln x+x=0时取等号), 返回目录 所以 ≥ =-1(当且仅当-3ln x+x=0时取等号), 所以a≤-1,即a的取值范围是(-∞,-1]. 验证取等,令h(x)=-3ln x+x,则h(1)=1>0,h(3)=3-3ln 3=3(1-ln 3)<0,所以h(x)在(1,3)上存在 零点. 返回目录 5.★★★★(2025届天津河东二模,15)设函数f(x)=x+ln x,g(x)=x+ex,若存在x1,x2,使得g(x1)= f(x2),则|x1-x2|的最小值为_________.     1     解析　因为g(x)=x+ex,所以g'(x)=1+ex>0恒成立,所以g(x)在R上单调递增, 又因为f(x)=x+ln x=eln x+ln x=g(ln x), 且存在x1,x2,使得g(x1)=f(x2)=g(ln x2),所以x1=ln x2, 所以|x1-x2|=|ln x2-x2|, 令h(x)=ln x-x+1(x>0), 则h'(x)= -1= , 当0<x<1时,h'(x)>0,h(x)单调递增; 当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 返回目录 所以h(x)≤h(1)=0,所以ln x≤x-1,即x-ln x≥1,当且仅当x=1时取等号. 所以|x1-x2|=|ln x2-x2|=|x2-ln x2|=x2-ln x2≥1【当x2=1时取等号,此时x1=0,g(x1)=f(x2)=1满足题 意】,所以|x1-x2|的最小值为1. 返回目录 6.★★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,14)对于任意x∈(0,1),不等式 ≥  恒成立,则正数a的取值范围是_________. 解析　因为不等式 ≥ ,x∈(0,1)恒成立,又a>0, 所以 ≥ 恒成立,则 ≥ 恒成立,即 ≥ 恒成立, 令f(x)= ,可得f(aex)≥f(x)恒成立, 而f '(x)= ,令f '(x)<0,得x∈(e,+∞),令f '(x)>0,得x∈(0,e), 故f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 返回目录 而x∈(0,1),ex∈(1,e),则aex∈(a,ae), 当a≥1时,满足f(aex)>0>f(x),符合题意; 当0<a<1时,可得aex≥x恒成立, 则a≥ 恒成立, 令g(x)= ,而g'(x)= , 当x∈(0,1)时,g'(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增, 可得g(x)<g(1)= ,得到a≥ ,故a∈ . 综上,正数a的取值范围是 . 返回目录 7.★★★★★(2025届河北秦皇岛山海关模拟,18)已知函数f(x)=ax-e-x,g(x)=x2+xln x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:g(x)>- ; (3)若g(x)≥f(x),求a的取值范围. 返回目录 解析    (1)由f(x)=ax-e-x,可得f '(x)=a+e-x, 当a≥0时, f '(x)>0,即函数f(x)在R上单调递增; 当a<0时,由f '(x)=0,解得x=ln , 当x<ln 时, f '(x)>0,当x>ln 时, f '(x)<0, 故f(x)在 上单调递增,在 上单调递减. 综上,当a≥0时,函数f(x)在R上单调递增;当a<0时,函数f(x)在 上单调递增,在 返回目录  上单调递减. (2)证明:函数g(x)=x2+xln x的定义域为(0,+∞),g'(x)=2x+ln x+1, 令h(x)=2x+ln x+1(x>0), 则h'(x)=2+ >0, 所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,当x→0+时,h(x)→-∞,且h = +ln +1= -ln 4>0, 故存在x0∈ ,使得h(x0)=2x0+ln x0+1=0,则ln x0=-2x0-1. 当0<x<x0时,h(x)<0,即g'(x)<0,故函数g(x)在(0,x0)上单调递减; 当x>x0时,h(x)>0,即g'(x)>0,故函数g(x)在(x0,+∞)上单调递增. 返回目录 故g(x)≥g(x0)= +x0ln x0=- -x0=- + , 令m(x0)=- + ,因为x0∈ ,所以m <m(x0)<m(0), 即- <g(x0)<0,故g(x)>- . (3)由g(x)≥f(x)可得x2+xln x≥ax-e-x,即a≤x+ln x+ =ln(xex)+ , 设φ(x)=xex,x>0,则φ'(x)=(x+1)ex>0,故函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则φ(x)>φ(0)=0. 设s(t)=ln t+ (t>0), 则s'(t)= - = , 返回目录 当0<t<1时,s'(t)<0,故函数s(t)在(0,1)上单调递减; 当t>1时,s'(t)>0,故函数s(t)在(1,+∞)上单调递增, 故s(t)≥s(1)=1,故a≤1,即a的取值范围是(-∞,1]. 返回目录 $