导数中的函数构造问题 课件-2027届高三数学一轮复习

导数中的函数构造问题 1 函数构造问题主要包括三大类: 1.构造具体函数 依据题设中目标特征适当变形,将其化为结构相同的式子,然后同构函数,利用函数单调性求解. 2.构造抽象函数 本种题目主要是抽象函数f(x)与x(或xn)、ex(或enx)、sin x(或cos x)的组合函数问题,通过构造f(x)与x(或xn)、ex(或enx)、sin x(或cos x)的和、 差、积、商的组合函数,利用构造函数的单调性解决问题. 3.指、对同构 (1)积型:对于不等式aea≤bln b有三种同构方式. (2)商型:对于不等式<有三种同构方式. (3)和差型:对于不等式ea±a>b±ln b有两种同构方式.   有时要对式子进行变形,甚至放缩才能进行同构.例如:aeax>ln x,两边同乘以x,得axeax>xln x,再进行同构:ln eax·eax>xln x或axeax>ln x·eln x,构造函数f(x)=xln x或f(x)=xex. 类型一 构造具体函数 【例1】　已知ln=x-5且x<5,ln=y-4且y<4,ln=z-3且z<3,则(　　) A.z<y<x B.y<z<x C.x<z<y D.x<y<z 由ln=x-5可得ln x-x=ln 5-5,令f(t)=ln t-t,则有f(x)=f(5),f(y)=f(4), f(z)=f(3),又f'(t)=-1=,当0<t<1时,f'(t)>0,当1<t时,f'(t)<0,所以f(t)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(t)max=f(1)=-1,且t→0时, f(t)→-∞,t→+∞时,f(t)→-∞,由单调性知,f(x)=f(5)<f(4)=f(y)<f(3)=f(z),且0<x<5,0<y<4,0<z<3,所以x,y,z∈(0,1),即f(x)<f(y)<f(z),再由单调性知, x<y<z.故选D. 解析 根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究该函数的性质从而解决问题. 【训练1】　(2026·济宁模拟)若实数a,b,c∈[0,1],且满足ae=ea, be1.2=1.2eb,ce1.6=1.6ec,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 解析 类型二 构造抽象函数 【例2】　(1)已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,且当x∈(-∞,0)时, f(x)+xf'(x)<0恒成立.若a=30.2f(30.2),b=ln 2·f(ln 2),c=log3·f,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.c>a>b 因为函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是奇函数.令g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x).因为当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0恒成立,所以g(x)在x∈(-∞,0)上单调递减,而g(-x)=-x·f(-x)=x·f(x)=g(x),所以g(x)是偶函数,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.由题意知a=g(30.2),b=g(ln 2), c=g=g(-3)=g(3),因为3>30.2>1,0<ln 2<1,所以0<ln 2<1<30.2 <3,所以c>a>b,故选D. 解析 (2)已知函数f(x),对任意的x∈,满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0,f'(x)是f(x)的导数,则下列不等式中成立的是(　　) A.f<f B.f<f C.f(0)>f 　 D.f(0)>2f 解析 解析 隐函数构造问题常见的两类情况 1.g(x)f'(x)±g'(x)f(x)型:此类问题中,往往需要构造y=g(x)·f(x)或y=(g(x)≠0)型的函数,常见的如:含xf'(x)±nf(x)需要构造xn·f(x)或,含f'(x)·sin x±f(x)·cos x需要构造f(x)·sin x或, 含f'(x)·ln x±f(x)需要构造f(x)·ln x或. 2.f'(x)±kf(x)型:此类问题往往是省略了ekx结构,一般需要构造y=ekx·f(x)或y=型的函数. 【训练2】　已知定义在R上的函数y=f(x)满足:y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0成立.若a=sin ·f,b= ln 2·f(ln 2),c=lo·f,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 解析 类型三 指对同构 考向❶积型同构 【例3】　设a,b都为正数,e为自然对数的底数,若aea+1+b<bln b,则 (　　) A.ab>e B.b>ea+1 C.ab<e D.b<ea+1 解析 本题要进行变形,不能直接同构.不同的变形可以有不同的同构方式,可以按aea<ln 的左边同构,也可以按右边同构. 【训练3】　设m>0,对任意实数x≥e,不等式x2ln x-m≥0恒成立,则m的最大值是____. 解析 e 考向❷商型同构 【例4】　已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f'(x),且满足f(-1)=0,当x>0时, 2f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是_____________. (-1,0)∪(0,1) 构造F(x)=,则F'(x)=,当x>0时,xf'(x)-2f(x)<0,可以推出当x>0时,F'(x)<0,F(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(x)为偶函数,y=x2为偶函数,所以F(x)为偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上 单调递增.根据f(-1)=0可得F(-1)=0,根据函数的 单调性、奇偶性可得函数F(x)的大致图象如 图所示,根据图象可知f(x)>0的解集为(-1,0)∪ (0,1). 解析 商型同构即构造函数y=的形式,如:,,,等及变形形式. 【训练4】　(多选题)已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数f'(x)满足f'(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则(　　) A.f(2)<e2f(0) B.f(2)>e2f(0) C.e2f(-1)>f(1) D.e2f(-1)<f(1) 解析 类型四 和(差)型同构 【例5】　(1)(2026·温州模拟)已知x,y∈R,则“x>y>1”是“x-ln x>y-ln y”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 设f(t)=t-ln t,t>0,则f'(t)=1-=,由f'(t)>0得t>1,由f'(t)<0得0<t<1,所以f(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.所以当x>y>1时,f(x)> f(y),即x-ln x>y-ln y成立,故充分性成立.但x-ln x>y-ln y成立时,可能有x=,y=1,此时x<y,故必要性不成立.综上,“x>y>1”是“x-ln x>y-ln y”的充分不必要条件.故选A. 解析 (2)对于任意的x>0,ex≥(a-1)x+ln(ax)恒成立,则a的最大值是____. 解析 e (2)题通过变形变为y=ex+x的形式. 【训练5】　(2026·洛阳模拟)已知a>1,b>1,且满足a2-3b>2ln a-ln 4b,则(　　) A.a2>2b B.a2<2b C.a2>b2 D.a2<b2 解析 由ae=ea,be1.2=1.2eb,ce1.6=1.6ec,得=,=,=.令f(x)=,则f'(x)=,当x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,于是f(1)>f(1.2)>f(1.6),即f(a)>f(b)>f(c),又a,b,c∈[0,1],所以a>b>c.故选C. 令g(x)=,则g'(x)=,由f'(x)cos x+f(x)sin x>0得,当x∈时,g'(x)>0,即g(x)在上单调递增,对于A,由-<-<-<,则g<g,所以<,即f<f,可知A正确;对于B,由-<<<,则g<g,所以<,即f>f,可知B错 误;对于C,由0<<,则g(0)<g,所以<,即f(0)<f,可知C错误;对于D,由0<<,则g(0)<g,所以<,即f(0)<2f,可知D错误.故选A. 由函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,得f(x)是偶函数.-ln 2=ln<0,即<ln 2,又0<sin<sin=,则有0<sin<ln 2,由lo=2,得f=f(2),则c=lo·f=2f(2),所以0<sin<ln 2<lo.令h(x)=xf(x),由h(-x)= -xf(-x)=-xf(x)=-h(x)知h(x)为奇函数,当x∈(-∞,0)时,h'(x)=f(x)+xf'(x)<0,所以h(x)单调递减,则h(x)在(0,+∞)上也单调递减,又0<sin<ln 2<2.所以sin·f>ln 2·f(ln 2)>2f(2),所以a>b>c.故选A. 由已知,aea+1<b(ln b-1)=bln,则ealn ea<ln.设f(x)=xln x,则f(ea)<f.因为a>0,则ea>1.又b(ln b-1)>0,b>0,则ln b>1,即b>e,从而>1.当x>1时,f'(x)=ln x+1>0,则f(x)在(1,+∞)内单调递增,所以ea<,即b>ea+1.故选B. 由x2ln x-m≥0,得xln x≥,即ln x·eln x≥(x≥e),设f(t)=tet(t>0),则f(t)在(0,+∞)上是增函数,又f(ln x)≥f,所以ln x≥,即m≤xln x,又当x≥e时,xln x≥eln e=e,所以m≤e,即m的最大值是e. 构造F(x)=,则F'(x)==,又导函数f'(x)满足f'(x)<f(x),则F'(x)<0,F(x)在R上是减函数,故>>>,所以f(2)<e2f(0),e2f(-1)>f(1).故选AC. 由ex≥(a-1)x+ln(ax),可得ex+x≥ax+ln(ax),即ex+x≥eln(ax)+ln(ax),令f(x)= ex+x,则f(x)≥f(ln(ax)),因为f(x)在R上是增函数,所以x≥ln(ax),即a≤,令h(x)=(x>0),则h'(x)=,当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=e,即a≤e,所以a的最大值是e. 因为a2-3b>2ln a-ln 4b,所以a2-ln a2>3b-ln 4b=2b-ln 2b+b-ln 2.令f(x)=x-ln x (x>0),则f'(x)=1-=,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.因为a>1,b>1,所以a2>1,2b>1,b-ln 2>0,又f(a2)=a2-ln a2>2b-ln 2b+b-ln 2=f(2b)+ b-ln 2,所以f(a2)-f(2b)>b-ln 2>0,即f(a2)>f(2b),所以a2>2b.故选A. $