3.3 导数中的函数构造问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数中的函数构造问题”专题，依据高考评价体系明确了利用导数运算法则（与xn、ex、sinx/cosx结合）、变量、数值构造函数的核心考查要求，通过梳理比较大小、解不等式等常考题型，对接高考对函数单调性应用的高频考查，体现备考的针对性。 课件亮点在于“考点分类突破+典例思维建模+真题实战训练”，如例1通过构造g(x)=f(x)/x判断单调性解不等式，培养学生数学思维与模型观念，结合泰勒展开式比较数值大小等技巧，帮助学生掌握构造函数的关键方法，教师可据此系统指导学生高效突破导数难点，提升高考得分率。

第三章　一元函数的导数及其应用 3.3　导数中的函数构造问题 2027高考数学一轮总复习 1 内容索引 课时作业 关键能力　提升 考试要求 三年考情 能够利用已知条件构造对应的函数,并判断其单调性,再利用单调性比较大小或解不等式等. 2023 2024 2025             关键能力　提升 考点1 通过导数的运算法则构造函数 命题角度1　利用f(x)与xn构造函数 【例1】　定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且xf'(x)-f(x)<0,则不等式(x+2)f(2x)<2xf(x+2)的解集为__________. 【解析】　由(x+2)f(2x)<2xf(x+2),x>0可得,设函数g(x)=(x>0),可得g'(x)=.因为x>0时,xf'(x)-f(x)<0,所以g'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,原不等式等价于g(2x)<g(x+2),所以解得x>2,所以不等式的解集为(2,+∞). (2,+∞) 关键能力 提升 返回 1.出现xf'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x). 2.出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 规律总结 关键能力 提升 返回 命题角度2　利用f(x)与ex构造函数 【例2】　已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),则 (　 　) A.f(1)>ef(0) B.f(1)<ef(0) C.ef(ln 2)<2f(1) D.f(2)>ef(1) B 关键能力 提升 返回 【解析】构造函数g(x)=,x∈R,则g'(x)=<0,函数g(x)为R上的减函数.对于A,B,因为1>0,所以g(1)<g(0),即<f(0),即f(1)<ef(0),故A错误,B正确;对于C,因为ln 2<ln e=1,所以g(ln 2)>g(1),即,所以ef(ln 2)>2f(1),故C错误;对于D,因为g(2)<g(1),所以,所以f(2)<ef(1),故D错误.故选B. 关键能力 提升 返回 1.出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x). 2.出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 规律总结 关键能力 提升 返回 命题角度3　利用f(x)与sin x,cos x构造函数 【例3】　已知函数y=f(x)对x∈(0,π)均满足f'(x)sin x-f(x)cos x=-1,其中f'(x)是f(x)的导数,则下列不等式恒成立的是 (　 　) A. B.f C.f D. A 关键能力 提升 返回 【解析】令g(x)=,x∈(0,π),求导得g'(x)=,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,π)时,g'(x)<0,因此函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,π)上单调递减.对于A,0<<1,则g,即,故A正确;对于B,1<<π,则g,即f,故B错误;对于C,1<<π,则g,即f,故C错误;对于D,1<<π,则g,即,故D错误.故选A. 关键能力 提升 返回 1.F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x. 2.F(x)=,F'(x)=. 3.F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x. 4.F(x)=,F'(x)=. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练1】　(1)已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的函数,其导函数为f'(x),且不等式xf'(x)<f(x)恒成立,则下列结论正确的是 (　 　) A.3f(1)<f(3) B.3f(1)>f(3) C.f(1)<3f(3) D.f(1)>3f(3) 解析:由xf'(x)<f(x)可得xf'(x)-f(x)<0,令函数g(x)=,x∈(0,+∞),可得g'(x)=<0,即g(x)在(0,+∞)上单调递减,因此可得g(1)>g(3),即,所以3f(1)>f(3).故选B. B 关键能力 提升 返回 (2)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,f(x)+f'(x)<0恒成立,则下列结论一定正确的是 (　 　) A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3) C.e3f(2)>e2f(3) D.e3f(2)<e2f(3) 解析:构造函数g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)],因为f(x)+f'(x)<0恒成立,故g'(x)<0恒成立,因此可得g(x)在R上单调递减,由于2<3,故g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A. A 关键能力 提升 返回 (3)定义在上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且f'(x)<-tan x·f(x)恒成立,则(　 　) A.f B. C.f D. C 关键能力 提升 返回 解析:因为x∈时,cos x>0,所以f'(x)<-tan x·f(x)可化为f'(x)+ tan x·f(x)<0.设g(x)=,x∈,则g'(x)=<0,函数g(x)在,所以g,所以,即.对于A,因为f,所以f不一定成立,故A错误;对于B,因为,所以不一定成立,故B错误;对于C,f成立,故C正确;对于D,因为,所以不成立,故D错误.故选C. 关键能力 提升 返回 考点2 通过变量构造具体函数 【例4】　已知x,y为不相等的正实数,ln x+ln y=-x,则 (　 　) A.x>y B.x<y C.x+y>1 D.x+y<1 【解析】　由ln x+ln y=-x,得ln x+x=-ln y+,构造函数f(x)= ln x+x(x>0),则f'(x)=+1>0,可知f(x)=ln x+x在(0,+∞)上单调递增,结合ln x+x=ln,得x=,即xy=1,由基本不等式可知x+y≥2=2,当且仅当x=y=1时等号成立,故x+y>1.故选C. C 关键能力 提升 返回 若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练2】　已知α,β∈,且αsin α-βsin β<0,则(　 　) A.α<β B.α2<β2 C.α>β D.α2>β2 解析:构造函数f(x)=xsin x,易知其为偶函数,f'(x)=sin x+xcos x,当x∈时,sin x<0,xcos x<0,则f'(x)<0,当x∈时,sin x>0, xcos x>0,则f'(x)>0,故f(x)=xsin x在x∈上单调递减,在x∈上单调递增.又f(x)为偶函数,所以αsin α-βsin β<0,即αsin α<βsin β,等价于|α|<|β|,即α2<β2.故选B. B 关键能力 提升 返回 考点3 通过数值构造具体函数 【例5】　已知a=sin,b=ln,c=e0.02-1,则下列关系式正确的是(　 　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a D 关键能力 提升 返回 【解析】　设函数f(x)=ex-1-x(x>0),则f'(x)=ex-1.当x>0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)>f(0)=0,即ex-1>x,故e0.02-1>0.02.设函数g(x)=ln(x+1)-x(x>0),则g'(x)=<0,g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x)<g(0)=0,故当x>0时,ln(x+1)<x,即b=ln=ln 1.02<0.02,故c>b.设函数h(x)=ln(x+1)-sin(x>0),则h'(x)=,当x>0时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.故当x>0时,h(x)>h(0)=0,即ln(x+1)>sin,故ln 1.02>sin,则b>a.综上,c>b>a.故选D. 关键能力 提升 返回 当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练3】　已知a=ln,b=ln,c=ln,则a,b,c的大小关系是 (　 　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解析:构造函数f(x)=ln x+1-x,f'(x)=,当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f,即a>b>c.故选A. A 关键能力 提升 返回 泰勒展开式 1.链接教材:(人教A版必修第一册P256复习参考题5T26)英国数学家泰勒给出如下公式: sin x=x-+…, cos x=1-+…, 其中n!=1×2×3×4×…×n. 这些公式被编入计算工具,计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如,用前三项计算cos 0.3,就得到cos 0.3≈1-=0.955 337 5. 试用你的计算工具计算cos 0.3,并与上述结果比较. 教材深研 关键能力 提升 返回 2.泰勒公式 上述公式就是泰勒公式的一部分,若函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内有n+1阶导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于x-x0的多项式和一个余项的和: f(x)=f(x0)+f'(x0)·(x-x0)+·(x-x0)2+·(x-x0)3+…+·(x-x0)n+Rn(x). 其中,f(n)(x)表示f(x)的n阶导数,Rn(x)为余项. 关键能力 提升 返回 3.常见的泰勒展开式 在泰勒公式中,令x0=0,即可得到如下泰勒展开式: (1)ex=1+x++…; (2)ln(x+1)=x-+…+(-1)n+1·+…; (3)sin x=x-+…+(-1)n-1·+…; (4)cos x=1-+…+(-1)n-1·+…. 关键能力 提升 返回 4.泰勒公式的价值 泰勒公式将各种类型的函数(指数函数、对数函数、正弦与余弦函数)与多项式函数联系了起来,这样在局部可以用多项式函数近似替代其他函数,我们主要用其证明不等式及比较大小. 关键能力 提升 返回 【典例】　(一题多解)已知a=,b=cos,c=4sin,则(　 　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 【解析】　方法一　根据题意,构造函数f(x)=1-,g(x)=cos x,h(x)=,则a=f,b=g,c=h.由泰勒展开式,得g(x)=1-+Rn(x),h(x)=1-+rn(x),其中Rn(x),rn(x)为余项,则g,h,所以f,即a<b<c.故选A. A 关键能力 提升 返回 方法二　因为b=cos,所以b-a=1-2sin2.令f(x)=x-sin x,则f'(x)=1-cos x≥0,则函数f(x)在R上单调递增,故当x>0时,f(x)>f(0)=0,即有x>sin x(x>0)成立,故,得,则b>a.因为,所以令g(x)=tan x-x,x∈(0,1),则g'(x)=>0,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,故当x∈(0,1)时,g(x)>g(0)=0,即有tan x>x(x∈(0,1))成立,故tan,即4tan>1,即>1,又b>0,所以c>b.综上,c>b>a.故选A. 关键能力 提升 返回 课时作业19 1.(5分)定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)>3,f(2)=6,则f(x)>3x的解集为(　 　) A.(-∞,0) B.(-∞,2) C.(0,+∞) D.(2,+∞) 解析:令函数g(x)=f(x)-3x,求导得g'(x)=f'(x)-3,而f'(x)>3,则g'(x)>0,函数g(x)在R上单调递增.又f(2)=6,所以g(2)=f(2)-6=0,不等式f(x)>3x⇔f(x)-3x>0⇔g(x)>g(2),解得x>2,所以所求解集为(2,+∞).故选D. 基础巩固 D 返回 课时作业 2.(5分)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),满足f(x)+f'(x)>0(f'(x)为f(x)的导函数),设a=ef(1),b=e3f(3),c=e2f(2),则 (　 　) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b 解析:令g(x)=exf(x),x∈(0,+∞),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)].因为f(x)+f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.因为1<2<3,所以b>c>a.故选B. B 返回 课时作业 3.(5分)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数,f'(x)为f(x)的导函数,当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,则 (　 　) A.f(-3)<3f(1) B.f(-3)>3f(1) C.f(-3)< D.f(-3)> 解析:令函数g(x)=xf(x),而函数f(x)是偶函数,则g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)= -g(x),即函数g(x)是奇函数,当x>0时,求导得g'(x)=xf'(x)+f(x)>0,即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,则g(x)在(-∞,0)上单调递增.因为-3<-1,所以g(-3)<g(-1),即-3f(-3)<-f(-1)=-f(1),所以f(-3)>,故D正确.故选D. D 返回 课时作业 4.(5分)已知函数y=f(x)对于任意的x∈满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0 (其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是 (　 　) A. B. C.f(0)> D.f(0)>2f A 返回 课时作业 解析:设g(x)=,x∈,则g'(x)=>0,g(x)在上单调递增.对于A,,化简得,故A正确;对于B,,化简得,故B错误;对于C,,化简得f(0)<,故C错误;对于D,,化简得f(0)<2f,故D错误.故选A. 返回 课时作业 5.(5分)已知a=,b=,c=,则 (　 　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 解析:设f(x)=,则f'(x)=,当x≥2时,f'(x)<0,故f(x)在[2,+∞)上单调递减,因此,故c<b<a.故选B. B 返回 课时作业 6.(5分)定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),当x≥0时,恒有f(x)+f'(x)>0,则不等式x2f(x)<(2x-3)2f(2x-3)的解集为 (　 　) A.(-∞,3) B.(1,3) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(3,+∞) C 返回 课时作业 解析:构造函数F(x)=f(x),则F'(x)=xf(x)+f'(x)=x.∵当x≥0时,恒有f(x)+f'(x)>0,∴F'(x)≥0,即F(x)在[0,+∞)上单调递增.∵f(x)是偶函数,y=x2是偶函数,∴F(x)为偶函数,∴F(x)在(-∞,0)上单调递减.又x2f(x)<(2x-3)2f(2x-3),即F(x)<F(2x-3),∴|x|<|2x-3|,解得x<1或x>3.故选C. 返回 课时作业 7.(5分)已知f(x)=aln x+x2(a>0),若对于任意两个不相等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,则a的取值范围是 (　 　) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,3] D.[1,2e) 解析:不妨设x1>x2>0,可得f(x1)-f(x2)>2x1-2x2,可得f(x1)-2x1>f(x2)-2x2,令g(x)=f(x)-2x=aln x+x2-2x,则g(x1)>g(x2),则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,故g'(x)=+x-2≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,故a≥2x-x2,当x>0时,2x-x2=-(x-1)2+1≤1,当且仅当x=1时,等号成立,故a≥1.故选B. B 返回 课时作业 8.(5分)已知5a=2(ln 5-ln 2),b=,2c=ln 2,则a,b,c的大小关系为(　 　) A.b>a>c B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a 解析:令f(x)=,则f'(x)=≥0对任意的x∈(1,e]恒成立,故函数f(x)在(1,e]上单调递增,故f(e)>f>f(2),因此b>a>c.故选A. A 返回 课时作业 9.(8分,多选)已知e是自然对数的底数,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且+ln x·f'(x)>0,则 (　 　) A.f+f(e)>0 B.f<0 C.f(e)>0 D.f(1)=0 解析:令函数g(x)=ln x·f(x),则g'(x)=+ln x·f'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(1)=0,所以g(e)=ln e·f(e)=f(e)>0,g<0,即f>0,所以f+f(e)>0,而+ln 1·f'(1)>0,则f(1)>0,故A,C正确,B,D错误.故选AC. AC 返回 课时作业 10.(8分,多选)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0(f'(x)为f(x)的导函数),则下列结论正确的是 (　 　) A.f(2)-ln 2>f(1) B.f(4)-f(2)>ln 2 C.f(2)+ln 2>f(e)+1 D.f(e2)-f(e)>1 ABD 返回 课时作业 解析:构造函数g(x)=f(x)-ln x,x>0,则g'(x)=f'(x)-.因为xf'(x)-1>0,所以g'(x)>0,故g(x)是增函数.对于A,由g(2)>g(1)得,f(2)-ln 2>f(1)-ln 1,即f(2)-ln 2>f(1),故A正确;对于B,由g(4)>g(2)得,f(4)-ln 4>f(2)- ln 2,即f(4)-f(2)>ln 4-ln 2=ln 2,故B正确;对于C,由g(e)>g(2)得,f(e)- ln e>f(2)-ln 2,即f(e)+ln 2>f(2)+1,故C错误;对于D,由g(e2)>g(e)得,f(e2)-ln e2>f(e)-ln e,即f(e2)-2>f(e)-1,即f(e2)-f(e)>1,故D正确.故选ABD. 返回 课时作业 11.(8分,多选)若a,b为正实数,则a>b的充要条件为(　 　) A. B.ln a>ln b C.bln a<aln b D.a-b<ea-eb BD 返回 课时作业 解析:对于A,由a>b>0,得,故A错误;对于B,由函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,得ln a>ln b,故B正确;对于C,设函数f(x)=,x∈(0,+∞),f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e,则函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,故f(a)与f(b)的大小关系无法判断,即 bln a<aln b不一定成立,故C错误;对于D,设函数g(x)=ex-x,x∈(0,+∞),g'(x)=ex-1,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0恒成立,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,故g(a)>g(b),即ea-a>eb-b,故a-b<ea-eb成立,故D正确.故选BD. 返回 课时作业 12.(4分)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若xf'(x)+f(x)>2,且满足f(1)=3,则不等式x2[f(x2)-2]<1的解集为______. 解析:构造函数F(x)=xf(x)-2x,因为F'(x)=xf'(x)+f(x)-2>0,所以F(x)在R上单调递增.因为f(1)=3,所以F(1)=f(1)-2=3-2=1.x2[f(x2)-2]<1可化为x2f(x2)-2x2<1,即F(x2)<F(1).因为F(x)在R上单调递增,所以x2<1,解得 -1<x<1. (-1,1) 返回 课时作业 13.(4分)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,其中f'(x)是函数f(x)的导函数,若f(m-2 026)>(m-2 026)f(1),则实数m的取值范围是_______________.  解析:构造函数g(x)=,其中x>0,则g'(x)=<0,函数g(x)=在(0,+∞)上单调递减,由f(m-2 026)>(m-2 026)f(1)可得>f(1),即g(m-2 026)>g(1),故0<m-2 026<1,解得2 026<m<2 027. 因此,实数m的取值范围是(2 026,2 027). (2 026,2 027) 返回 课时作业 14.(5分)已知函数f(x)在定义域上为偶函数,并且x≥0时, cos xf'(x)≥sin xf(x)(f'(x)为f(x)的导函数),若f=2,则不等式f(x)<. 返回 课时作业 解析:由题意知,当x≥0时,cos x·f'(x)≥sin xf(x),即cos xf'(x)+f(x)(cos x)'≥ 0,因此[f(x)·cos x]'≥0,令函数F(x)=f(x)cos x,则F(x)在上单调递增.又由f(x)在上为偶函数,可得F(-x)=f(-x)·cos(-x)=f(x)cos x=F(x),所以函数F(x)=f(x)cos x在上为偶函数,且在 =2,所以F时,cos x>0,所以f(x)<,即F(x)=f(x)cos x<1,即F(x)<F,则|x|<,解得-,故不等式f(x)<. 返回 课时作业 15.(5分)设a=e0.125,b=,c=2ln 3-3ln 2,则 (　 　) A.b<c<a B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 解析:令函数f(x)=ex-x,x>0,求导得f'(x)=ex-1>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,因此f(0.125)>f(0)>0,即e0.125->0,则a=e0.125>=b.令函数g(x)=ln(x+1)-x,x>0,求导得g'(x)=-1<0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,因此g<g(0)=0,即ln<0,则c=2ln 3-3ln 2=ln=b.综上,c<b<a.故选B. 1 素养提升 B 返回 课时作业 16.(8分,多选)下列不等关系正确的有 (　 　) A.πln 2>2ln π B.ln 3<ln 2 C. 解析:令f(x)=,则f'(x)=,当0<x<e时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.对于A,因为e<π<4,函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,所以f(4)<f(π),即,又因为,所以,即πln 2<2ln π,故A错误;对于B,因为<2<e,函数f(x)在(0,e)上单调递增,所以f()<f(2),即,则2ln ln 2,故B正确;对于C,因为2<e,函数f(x)在(0,e)上单调递增,所以f(e)>f(2), BCD 返回 课时作业 即,则>ln 2,ln >ln 2,故>2,故C正确;对于D,由函数f(x)的单调性可知f(e)>f(),即,即3eln 2<4,故D正确.故选BCD. 返回 课时作业 本课结束 $