福建福州市福九联盟2025-2026学年第二学期高三5月适应性练习数学试卷

2025-2026学年第二学期高三5月适应性练习 数学科试卷 考试时间：5月27日 完卷时间：120分钟 满 分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 的 1. 若= 2+i 则= 5 A. B. .3 D.5 5 3 2.U={X EN|x≤4}，(CA)UB={L,3,4},则(CB)∩A= A.{2} B.{0,2 C.{1,3,4} D.{0,1,2,3,4} 3. 在△ABC中，点D满足BD=2DC,E为AD的中点，则EB= A.AB+5AC B.5AB+TAC C.AB-5AC D. 5AB-AC 6 4. 记Sn为数列 的前n项和，则Sn最小时，n的值为 2n-19 A.8 B.9 C.10 D.11 5. 已知 +sin2θ-cos28 =5,则tane+ 1+sin 20+cos 20 恒 A.2-V5 B.2+5 C.-2-√3 D.-2+5 6. 已知3=4=6，若+12=0，则k= a b c A.0 B.1 C.2 D.3 7. 已知⊙0：x2+y2=4与⊙C交于A,B两点，且四边形OACB的面积为2√3，则 ⊙C的方程不可能是 A.(x+3)2+(y+V3)2=4 B.(x-V3)2+y+3)2=4 C.(x+√2)2+(y-√2)2=4 D.(x-1)2+(y+√2)2=4 高三数学试卷-1-（共5页) 8.△ABC中，∠C=90,设I为△ABC的内心，AI=√2B1,则 CI A.√2 B.Vio c.5 D.V10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9. 已函数()=sin(®x+叭@>0，m<)的部分图象如图1所示，A 分别为图象与x轴，y轴的交点，则 2 A.=2 B.f(x)在[4,6]上不单调 C.点 0]为1的对称巾心 图1 D.将f图象上各点的横坐标缩知到原来的，得到函数y=c0- 3π 的 图象 10.在棱长为2的正方体ABCD-ABC,D中，E为BC的中点，点P在线段D,E上， 则 A.当点P为DE的中点时，DP在DC上的投影向量的模为1 B。三棱锥A-ABP体积的最大值为号 C.对于任意点P,都有AP⊥AB D.点P到直线CG的距离的最小值为 5 11.定义在R上函数f(x)与g(x)满足：f(x+y)=f(x)8(y)+g(x)f(y),8(x+y) =f(f(y)+g(x)8(),8(0)≠行，8(x)为偶函数，且g(x)>0恒成立，已知 f(2)+8(2)=2,则 高三数学试卷-2（共5页) A&0=-1Bf()为偶函数Cf(2)-8(2)=)Df图)-g8)=16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.若通数f(-十为奇函数则a 13.已知五个整数的平均数为10，方差为，按从小到大的顺序写出一组满足条件 的五个整数 x2,y2 14.已知椭园C:。+行=1a>b>0的右焦点万与抛物线C,的焦点重合，C的中 心与C,的顶点重合，E是椭圆C的左焦点，M是C与C,的公共点，若 ∠MF,E>∠EMF,,则椭圆的离心率的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. （1B分)已知/（✉）=ac-三，f()在(0a)处的切线方程为y=X+b 15. (1)求a、b的值： (2)判断f(x)的零点个数 16.(15分)以下是面点师拉面中“对折拉伸”过程的简化数学模型：如图2，在 数轴上截取与闭区间[0,4]对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合） 再均匀的拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如图2所示：在 第一次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上的点的坐标为2、与2重 合的原闭区间上的点的坐标为1、3)，不断重复这样的操作 (1)求在第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间[0,4]上（除两个端点 外)的点的坐标： (2)用集合表示在第n次操作完成后(n≥1)，恰好被拉到与4重合的原闭区间[0,4] 上（除两个端点外)的点的坐标（此步无需给出严格的推理论证），并记该集合中 所有的元素的和为S.,求使得S,>1024成立的n的最小值 原0 原1 1次操作 原4 原3 原2 2 图2 高三数学试卷3（共5页） 17.(15分)在平面直角坐标系x0y中，点P与M(2,0)的距离和P到1：x=的距 离之比是2，点P构成的轨迹为C (1)求C的方程： (2)设点2在直线1上，过Q的两条直线1和1，与轨迹C都只有一个交点，分别为 R与S,是否存在Q点使得∠RQS=60°.若存在，求出Q点坐标，若不存在，说 明理由 18.（17分)蜂巢（图3）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有 着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈 谈与蜂房结构有关的数学问题》.用数学的眼光去看蜂房的结构，如图4在正六 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的三个顶点A、C、E处分别用平面BFM,平 面BDO,平面DFN截掉三个相等的棱锥M-ABF,O-BCD,N-DEF,平 面BFM,平面BDO,平面DFN交于一点P,则这三个平面与正六棱柱的侧面 与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构.已知A'B'=4,BB'=20 (1)求该正六棱柱内半径最大的球的体积： (2)判断四边形MFPB是否为菱形，并证明你的结论： (3)求当蜂房结构的表面积最小时，求平面MFPB与平面FBD所成的锐二面角的 正切值 图3 图4 高三数学试卷-4（共5页) 19.(17分)设m为不小于3的正整数，记有限集U={1,2,3,…,m},若存在U的两 个非空真子集A,B,满足：①AUB=U;②A∩B=☑；③A中所有元素的和 与B中所有元素的和相等，则称A,B为一对平衡互补子集，并称A,B中任意一 个为平衡子集约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集不纳入统计，记满 足条件的平衡互补子集的总对数为f(m) (1)当m=7时，从集合U={1,2,3,…,7}的所有非空真子集中随机抽取一个，求 该子集是平衡子集的概率： (2)设k∈N,记m=4k-1,求证：f(4k-1)≥4-： (3)设m=4k-1,从集合U={1,2,3,…,4k-1}的所有非空真子集中，每次等可能 抽取一个独立重复抽取k次，记至少一次抽到平衡子集的概率为Q,,证明： Q74+k 高三数学试卷-5-（共5页） 高三数学试卷6-（共5页）报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 可价 2025一2026学年第二学期高三5月适应性练习数 学科答题卷 座号： 姓名： 准考证号 班级： [0] [o] [0] [0] [0] [o] [0] [1 [1] 1] [1] [1] [1] [1] 盟 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] 31 [3] [3] [3] [3] [4] [4] 4] 4] [4] [4] [4] [4] [51 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] (6) 正确填涂■缺考标记 ▣ [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(1~8为单选题；911为多选题) 1[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 囚囚■ 16. 囚囚■ ■ ■ 18 图5 I 1 I 囚■囚 囚■囚 6I ■ 口 ■2025-2026学年第二学期高三5月适应性练习 数学科参考答案 日期：2026.05.28完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1若=2+则 A.⑤ B. 3 C.5 5 D.√5 3 【答案】A 2+i2+i4-2 2.U={x∈N|x≤4}，(CAUB={1,3,4,则(C,B)∩A= A.{2}B.{0,2} C.{1,3,4 D.{0,1,2,3,4} 【答案】B 【详解】由己知得U={0,1,2,3,4},由Venn图可知(CB)A=C.[(CA)UB]={0,2}. 3.在△ABC中，点D满足BD=2DC,E为AD的中点，则EB= A+cB+cCc.名-c 6 6 【答案】D 【详解】EB=B团+AB=AD+AB=AG+号AC+A-名6-AC. 3 4.记数列 1 的前n项和Sn,则Sn最小时，n的值为 2n-19 A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】B 【详解】当n<9.5时，了 <0:当n>9.5时，。1>0：故当n=9时，Sn最小 2n-19 2n-19 52am938-5,则o） A.2-√5 B.2+5 C.-2-√5 D.-2+√5 【答案】C 高三数学试题（第1页共16页） 【详解】1+sn29-cos20-2sin86sin9+cos②-an0=5, 1+sin 20+cos20 2cose(sin0+cos0) tan B+交 tan0+1 3+1 4 1-tan8-l-√5 -2-5 6. 已知9=49=6，若k+12=0,则k= a b c A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】c 【详解】令3=4=6=t,则有a=log3t,b=log4t,c=1og6t, g3.名log4,-he6,合+分名-khg3+log,4-2e,6-bg4x3） a a b c -l0g36=0,故k=2. 7.已知⊙0：x2+y2=4与⊙C交于A,B两点，且四边形OACB的面积为2√3，则⊙C的方程 不可能是 A.(x+3)2+(y+V3)2=4 B.(x-3)2+(y+3)2=4 C.(x+√2)2+(y-√2)2=4 D.(x-1)2+(y+2)2=4 【答案】D 【详解】由选项可知四边形OACB为菱形， 故S四边形OACB= 1 r2sin∠AOBx2=4sin∠AOB=2W3, 2 即sin∠AOB= 故∠A0B=60或120°， 2 当∠AOB=60时，OC=2W3,故AB符合条件； 当∠AOB=120时，OC=2,故C符合条件： 故选D 8.△4BC中，∠C=90,设1为△ABC的内心，A1=√2B1,则A-() CI A.√2 B.Vi0 C.5 D.10 2 【答案】C 【详解】设△ABC的内角分别为A,B,C,内切圆半径为r, 高三数学试题（第2页共16页） 由内么的性质可得∠AB-子一BA 2 AB_180-C=45°， 22 2 由正弦定理可得2x sin ,即 2x 2 sin45°- 2 化简得3sin=cos,即am=,故 2 12-3 2√0 而a=岩-6 CI V 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数f()=sin(or*列0>0< 的部分图象如图1所示， 分别为图象与x轴，y轴的交点，则 B.f(x)在[4,6]上不单调 图1 C.点 二，0为f(的对称中心 D.将f)图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数y=cos 3 的图象 【答案】ABD 【详解】已知f(=sin(or+pj(o>0,l<,过B0,-5,得 f0-m珍-5，出于M<子得0=子 4 过A店0，且A是最高点之后的第个点，满足心子，解得@-分 24 因此f-sm-到 对于选项A,四=子，A选项正确： 高三数学试题（第3页共16页） 对选项B,,子[不 f(x)在该区间上不单调，B选项正确： 对于透项Cf)m〔)山，点〔不为的对称中心，c选项不正 确： 将f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到 选项D正确. 10.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为BC的中点，点P在线段DE上，则下列 说法正确的是() A.当点P为DE的中点时，DP在DC上的投影向量的模为1 B三楼推A-A8P体积的最大值为号 C.对于任意点P,都有AP⊥AB, D.点P到直线CC的距离的最小值为5 【答案】BC 【详解】对于选项A,DP在DC上的投影向量，DC,模为√2，A选项不正确： 对于选项B,设点P到平面AAB的距离为h, 所以4m-火m子式aA-号A4a-学2x2h 3 又点P在线段DE上运动，所以1≤h≤2， .4 以V4=Y名h3所以三棱锥A-ABP体积的最大值为，B选项随 对于选项C,以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由棱长为2， 所以A(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,2),E(1,2,0),C(0,2,2),B（2,2,2), 高三数学试题（第4页共16页） 由DE=(1,2,-2),AD=(-2,0,0), 设DP=DE,0≤≤1， 所以AP=AD+D,P=(-2,0,0)+元(1,2，-2)=（-2+，21，-22)， AB=(0,2,2),所以AP·AB=0×(-2+元)+2×22+2×(22)=0， 所以对于任意点P,都有AP⊥AB,C选项正确： 对于选项D,由CD=(0,-2,0),所以 CP=CD+D,P=(0,-2,0)+(1,2,-2)=(2,21-2,-2), 所以点P到直线CC,的距离为 4- C.P.CC =V522+(2-2)2-(-22)}2=V52-8元+4 当且仅当1=时，等号成立，枚点P到直线CC的最短距离为25 故选：BC 11.定义在R上函数f(x)与8(x)满足：f(x+y)=f(x)8(y)+8(x)f(y), 8x+)=f()f)+g(x)8(,8o)=分8()为偶函数，且g()>0恒成立，己知 f(2)+8(2)=2,则() A.g(0)=1 B.f(x)为偶函数 f2-82= D.f(8)-g(8)=-16 【答案】AC 【解析】当x=y=0,有f(0+0)=2f(0)g(0),即f(0)[2g(0)-1=0, 又g0)=2·280)1≠0，·f0)=0, 8(0+0)=f2(0)+g2(0)=g2(0), 高三数学试题（第5页共16页） 又：8(x)>0,∴.8(0)>0，.8(0)=1，故A正确， 0=f(x-x)=f(x)g(x)+8(x)f(-x),即g(x)[f(x)+f(-x)]=0 又g(x)>0,.f(-x)=-f(x),∴.f(x)为奇函数，故B错误： 1=8(x-x)=f(x)f(-x)+8(x)g(-x)=g2(x)-f2(x), ∴[(x)-8(x)][f(x)+8(x]=-1, f-27石宁放c确 -1 f(x+1)=f(x)8(1)+g(x)f(), 8(x+1)=f(x)f(I)+8(x)8(1), f(x+1-g(x+1)=f(x)儿8()-f(1)]+g(x)儿f()-8()], =[f(x)-8(x)][8(1)f(1)],令8(1)f(1)=q, ·12)-8(2)=[/o)-8(o]小g,解得-号-1xg, 1图)-g(图)-[fo0)-g1o-1k[固名校D错误 法2：构造符合条件的函数f(x)= 22-2 一8(x)=2 2+22 2一，代入可排除错误选项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若函数f(2 2+0为奇函数，则a= 【答案】a=1 2+a2+a_1-a2+(a-D=0,解得a=1. 【详解】x+0,f()+()=22 2-1 13.已知五个整数的平均数为10，方差为，按从小到大的顺序写出一组满足条件的五个整 数 【答案】9,9,10,10,12.或8,10,10,11,11. 【详解】略 高三数学试题（第6页共16页） 4,已知椭圆C￡+1@>h>0)的右焦点E与抛物线C,的焦点重合，C的中心与C,的 顶点重合，E是椭圆C的左焦点，M是C,与C,的公共点，若∠ME,E>∠EME，则椭圆 的离心率的取值范围为 【答案】 【详解】过E作x轴的垂线l,过M作l的垂线，垂足为N cos∠MfF2=cos∠NME,设ME=,MF=MW=2a-i 由余弦定理得+4c2-252c.20-1=(2a-, 化简得= a+2ac-c2 a+c 由ME,F>EME,可得F>2c, 1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知f(x)=ae*- 'f(四在(0，a)处的切线方程为y=x+b. x (1)求a、b的值： (2)判断f(x)的零点个数， 【详解】 (I)由已知可得f'(x)=ae-x, 。。。。…。。。2 f'(0)=a=1, …3分 又有a=0+b,故b=1;…4分 (2)f'(x)=e-x, 高三数学试题（第7页共16页） 令g(x)=e-x,8'(x)=e-1, 6分 ∴.当x=(-0,0)时g'(x)<0,8(x)单调递减， …7分 当x=(0,+o)时g'(x)>0,g(x)单调递增， …8分 .g(x)min=g(0)=1,… …9分 ∴.f'(x)>0,.f(x)单调递增， …10分 义o0,(-0 …11分 .x∈(-l,0)使得f()=0… .…12分 故f(x)只有一个零点.… …13分 16.(15分) 以下是面点师拉面中“对折拉伸”过程的简化数学模型：如图2，在数轴上截取与闭区间 [0,4]对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀的拉成4个单位长度的 线段，这一过程称为一次操作（如图2所示：在第一次操作完成后，恰好拉到与4重合的 原闭区间上的点的坐标为2、与2重合的原闭区间上的点的坐标为1、3)，不断重复这样 的操作 (1)求在第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间[0,4]上（除两个端点外）的点 的坐标 (2)用集合表示在第n次操作完成后(n≥1)，恰好被拉到与4重合的原闭区间[0,4]上（除两 个端点外)的点的坐标（此步无需给出严格的推理论证），并记该集合中所有的元素的和为 Sn,求使得Sn>1024成立的n的最小值 原0 原1 1次操作 原4 原3 原2 0 图2 【详解】(1)，3,5,7 。。·。。”。··。。。。。。。。。。。。··。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2 22 2 (2) {=23 …7分 2-2 2-2++ 2”-1 2-2 …9分 1+2”-1小×2-1÷2 2m-2 …11分 高三数学试题（第8页共16页） 2”.2n-1 =2…13分 2n-1 2>1024,解得n的最小值为11.…15分 17.（15分) 在平面直角坐标系xO中，点P与M(2,0)的距离和P到1：x=二的距离之比是2，点P构 成的轨迹为C. (1)求C的方程： (2)设点Q在直线1上，过Q的两条直线l,和L,与轨迹C都只有一个交点，分别为R与S, 是否存在Q点使得∠RQS=60°.若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由. 【详解】 （)设Px,由己知可得2P+y=2引 …2分 化简可得P的轨迹方程为x-上 =1 …5分 3 2》此题中直线斜幸然行在，故设与C相的直线方程为y一1-》 …6分 不妨记为y=kx+m,其中m=1一2 y=kx+m 联立 x-少-1可得(3-k)r-2%m-m2-3=0, …7分 3 △=4k2m2+43-k2)(m2+3=12(m2-k2+3)=0, …8分 即m2-k2+3=0, …9分 代入可得12 -k2+3=0, 化简可得32+4k-4t2-12=0,…10分 △=(4)2+4×3k2(412+12)>0, 高三数学试题（第9页共16页） 其两个根恰为直线QR,QS的斜率k,k2, 故有人6= -(42+12) …11分 16r2 4412+12)×3 an∠RQs= k-k2 N+广-4k 9 …13分 1+kk2 1+kk2 3-4t2+12） 3 4 <5,. .4 。。。。。。 …14分 V42+93 故不存在Q点使得∠R0S=60°.…15分 18.(17分) 蜂巢（图3）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理， 我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》， 用数学的眼光去看蜂房的结构，如图4在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的三个顶点 A、C、E处分别用平面BFM,平面BDO,平面DFN截掉三个相等的棱锥M-ABF, O-BCD,N-DEF,平面BFM,平面BDO,平面DFN交于一点P,则这三个平面与 正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构.已知A'B'=4,BB'=20 (1)求该正六棱柱内半径最大的球的体积； (2)判断四边形MFPB是否为菱形，并证明你的结论： (3)求当蜂房结构的表面积最小时，求平面MFPB与平面FBD所成的锐二面角的正切值， 图3 高三数学试题（第10页共16页) 图4 【详解】 (1)当球与棱柱的六个侧面相切时，球的半径为2√5， …1分 而当球与棱柱的上下底面相切时，半径为10 10>2W5, .…2分 故该六棱柱内体积最大的球的半径为2√， …3分 故其体积为32√5π： (2)四边形MFPB是菱形， 证明如下： 连接MO,FD,FD',A'C', .MA'/1OC', ∴.MOC'A'为平行四边形， .MO//A'C,…4分 同理可得FD/IF'D', 又A'C'IIF'D', ∴.FDIIMO ∴.MODF为平行四边形， 故FM/1DO,… 分 又FM￠平面BODP, .FM//平面BODP,…6分 高三数学试题（第11页共16页) 又FMC平面MFPB,平面MFPB∩平面BODP=BP,…7分 故FM/BP,… 8分 同理可得MB//FP, 又MF=MB, 故四边形MFPB为菱形 …9分 (3)取FB中点K,连接AK、MK, 由△MFB,△AFB为等腰三角形， 可得AK⊥FB,MK⊥FB, .∠AKM为平面PFMB与平面FBD所成的锐二面角的平面角…I0分 设tane=AM、AM AK 2 COS0= MKMK AM=2tane,MK=-2 cosθ 5.wr-PMBF-3483 1 …11分 2cosθ cosθ Sr=20MA1+FF）×Fa刘 =2(20+20-2tan0）=80-4tan0.......…12分 5表-3 8v5 +6×(80-4tan8)+24W3 cose 24524sin8 +480+24V5 cose cosθ 24(3-sine +480+24V5 cosθ E-24xSin6-V3480+243,tan9∈010…13分 cosθ 法1： S表=-24xsin0-V5 +480+243 cos0 1+t2’c0s6=1t2 2t 令sine= 1+2 高三数学试题（第12页共16页) 2t -5 S表=480+24V5-24×1+ …14分 1- 1+t2 =480+245-24×-V32+21-V5 1-2 -480+24w5-245 2t-2W5 2-1 =480+ 48 .…15分 t-5+ t-5∈(-5,1-5) ,5+25s22+25 0<1-5+2 故当t-V5=2 时 1-3 即t-5=-√2时 即t=√5-2…16分 2 tan 2(5-2) tan 5-反-2<10 1-tan291-(5-26-22 故当蜂房结构的表面积最小时，平面MFPB与平面FBD所成的锐二面角的平面角O的正 切值为 …17分 2 法2： 令y sine-3 可视为S(cosB,sin)与R(0,√3)两点连线的斜率，.…14分 cosθ-0 即圆x2+y2=1在第一象限内的一点S与R(0,√3)两点连线的斜率， 由图形可知，当直线S与圆相切时，斜率取得最大值，…15分 高三数学试题（第13页共16页) yN R0,√3) S(cose,sine) 函数S表=-24×sin6-V5 +480+24√3取得最小值， cose 由图可知，此时tanO= √2 <10, …16分 2 故当蜂房结构的表面积最小时，平面MFPB与平面FBD所成的锐二面角的平面角O的正 切值为 ..17分 2 19.(17分) 设m为不小于3的正整数，记有限集U=1,2,3,…,m},若存在U的两个非空真子集A,B, 满足：①AUB=U;②A∩B=O;③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称 A,B为一对平衡互补子集，并称A,B中任意一个为平衡子集约定：不计顺序互换视为同 一对，空集、全集不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为f(m (1)当m=7时，从集合U={1,2,3,…,7}的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是 平衡子集的概率； (2)设k∈N,记m=4k-1,求证：f(4k-1)≥4-1； (3)设m=4k-1,从集合U={1,2,3,,4k-1}的所有非空真子集中，每次等可能抽取一 个独立重复抽取k次，记至少一次抽到平衡子集的概率为Q.，证明：Q>4十k 【详解】(1)当m=7时，集合U={红2，，7乃的元素总和为：S,=7×8=28, 2 平衡互补子集的所有元素的和相等，因此平衡子集中所有元素和必须为23 2 -14, …1分 U的非空真子集总数为：2-2=126， …2分 高三数学试题（第14页共16页) 所有和为14的非空真子集为{1,6,7}，{2,5,7}，{3,4,7}，{3,5,6，{1,34,6，{2,3,4,5}， {1,2,5,6},{1,2,4,7}共8个子集， …3分 该子集是平衡子集概率为8=4 …4分 12663 (2)当k=1时，m=3,集合U={1,2,3},其平衡子集为1,2}与{3}，故f(3)=1, …5分 当k=t时，平衡互补子集总对数为f(41-1),集合U,={1,2,…,41-1}, 而当k=1+1时，U+1={1,2,…,41-1,41,41+1,4t+2,41+3}可看作在U,={1,2,…,4-1}的基 础上，新增加了4个元素：4t,4t+1,4t+2,4t+3, 对于U,中的每一对平衡互补子集A,与B,可构造U中的4对平衡互补子集： ①A,U{4t,4t+3}与BU{41+1,4t+2}, ②AU{4t+1,4t+2}与BU{4t,41+3},…6分 ③不妨设1∈A,A剔除元素1得到A,则AU{4t+1,4t+3}与B,U{1,4t,4t+2},… …7分 ④不妨设2∈A,A,剔除元素2得到A,则AU{4t+2,4t+3}与B,U{2,4t,4t+1),… …..8分 由于以上四对平衡互补子集互不重复，且均为U,中的平衡互补子集， 因此可得：了4+3到≥4+f4-,即+3≥4， …9分 f(41-1) 故有f4k-)=4-.f4k-5四.f亿之4，即不等式成立： .10分 f(4k-5)f(4k-9)f(7)f(3) (3)m=4k-1时，集合U的非空真子集总数为2-1-2 平衡子集个数为2f(4k-1)(每对平衡互补子集对应2个平衡子集)， 因此单次抽取到平衡子集的概率P=,平衡子集个数。 2f(4k-1) 非空真子集总数一24-1-2 由(2)可知f(4k-1)≥4，代入可得P=2f(4-、241 24k-1-2 24-1= ’…11分 高三数学试题（第15页共16页) a=1-0-p>1-1j …12分 令g(x)=(1-x)(1+),0<x<1,keN. g'(x)=-k(1-x-(k+1)x<0,…13分 g(x)在(0,1)严格递减，g(x)<8(O)=1, …14分 故-矿太 …15分 4 Γ4+k …16分 01>1 …l7分 高三数学试题（第16页共16页)