微专题拓展01 集合新定义问题（讲义）-2027届高考数学一轮总复习（新高考）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合新定义问题，整合陌生定义、创新运算、拓展性质及多知识点整合四大核心题型，按“解题方法总结—重难点题型梳理—课后拓展精练”逻辑架构知识体系，通过考点分类解析、解题策略指导、高考真题演练等环节，帮助学生构建集合创新题的解题框架。 讲义以“数学思维”和“数学语言”为核心，创新采用“定义解构—规则应用—多题归一”教学策略，如在“完全集合”题型中引导学生通过子集和验证培养逻辑推理能力，在创新运算题型中设计阶梯式例题训练知识迁移。设置分层精练题组配合即时方法总结，确保学生高效掌握解题关键，为教师提供清晰的复习进度把控方案，助力提升学生高考实战能力。

微专题拓展01 集合新定义问题 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 3 题型一：集合陌生定义 3 题型二：集合创新运算 4 题型三：集合拓展性质 5 题型四：多知识点整合问题 7 03 课后拓展精练 9 集合创新题型主要分为三类，核心是依托旧集合知识，结合全新定义创设出题情境。其一为新概念题型，通过重新定义集合或集合内要素，基于原有集合知识点创新出题；其二是新运算题型，题目给出专属集合全新运算规则，需结合常规数学运算与逻辑推理完成解题；其三是新性质题型，依托集合原有性质衍生全新性质，在新场景中结合旧性质推导论证。 这类题型均通过新定义、新运算、新模型搭建陌生情境，核心考查知识迁移与阅读理解能力。解题时无需固有思维解题，需耐心研读题干，精准把握新定义、新规则的核心特征与性质，严格依照题目规则逐条分析、运算、验证，灵活结合所学集合知识，完成陌生题型的解答。 题型一：集合陌生定义 例1．（多选题）（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）对于由个正整数组成的集合，设为集合中所有元素的和，定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合是“完全集合”．下列说法正确的是（   ） A．是完全集合 B．对于确定的正整数，能使所有元素从小到大成等差数列的完全集合是唯一的 C．若，则是完全集合 D．若是完全集合，且，则中的元素个数的最小值为10 例2．（多选题）（2026·福建厦门·二模）设正整数，其中，定义．设集合，从中随机选取一个元素，记为，则（   ） A． B．中的元素个数为36 C． D． 例3．（多选题）（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（    ） A．若集合，则 B．若集合，则 C．若集合，则 D．记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为的最大值为，则 变式1．（2026·山东·模拟预测）对于集合，定义，若 ，则称为理想集．例如，不是理想集，而是理想集． (1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由； ①；②；③． (2)若存在个非空理想集，，…，，且，使得 ，则称是可分的，记． （i）证明：； （ii）证明：． 题型二：集合创新运算 例4．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 例5．（多选题）（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A． B． C．中所有元素的平均数为191 D．中所有元素的和为3008 例6．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 变式2．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 题型三：集合拓展性质 例7．（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 例8．（2026·北京西城·二模）给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 例9．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知集合.对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义.（约定）． (1)若，，求和； (2)若满足且，求的所有可能结果； (3)是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由． 变式3．（25-26高三下·北京·开学考试）设为正整数，集合，对于集合中的任意两个元素和，定义．若集合中的元素组成的序列满足，则称为序列． (1)若，求，并写出一个使得； (2)当时，是否存在一个序列，满足，，？若存在，请写出；若不存在，请证明； (3)给定，若，，为序列，且序列中元素两两不同，求的最大值． 题型四：多知识点整合问题 例10．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，已知集合，给出下列四个结论： ①当时，则是一条直线； ②当时，点到原点的距离存在最小值，不存在最大值； ③当时，则所有满足的点所构成的区域面积为； ④当时，已知集合，则集合； 其中所有正确的结论是_______． 例11．（2026·上海徐汇·二模）设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则. 则正确的选项是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 例12．（25-26高三下·北京·阶段检测）对于函数，定义集合，函数在上单调递增是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4．（2026·上海黄浦·二模）在空间直角坐标系中，将点集所表示的立方体的表面满足的部分记为S，同时满足“”与“或”的点P的集合所表示几何体的体积为______． 变式5．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知无穷等比数列的公比为，设集合，其中为正整数．若，且对于任意，集合是闭区间，则的取值范围为________． 1．（24-25高三上·陕西·期中）已知集合，记，则（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为2046 C．当为偶数时，中有个元素 D．当为奇数时，中的元素之和为 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数，则________． 3．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）对于n元由0，1组成的有序数组，定义距离1为两个数组对应位置数字不相同的位置个数；对于非空整数集合M，N，定义距离2为满足M中每个数与N中数的差值的绝对值的最小值、N中每个数与M中数的差值的绝对值的最小值均不超过该数值的最小非负整数. 若有两组0，1数组，另一组中间数组与二者的距离1均为2，则两组原数组的距离1的最大值为_________；若整数集合A，B的距离2为3，B，C的距离2为2，则A，C的距离2的所有可能取值为_________． 4．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合共有个三元子集.任意一个三元子集，定义.则__________. 5．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 6．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，且，定义这个集合的“复合乘幂和”：，其中，设表示集合的所有非空子集的“复合乘幂和”的总和，则______． 7．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 8．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记． ①已知，，且，则； ②已知，，则存在实数a，使得； ③已知，若，则对任意，都有； ④已知是等比数列的前n项和，，则存在等比数列，使得． 其中所有不正确的命题是______． 9．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 10．（2026·陕西·模拟预测）已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______. 11．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 12．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知正实数数列：，对任意的，记，令集合，；记集合． (1)若：1，，，直接写出和； (2)若，且满足，求集合的元素个数的最小可能值； (3)若，证明：集合中至少含有46个元素． 13．（2026·北京房山·二模）由个实数组成的有序数组称为维向量．维向量，，当且仅当时，．对任意，定义：；．设集合为偶数．令集合存在，使得，． (1)写出集合的所有元素； (2)判断与是否属于集合，并说明理由； (3)若，求证：“”的充要条件为“为偶数，且”． 14．（25-26高二下·北京·期中）已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. (1)若，写出的值； (2)当时，若恒成立，求证：； (3)对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 15．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 16．（25-26高三下·上海浦东新·期中）对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，且，求函数的解析式； (3)若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 17．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得． (1)若，，且，求； (2)证明：对于任意，都有； (3)若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 18．（25-26高三下·河北·开学考试）已知，，，其中，． (1)设，证明：． (2)求中所有元素之和． 19．（2026·北京石景山·一模）已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合：其中是有序数对．集合和中的元素个数分别为和． (1)检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； (2)对任何具有性质的集合，证明：； (3)判断和的大小关系，并证明你的结论． 20．（2026·河北石家庄·一模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)记函数的极小值点为，若满足，设集合，，其中表示不大于的最大整数. （i）求和的表达式，并判断1，2，3，4，5，6与集合的关系（参考数据：）； （ii）定义：若集合满足：，且，则称集合是正整数集的一个“互补覆盖”，求证：集合是正整数集的一个“互补覆盖”. 21．（2026·北京密云·一模）已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题拓展01 集合新定义问题 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 3 题型一：集合陌生定义 3 题型二：集合创新运算 6 题型三：集合拓展性质 10 题型四：多知识点整合问题 14 03 课后拓展精练 19 集合创新题型主要分为三类，核心是依托旧集合知识，结合全新定义创设出题情境。其一为新概念题型，通过重新定义集合或集合内要素，基于原有集合知识点创新出题；其二是新运算题型，题目给出专属集合全新运算规则，需结合常规数学运算与逻辑推理完成解题；其三是新性质题型，依托集合原有性质衍生全新性质，在新场景中结合旧性质推导论证。 这类题型均通过新定义、新运算、新模型搭建陌生情境，核心考查知识迁移与阅读理解能力。解题时无需固有思维解题，需耐心研读题干，精准把握新定义、新规则的核心特征与性质，严格依照题目规则逐条分析、运算、验证，灵活结合所学集合知识，完成陌生题型的解答。 题型一：集合陌生定义 例1．（多选题）（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）对于由个正整数组成的集合，设为集合中所有元素的和，定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合是“完全集合”．下列说法正确的是（   ） A．是完全集合 B．对于确定的正整数，能使所有元素从小到大成等差数列的完全集合是唯一的 C．若，则是完全集合 D．若是完全集合，且，则中的元素个数的最小值为10 【答案】ABC 【解析】对于A，容易验证，都可以被中的元素及其和覆盖到， 符合完全集合的定义，故A正确； 对于B，根据完全集合的定义，必存在，则， 要使中元素从小到大成等差数列，只能是，因此这样的完全集合是唯一的，故B正确； 对于C，设中的元素从小到大依次为，由于，而， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 因为，所以，易知该集合是完全集合，故C正确； 对于D，要使完全集合的元素尽可能少，需要让每个元素尽可能“高效”地覆盖连续的正整数， 设中的元素从小到大依次为， 最优的策略：令表示前项和），即，， 此时， 即只有10个元素不满足条件，只需再加上1003， 即， 此时有，且都可以被中的元素及其和覆盖到， 因此中的元素最少有11个，故D错误． 例2．（多选题）（2026·福建厦门·二模）设正整数，其中，定义．设集合，从中随机选取一个元素，记为，则（   ） A． B．中的元素个数为36 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，所以，所以，正确； 对于B，中的元素个数为，错误； 对于C，设，中满足元素如下： 因为，所以以的大小作为分类依据， 时，，，，， ，，，共有7个， 同理时有8个，时有9个，所以，正确； 对于D，集合中所有元素和为， 所以，正确. 例3．（多选题）（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（    ） A．若集合，则 B．若集合，则 C．若集合，则 D．记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为的最大值为，则 【答案】AC 【解析】选项A， ，A正确； 选项B，解方程得：， 二次方程判别式，无实根，故集合，模，B错误； C选项，设，求导得， 时，递增；时，递减； 最大值，且，因此一个零点； 又，因此另一个零点， 则，C正确； 选项D，集合元素差为或，均小于，因此可将按每个数分为一组，组间不产生符合条件的差，只需每组取最大和即可， 时，中，要使元素和最大，选，满足条件，最大和； 每组（第组，）的和为，因此时总和： ， ，D错误. 变式1．（2026·山东·模拟预测）对于集合，定义，若 ，则称为理想集．例如，不是理想集，而是理想集． (1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由； ①；②；③． (2)若存在个非空理想集，，…，，且，使得 ，则称是可分的，记． （i）证明：； （ii）证明：． 【解析】（1）根据理想集定义：为理想集当且仅当 ，其中， ① 集合：计算得， ， 因此是理想集， ②集合：计算得：， ， 因此是理想集. ③ 集合：因为，故且， ， 因此不是理想集. 所以集合①②是理想集，③不是理想集． （2）（i）构造集合，，， ，无公共元素，是理想集； ，无公共元素，是理想集； 中最小两元素和为，故，是理想集， 且， ， 所以是可分的，故． （ii）若存在个非空理想集，，…，，且，使得，则对于，取， 其中表示将集合中每个数都加上后所得的新集合． 取，此时存在个非空理想集，，…，， 且，使得． 设，则有 ， 则，又， 于是当时，， 故，当时，依然成立，所以， 于是， 当时，成立； 当时，． 综上所述，． 题型二：集合创新运算 例4．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【解析】由题意得：，所以. 例5．（多选题）（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A． B． C．中所有元素的平均数为191 D．中所有元素的和为3008 【答案】ACD 【解析】选项A，已知，最大元素， 根据定义， 则，A正确； 选项B，由的构造，的最大元素是，则的最大元素是， 因此，即是首项为，公比为2的等比数列：. 当时， ，B错误； 设为所有元素之和，则 ，因为， 所以 .一般地，，其中是的元素个数. 由构造可知，(即每次新增元素与原集合无重复)，因为 ，故. 结合，递推得：， 等式两边同除以得.令 ，则， 累加法求， 则. 选项C，当时，均值为 ，C正确； 选项D，当时， ，D正确. 例6．（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【解析】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 变式2．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 【解析】（1）；；. （2）由,得. ， 若，则. ①当时,；同理，当时, .即与同时成立. ②当与都不成立时，必有或两者之一成立.      不妨设 则. 所以且. 所以且. 所以.                所以所求数列的通项公式为 . （3）设集合，，其中，， 则. 所以.① .② 式①与式②中均有个不同的数，这些数都是集合中的元素. 因为，所以中有且仅有个不同元素. 所以式①与式②中的数对应相等，即. 所以. 所以数列是公差为，项数为的等差数列.                  同理，数列是公差为，项数为的等差数列. 所以数列与是两个公差相等（公差），项数为的等差数列. 设，，其中. 则， 则，且. 因为，所以. ①当时，设，， . 所以，，且或. 所以，解得. 当时，，，. 经检验符合题意.                                                   ②当时，因为， 所以，. 所以. 综上，的最大值为 题型三：集合拓展性质 例7．（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 【答案】 【解析】解方程，解得，结合， 因此：，集合共9个元素. （1）2个元素的“集合”：设为， 当时，可取5，6，7，8，9，共5个； 当时，可取6，7，8，9，共4个； 当时，可取7，8，9，共3个； 当时，可取8，9，共2个； 当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的. 则2个元素的“集合”总数：. （2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4. 最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9. （3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围， 因此不存在4个及以上元素的“TB集合”. 综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：. 例8．（2026·北京西城·二模）给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. (1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） (2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； (3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 【解析】（1）由题意，或且， 即， 则满足性质T的三元子集不唯一，如. （2）由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． （3）记，其中为偶数．不妨假设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 例9．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知集合.对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义.（约定）． (1)若，，求和； (2)若满足且，求的所有可能结果； (3)是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由． 【解析】（1），， 由题意，，，，，，，； （2）由且，， 同理，或1时，， 或1时，， 或1时，， 所以（1）等价于，则，， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 综上，的所有可能结果、、、. （3）存在正整数使且，理由如下： 由得， 所以， 若，， 则， 若， 则，，， 所以，对都有， 当时，恒成立， 综上，使得成立的所有取值为． 变式3．（25-26高三下·北京·开学考试）设为正整数，集合，对于集合中的任意两个元素和，定义．若集合中的元素组成的序列满足，则称为序列． (1)若，求，并写出一个使得； (2)当时，是否存在一个序列，满足，，？若存在，请写出；若不存在，请证明； (3)给定，若，，为序列，且序列中元素两两不同，求的最大值． 【解析】（1）根据，， ，则， 满足的只需与有2个位置不同，例如（答案不唯一，如、均正确）. （2）不存在，证明如下： 记任意元素中1的个数为，由G序列定义， 说明仅改变一个位置的或， 因此，即奇偶性相方， 中1的个数，为奇数，应为偶数，但，是奇数，矛盾. 因此不存在满足条件的G序列. （3）集合中共有个不同元素，元素两两不同时， 下面用数学归纳法证明：存在，，为序列，且序列中元素两两不同. 证明：当时，取，，它们为序列， 当时，取，序列， 设当时，存在为序列，且序列中元素两两不同， 设， 令，，， 因为为为序列，故也为序列， 故时，存在为序列，且序列中元素两两不同， 由数学归纳法可得存在，，为序列，且序列中元素两两不同. 综上，. 题型四：多知识点整合问题 例10．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系中，已知集合，给出下列四个结论： ①当时，则是一条直线； ②当时，点到原点的距离存在最小值，不存在最大值； ③当时，则所有满足的点所构成的区域面积为； ④当时，已知集合，则集合； 其中所有正确的结论是_______． 【答案】①②③ 【解析】，故点坐标满足； 对①：若，则， 即点坐标满足， 此时点的轨迹是直线，故①正确； 对②：由点坐标满足， 点到直线的距离， 则点到原点的距离的范围为，有最小值，无最大值，故②正确； 对③：由点到直线的距离，且， 故集合表示平面内以为圆心，为半径的圆外的所有区域（包括圆）， 若，则点所表示的区域为该圆内部，即其面积为，故③正确； 对④：由③可得，则，故④错误. 例11．（2026·上海徐汇·二模）设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则. 则正确的选项是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【解析】根据定义点的相伴集合即为以为中心的边长为的正方形， 若，则其相伴集合对应平面图形的面积为，①是假命题； 集合对应一系列正方形，它们与抛物线即均无公共点， 则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足，对每一个正方形内的点， 有，则需满足，有， 设，在上的最小值记为， 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以； 当时，，此时应有，以为变量， 的最大值为，所以； 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以， 综上所述，要使对任意实数及任意均满足无交点条件，则，②是真命题. 例12．（25-26高三下·北京·阶段检测）对于函数，定义集合，函数在上单调递增是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】①先判断充分性 因为函数在上单调递增， 所以当时，对于任意的，，这满足集合的定义， ，充分性成立. ②再判断必要性 取函数， 在上单调递增，； 而时，，， 若，则 当时，， 当时，， 所以对，，满足集合的定义，故， 但在上，是正弦型函数，不是单调函数，故由不能推出在上单调递增，必要性不成立. 综上函数在上单调递增是“”的充分不必要条件. 变式4．（2026·上海黄浦·二模）在空间直角坐标系中，将点集所表示的立方体的表面满足的部分记为S，同时满足“”与“或”的点P的集合所表示几何体的体积为______． 【答案】 【解析】点集表示的是以原点为中心的边长为2的正方体， 为满足的部分即除去了后剩余的部分，也就是除了上底面以外的五个面， 条件“”表示点在以原点为球心的半径为的球体内，因为， 所以这个球刚好也是正方体的外接球，即为线段， 条件“或”表示线段与要么没有交点，要么交点就是， 考虑从点出发的线段，射向上底面的线可以到达球面，这一部分构成个球体， 射向包含的五个面可以到达正方体的表面，这一部分构成五个四棱锥，每个四棱锥都是正方体的， 所以所求几何体的体积为. 变式5．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知无穷等比数列的公比为，设集合，其中为正整数．若，且对于任意，集合是闭区间，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】不妨设，由，得， 记，，，，集合， 要使（其中）的取值范围为闭区间，需不存在空隙，即所有介于最小值和最大值之间的数都能取到， 在正数范围内，到可被的差覆盖， 下一个最小的正差为，因此若， 则区间内的数无法取到，存在空隙， 故要求对任意（），都有， 代入等比数列通项，化简得： 约去正数后整理得： 当时，，不等式左边，恒成立； 当时，，由于，当时， ，不等式左边趋向，必存在使得不等式不成立，存在空隙， 因此的取值范围是. 1．（24-25高三上·陕西·期中）已知集合，记，则（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为2046 C．当为偶数时，中有个元素 D．当为奇数时，中的元素之和为 【答案】BCD 【解析】对于A：的元素在区间内的正整数，所以元素个数为，故A错误； 对于B：当时，，所以表示在区间为3的倍数， 最大元素为小于的最大的3的倍数，所以最大元素为，故B正确； 对于C：当为偶数时，令，则， 所以中的倍数的个数为，故C正确； 对于D：当为奇数时，令，中元素的首项为，末项为的等差数列，项数为， 所以中的元素之和为，故D正确. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，设整除或整除，令表示集合所含元素的个数，则________． 【答案】 【解析】因为表示集合所含元素的个数，其中， （i）整除的有，，，，共个． （ii）整除的有：①整除的有个；②整除的有个；③整除的有个． 其中重复的有，，共个． 所以． 3．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）对于n元由0，1组成的有序数组，定义距离1为两个数组对应位置数字不相同的位置个数；对于非空整数集合M，N，定义距离2为满足M中每个数与N中数的差值的绝对值的最小值、N中每个数与M中数的差值的绝对值的最小值均不超过该数值的最小非负整数. 若有两组0，1数组，另一组中间数组与二者的距离1均为2，则两组原数组的距离1的最大值为_________；若整数集合A，B的距离2为3，B，C的距离2为2，则A，C的距离2的所有可能取值为_________． 【答案】 【解析】第一空： 考虑三个组成的数组，设的距离1为，的距离1为， 依定义可知当中有个位置的数字不同，设这个位置构成的集合为， 以外的位置也即数字相同的位置构成的集合为，当中有个位置的数字不同， 设这些位置属于的有个，不属于也即属于的有个，则， 因为数组由构成，所以和数字不同的位置包括的数字不同且的数字相同的位置， 有个，和的数字相同且的数字不同的位置，有个，共有个， 而，所以的距离1不超过的距离1和的距离1之和， 取，则有的距离1和的距离1均为， 的距离1为，故的距离1的最大值为. 第二空： 对于非空整数集合，的距离2记为，记对某个，，类似地， 记对某个，，依定义有①，②， 同理有③，④， 设在中与中数的差值的绝对值的最小值为最大，在中与中数的差值的绝对值的最小值为最大， 则有或，结合①③并取③中的为可得 ，再取为，可得， 结合②④并取②中的为可得，再取为， 可得，即有，因为的任意性， 所以也有，即， 同时也有， 综上所述，， 依题意，则，只能取中的数， 取，则有； 取，则有； 取，则有； 取，则有； 取，则有， 故的距离2的可能值为. 4．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合共有个三元子集.任意一个三元子集，定义.则__________. 【答案】660 【解析】对于集合中的元素，要使在三元子集中， 则可以从1到这个元素中任选1个， 可以从到10这个元素中任选1个， 根据分步乘法计数原理， 作为三元子集的中间数出现的次数为 则. 5．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【解析】若集合是的“理想集”， 则关于b的方程在内有解， 若，即， 可得，解得或， 则或，解得或，所以； 若，即， 令，， 原题意等价于在内有零点， 则，解得或， 因为且，可得或， 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 6．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，且，定义这个集合的“复合乘幂和”：，其中，设表示集合的所有非空子集的“复合乘幂和”的总和，则______． 【答案】 【解析】考虑前面的系数和，由题设前面的系数可为， 故前面的系数和为， 所以前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 故 . 7．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 【答案】 【解析】， 中所有非空子集含有1的有2026类： 单元素集合只有含有1，即1出现了次； 双元素集合含有1的有，即1出现了次； 三元素集合中含有1的有，即1出现了次， …… 有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次； 1共出现， 同理都出现次， 的所有非空子集中，这些和的总和是 . 8．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记． ①已知，，且，则； ②已知，，则存在实数a，使得； ③已知，若，则对任意，都有； ④已知是等比数列的前n项和，，则存在等比数列，使得． 其中所有不正确的命题是______． 【答案】①②③ 【解析】①：因，则；，则，解得：或，①错误 ②：当区间关于对称，即时，，此时，. 当时，会增大，因此的最小值为1，不存在使得，命题②错误 ③，由题意知，，但是满足的点集，它可以是的子集，不一定是整个区间。 例如时，，对于满足题设，此时时不满足 ，③错误 ④，取等比数列，，则， ，，即，④正确 9．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 【答案】8 【解析】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍； 当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3， 其和，故舍； 当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3， 需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给， 无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍； 当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6， 此时和为，故舍； 当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6， 需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给， 取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件， 故的最小值为8. 10．（2026·陕西·模拟预测）已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______. 【答案】 【解析】由题可得集合，是正奇数集，通项为， 集合，是的整数次幂集，通项为， 由于集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为， 则数列前项由的前项和的前项组成； 则 11．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 【解析】（1）当时，，所以 . 由题意，相邻两项对应点的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和为1. 第一项为，第二项为，所以 . 即 .解得. 所以第二项为. 第二项为，第三项为，所以 . 即 .解得. 所以第三项为. 中共有4个不同元素，前三项已经是，，，剩下的一个元素为，所以第四项为. 因此 . （2）以序列中的项为坐标的点记作，连接这9个点共形成8条单位线段． 每条单位线段水平或者竖直． 因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直． 不妨设至少有4条水平单位线段． 由于9个点排成3行，而每一行至多含2条水平单位线段，故至少有一行含2条水平单位线段． 这样该行3个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行，因此该点对应的项具有性质． 故中存在具有性质的项． （3）将序列中相邻两项连接，得到120条单位线段.把连续同为水平方向的若干条单位线段合并为一个水平线段，把连续同为竖直方向的若干条单位线段合并为一个竖直线段. 在序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现． 设水平线段数为，竖直线段数为，因为单位线段总数为120， 所以序列中具有性质的项的个数为． 要证． 只需证明． 因为每一行有11个点，每个水平段至少包含两个点，因此第行的水平线段数满足，即． 所以． 同理． 所以， 故序列中具有性质的项的个数不少于10． 12．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知正实数数列：，对任意的，记，令集合，；记集合． (1)若：1，，，直接写出和； (2)若，且满足，求集合的元素个数的最小可能值； (3)若，证明：集合中至少含有46个元素． 【解析】（1）由题可知，，，，， 所以， ，，， 所以， ，，所以， 所以． （2）当，， ，，，， 要使的元素个数最少，则需要相等的元素最多； ①假设只有1个元素，即， 由得， 由得， 代入，得，与已知条件矛盾， 因此，的元素个数不可能为1； ②假设只有2个元素， 1）考虑且， ， ， 我们需要在的条件下满足上述两个等式， 由，因为，所以，即， 同时， 将代入第二个等式： ， 我们需要， 由，得， 为了满足，即， 与矛盾，因此，且无法同时成立， 2）考虑且， ， ， 代入：， 已知， 由，因为且， 所以，与矛盾， 3）考虑且， ，， 由得，代入上式：， 我们需要，， 由得， 由得， 所以， 又，由得， 由得， 取，则， 取，则， ， 此时，满足， 计算的元素：， ，元素个数为2． （3）假设中至多含有45个元素，则， 由鸽巢原理，必有一个数在中至少出现46次，设， 考虑，， 这45个值互不相同且均小于，， 因此，这45个值与共同构成了中至少46个不同的元素， 与的假设矛盾， 所以M中至少有46个元素． 13．（2026·北京房山·二模）由个实数组成的有序数组称为维向量．维向量，，当且仅当时，．对任意，定义：；．设集合为偶数．令集合存在，使得，． (1)写出集合的所有元素； (2)判断与是否属于集合，并说明理由； (3)若，求证：“”的充要条件为“为偶数，且”． 【解析】（1）因为， 所以， 因此集合A的元素由唯一确定. 因为，且为偶数， 所以和只能为0或2或4； 当 ：； 当： 当： 综上所述， （2）结论为，理由如下： 由(1)可得，取，为便于计算，将后续数据纵向排列， 即 因为 ， 所以 又因为， ， 所以. 若，则至少存在一组整数使等式恒成立，即， 解得方程组通解为，取得，即; 若，则至少存在一组整数使等式恒成立， 即，解得方程组通解为， 因为，所以不存在一组整数解使得方程组恒成立，所以. （3）充分性： 设，因为， 所以当方程组恒成立时，解得， 因为为偶数，且， 所以方程组解中的所有分式的分子都是偶数(两数之和为偶数，则两数之差也为偶数)， 因此所有必为整数，即方程组至少存在一组整数解，所以，充分性成立； 必要性： 因为，所以至少存在一组整数解使得方程组恒成立， 令，则，即，且为偶数，必要性成立. 14．（25-26高二下·北京·期中）已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. (1)若，写出的值； (2)当时，若恒成立，求证：； (3)对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 【解析】（1）比较的第列，相同行有第行，故； 比较的第列，相同行有第行，故. （2）考虑的任意一行， 由于每个元素只能是或，则这三个元素中至少有两个是相等的， 即在的三个组合中，至少有一个组合满足， 按行统计即可得中所有相等元素的对数和至少为， 等价于所有组合的之和满足 结合条件，得，即. （3）由定义可知，则，而当的所有列完全相同时， 对任意都有，此时，因此的最大值为. 设第行有个，则有个，该行中相等元素的对数为 ， 该式对同样成立， 以为自变量，当取最接近对称轴的整数时，取得最小值， 当为偶数时，时有， 当为奇数时，时有， 采用与（2）相似的分析可知所有组合的之和为， 又的最大值为，所以， 可得，代入即可得. 15．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【解析】（1）， 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0， 故其“同形点”为. （2）的＂同形点＂的个数为．证明如下： 设，由题：取集合． 若为的＂同形点＂，应有，且． ①当时，若且，取为， 则与的交集元素个数为0， 此时为的＂同形点＂，共有个； ②当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ③当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个． 综上可得的＂同形点＂的个数为． （3）的最小值为21． 证明如下： 首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11， 对于，设的元素个数为， 若存在，因为，所以存在，有， 不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂； 若恒成立，因为，所以存在， 有，因为， 所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂． 其次当时，不妨设； ①若，则，取可得其无＂同形点＂； ②若，则， 取， 可得其无＂同形点＂； 综上的最小值为21． 16．（25-26高三下·上海浦东新·期中）对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，且，求函数的解析式； (3)若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 【解析】（1）任取，， 又，所以函数属于集合 易知在上严格单调递减 故最大值，最小值 因此 （2）取，则 又，所以； 取，则 又，所以 综上，所以 （3）必要性：若单调递增，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以； 若单调递减，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以 必要性得证. 充分性：若不单调，则在存在极值点，导致，与题意矛盾，故是单调函数 充分性得证 17．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得． (1)若，，且，求； (2)证明：对于任意，都有； (3)若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 【解析】（1）当 时，取 ，则 故命题成立. 当 或 时，命题也显然成立. 由题意，对 ，应有 故 分别解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 （2）当 时，命题显然成立. 当 时，设 为 中的最大元素， 为 中的最小元素. 若 既不是最大元素，也不是最小元素，则 于是对任意 ，都有 另一方面，取 ，则 由题设，应存在 ，使得 即 这与 矛盾. 故 必为 中的最大元素或最小元素. 若 为最大元素，则对任意 ，都有 从而 若 为最小元素，同理可得 命题得证. （3）若 ，则 ，又已知 ，故 是 中的最小元素. 下证 成等差数列. 由且 ，由题设知存在 ，使得 又因为 是最小元素，所以 . 由 可知 ，故只能有 ，从而 所以 成等差数列. 设对 ，都有其中 . 则 即 由题设，存在 ，使得 由 可知 ，于是 . 又由归纳假设， 结合 ，可知只能有 所以 由数学归纳法可知，对任意 ，都有 故当 时， 中元素之和为 当 时， 为 中的最大元素. 用同样的方法可证 成等差数列. 又因为该等差数列的首项为 ，末项为 ，项数为 ，故当 时， 中元素之和为 综上，当 时， 中元素之和为 ；当 时， 中元素之和为 . 18．（25-26高三下·河北·开学考试）已知，，，其中，． (1)设，证明：． (2)求中所有元素之和． 【解析】（1）因为，，，， 所以或，， 记中的最大元素为，则时， ， 所以， 所以 ， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （2）由（1）得中的最大元素， 当时，的取值情况有种， 所以在所有元素之和中出现次， 所以中的所有元素之和为. 19．（2026·北京石景山·一模）已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合：其中是有序数对．集合和中的元素个数分别为和． (1)检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； (2)对任何具有性质的集合，证明：； (3)判断和的大小关系，并证明你的结论． 【解析】（1）因为，所以不具有性质； 因为，，，所以具有性质； ，. （2）因为对于任意的，总有，所以，从而， 因为，，， 所以当时，和至多有一个成立， 所以集合中的元素个数最多为，即. （3），证明如下： ①设，则， 设，则，故， 从而，即对，总存在，使得，从而； ②设，则， 设，则，故， 从而，即对，总存在，使得，从而； 由①②可知. 20．（2026·河北石家庄·一模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)记函数的极小值点为，若满足，设集合，，其中表示不大于的最大整数. （i）求和的表达式，并判断1，2，3，4，5，6与集合的关系（参考数据：）； （ii）定义：若集合满足：，且，则称集合是正整数集的一个“互补覆盖”，求证：集合是正整数集的一个“互补覆盖”. 【解析】（1）当时，，定义域为， ， 当时，，故函数单调递减； 当时，，故函数单调递增. 所以函数的减区间为；增区间为； （2）（i）当时，， 令，解得， 函数）在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故 ，故，故； ，故，故； ，故，故. 故； （ii）先证明：.假设存在正整数满足， 记，其中，且. 若，则， 即，显然等式右侧为整数，左侧为无理数，故. 故， 故，与假设矛盾，故假设不成立，因此； 再证明：. 解法一：由（1）知时成立，设任意一个大于6的正整数为， 一定存在正整数满足， 即证明的整数中有个在集合中， 有个在集合中，，只需证明即可. 易知，且， 又因为， 即，故，又，于是原结论成立， 综上知，集合是正整数集的一个“互补覆盖”. 解法二：由（1）知时成立，假设存在一个大于6的正整数为，不存在正整数， 满足， 或时，无理数等于有理数，显然不成立， 所以，且 所以且 化简得，显然不成立,故假设不成立，所以原命题得证， 又，综上知，集合是正整数集的一个“互补覆盖”. 21．（2026·北京密云·一模）已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 【解析】（1），说明与只有个位置元素不同，全为，因此恰有1个位置为0，其余为， 则所有满足条件的为： ； （2）已知，， ，， 即和中恰好各有个分量为（其余为） 设的的位置集合为，的0的位置集合为,则， 则，而的最小值为， 因此的最大值为 （3）证明： 对任意位置，讨论三个差的和的奇偶性： 若全相同：三个差都为，和为偶数； 若两个相同一个不同：不妨设，则三个差为，和为，仍是偶数； 所有位置求和得：是偶数； 若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证. 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $