1.1 集合（4大知识点+9大题型）（讲义）-2027届高考数学一轮总复习（新高考）

该高中数学讲义聚焦集合核心考点，涵盖含义与表示、集合间关系、基本运算及常用二级结论，按“基础知识点-经典题型-真题应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、解题妙招指导、真题训练等环节，帮助学生突破元素互异性、集合运算等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以数学思维培养为核心，创新设计9类题型分层突破，如高频考点“元素三大性质”强调互异性验证，压轴题型“新定义问题”训练数学语言表达。融入2023-2025年高考真题，配合课后拓展精练，确保学生在有限时间内掌握解题规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

1.1 集合 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、 集合的含义与表示 3 知识点二、集合间的基本关系 3 知识点三、集合的基本运算 3 知识点四、常用二级结论 4 解析错误: 下标越界 5 04 经典题型归纳总结 9 题型一：集合的概念与表示方法 9 题型二：元素与集合的从属关系 10 题型三：集合中元素的三大性质（高频考点） 11 题型四：集合间的包含与相等关系 13 题型五：集合的交、并、补运算（基础核心） 14 题型六：集合与排列组合综合问题（创新题） 16 题型七：利用韦恩图分析集合关系与运算 18 题型八：集合容斥原理应用问题 21 题型九：集合新定义与创新题型（压轴小题） 23 05 课后拓展精练 26 知识点一、 集合的含义与表示 1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 2、元素与集合的关系：，； 3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. 4、常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 知识点二、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 知识点三、集合的基本运算 1、①并集：； ②交集：； ③补集：． ④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 2、运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 知识点四、常用二级结论 （1）若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为，所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是． （2）包含关系的各种等价表示：①；②；③；④；⑤． （3）容斥原理 ． （4）牢记两个注意点 ①在应用条件时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论. ②在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制. 1．（2025年高考北京卷数学真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 故选：D. 2．（2025年高考全国二卷数学真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故， 故选：D. 3．（2025年高考全国一卷数学真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【解析】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 5．（2025年高考天津卷数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 集合， 故 故选：D. 6．（2024年北京高考数学真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得. 故选：C. 7．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则， 故选：D 9．（2024年天津高考数学真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，， 所以， 故选：B 10．（2023年北京高考数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 11．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则. 故选：A. 12．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为整数集，，所以，． 故选：A． 13．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 14．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 15．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 题型一：集合的概念与表示方法 【解题妙招】 (1)确定集合中的代表元素. (2)确定元素的限制条件. (3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾. 例1．下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】A 【解析】对于A选项，自然数集可表示为，A对； 对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错； 对于C选项，满足的构成的集合是，C错； 对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错. 故选：A. 例2．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】C 【解析】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是. 例3．（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】集合，共有4个元素，故选B. 变式1．（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而， 所以. 题型二：元素与集合的从属关系 【解题妙招】 明确元素与集合的“属于”或“不属于”关系。判断时，看元素是否满足集合定义条件。若满足，则元素属于该集合；若不满足，则不属于。此关系用于界定元素与集合的归属，是集合论的基础。 例4．（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 例5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，代入得，解得. 例6．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 变式2．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【解析】由题意得：，所以. 题型三：集合中元素的三大性质（高频考点） 【解题妙招】 利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例7．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 例8．（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由可知，解得. 此时，符合要求. 所以. 例9．（2026·江苏·一模）设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】根据集合元素的互异性可知，，. 因为含有4个元素，所以仅含有1个元素， 若，则或，所以或. 若，则. 结合集合元素的互异性可知或. 当时，，，，符合题意. 当时，，，，不符合题意. 综上，. 变式3．（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】因为，则或或， 解得或. 故选：B. 变式4．（2026·陕西榆林·一模）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【解析】因为集合，， 所以，解得. 故选：C 题型四：集合间的包含与相等关系 【解题妙招】 （1）在判定两个集合之间的关系时，我们通常会采用两种主要方法。第一种是逻辑分析法，此方法要求我们先对集合的表达式进行化简处理，再通过分析化简后的表达式来明确两个集合之间的逻辑关系。第二种方法则是列举法，具体操作是分别将两个集合中的所有元素列举出来，然后通过对比这些元素来直观地判断两个集合之间的关系。 （2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 例10．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解不等式可得或， 解得或，即，又已知. 对选项A：，故A错误. 对选项B： 取，但，故，故B错误. 对选项C： 对任意，都满足，符合中元素的取值要求，即，故，故C正确. 对选项D：，取，且，故，故D错误. 例11．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 例12．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知集合，，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，解得，所以. 由于，， 所以，解得， 所以的取值范围是. 变式5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 题型五：集合的交、并、补运算（基础核心） 【解题妙招】 在处理集合的交、并、补运算时，可视元素特性选择合适表示方法。若元素为离散型，可借助Venn图直观展示集合关系；若元素连续分布，则宜用数轴表示，同时需特别留意数轴端点的包含或排除情况。 例13．（2026·天津河西·三模）已知集合，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合，，可得， 又由集合，所以. 例14．（2026·天津·模拟预测）已知全集，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 所以，. 例15．（2026·福建·三模）设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 解得，或， 则， 所以， 又， 所以． 变式6．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解得或，即. ∴ . 又∵ ，在集合的元素中满足的有， ∴ . 变式7．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以或， 所以. 题型六：集合与排列组合综合问题（创新题） 【解题妙招】 在运用排列与组合理论处理集合相关问题，或求解集合中元素数量时，关键在于灵活运用分析与转化的策略。通过深入剖析问题本质，将其转化为排列组合模型，从而高效地找到解决方案。 例16．（2026·陕西渭南·二模）集合，集合，，则满足的集合对有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于中的任意一个元素，要满足， 分析在集合中的归属情况：且；且；且 这三种情况都能保证，而只有且这一种情况不满足条件. 因此，每个元素有种有效的归属方式. 因为中共有个元素，且每个元素的选择相互独立， 所以满足条件的集合对的个数为：. 例17．（2026·广东·模拟预测）已知是的某种排列，集合，，且，则这样的有序数对的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，的总对数为， 时，，，除均满足，共对； 时，，，则时： 若，可取共3种； 若，可取共计2种；若，则可取共计1种； 不满足的情况为种， 共种情况； 时，，，则： 若，可取1种；若，可取2种；若，可取3种； 若，可取4种；若，可取5种； 不满足的情况为种， 共种情况； 时，，， 若，可取4种；若，可取3种；若，可取2种；若，可取1种； 共种情况； 时，，： 若，可取2种；若，可取1种； 共种情况； 时，，，不存在； 总情况数为种． 故选：C． 例18．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（    ） A．15 B．35 C．40 D．45 【答案】D 【解析】设中，有个，个，则有个， 则需，解得， 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 故共有种情况， 即集合中满足条件“”的元素个数为. 故选：D. 变式8．（2026·高三·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 【答案】C 【解析】，且 能被3整除，    ∴除以3的余数相同， 集合的元素中， 能被3整除的整数有， 被3除余1的整数有， 被3除余2的整数有， 当都被3整除时，则从被3整除的5个数中选取3个， 或可从被3整除的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余1时，则从被3除余1的6个数中选取3个， 或可从被3除余1的6个数中选取2个，从其余10个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余2时，则从被3除余2的5个数中选取3个，或可从被3除余2的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， ∴满足条件的集合共有个． 故选：C. 题型七：利用韦恩图分析集合关系与运算 【解题妙招】 Venn 图是一种借助平面几何图形来直观表示集合的工具，通常以封闭曲线（多为矩形等）的内部区域来代表集合。这种图形化表达方式生动形象，能将抽象的集合问题具象化。借助 Venn 图的直观特性，可深入领会集合概念与运算公式，清晰呈现集合间的关联。 例19．（多选题）（2026·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 例20．（多选题）图中阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 如图， A选项：①+②，则②，故A正确； B选项：①+④，则④， 故B错误； C选项：③，①+②+④，则②，故C正确； D选项：①，故D错误. 故选：AC. 例21．（多选题）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 【答案】BC 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 变式9．（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 变式10．（多选题）非空集合，，均为的真子集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A选项，因为，所以，A正确； B选项，因为，所以， 而，故B错误； C选项，因为，所以，C正确； D选项，，如图所示， 所以表示的集合为①，不是空集，D错误. 故选：AC 题型八：集合容斥原理应用问题 【解题妙招】 容斥原理 ． 例22．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 例23．（2026·高三·浙江·开学考试）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 【答案】B 【解析】参加竞赛的总人数：45−15=30（位）， 根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15−30=3（位）. 例24．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【解析】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 题型九：集合新定义与创新题型（压轴小题） 【解题妙招】 数学思维创新代表着思维品质的顶尖水准，而在新高考命题趋势中，以集合知识为载体的创新题型备受瞩目。这类题目往往围绕“问题”展开，鼓励学生通过“探究”过程，最终达成“发现”新知的成果，全面考察学生应对创新问题的理解力与解决能力。 例25．（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【答案】50 【解析】解法一：若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 解法二：当集合中有1个元素时，有，共4种情况， 集合是由集合中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集， 可得这样的“互斥子集组”有个， 当集合中有2个元素时，有， 共6种情况，而集合是由集合中去2个元素后， 剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有个， 当集合中有3个元素时，有，共4种情况， 而集合是由集合中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集， 则此时“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 例26．（2026·山东烟台·二模）设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 【答案】 6 8 【解析】（1）设与互为邻点的点为，则且， 若，则，解得，（舍去）或，点为； 若，则，解得或，或，点为； 若，则，解得（舍去）或，，点为， 综上，满足条件的点共有个； （2）根据，以及点集坐标范围可得，记， 则该邻点列各点的依次递减或不变，接下来分析邻点坐标应满足的约束条件， 因为一个整数和它的绝对值的奇偶性相同，所以和 一样也是偶数，即为偶数，所以和的奇偶性相同， 即邻点列中的点保持横纵坐标之和的奇偶性不变，已知，其横纵坐标之和为奇数， 点集中满足为奇数的点共有个，依次为， 对应的值依次为（依次递减），满足要求的邻点列只能从这个点中选择 且按值递减的顺序排列，假设个点均可以存在，即有邻点列 ，可验证相邻点确实均为邻点，所以的最大值为. 例27．（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 【答案】 【解析】根据题意，， 设集合，对于任意，，， 现计算此时的最大值， 要使最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小， 所以，则应该是满足的最小整数，故， ， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即， 又且， 的最大值为，例如， 则k的最小值是． 变式11．（2026·高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13 【解析】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 1．（2026·北京顺义·三模）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，则. 2．（2026·北京海淀·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】首先求解集合中的不等式： 由分式分母不为0，得； 故，等价于且，即且； 得或，结合的限制，可得或, 根据补集的定义，是实数集中不属于的所有元素构成的集合，因此. 3．（2026·福建福州·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知，集合为函数的值域，所以， 而，所以集合函数的定义域，所以，即， 因此，，则， 故C选项正确. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，故A错误； 因，故B错误； 又，故C正确； 因，故D错误． 5．（2026·江西南昌·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】时，，时，，时，，时，， 当，时，，因此， ，则，解得，所以， 因此，故选择C选项. 6．（2026·甘肃张掖·二模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题，，则 7．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解析】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 9．（多选题）（2026·山西临汾·二模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】易知，即. ，即. A.，成立. B.因为，所以，不成立. C.或， ，成立. D.或， 或，成立. 10．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【解析】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 11．（多选题）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC 12．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，则集合_________． 【答案】 【解析】已知集合，， ． 13．已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】由可得， 又， ， 当时，，由可得或，所以； 当时，，满足； 当时，，由可得或，所以； 综上，实数的取值范围是． 14．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【解析】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 15．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【解析】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 16．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【答案】 【解析】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 17．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有______人． 【答案】120 【解析】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有120人． 故答案为:120. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、 集合的含义与表示 3 知识点二、集合间的基本关系 3 知识点三、集合的基本运算 3 知识点四、常用二级结论 4 解析错误: 下标越界 5 04 经典题型归纳总结 7 题型一：集合的概念与表示方法 7 题型二：元素与集合的从属关系 7 题型三：集合中元素的三大性质（高频考点） 8 题型四：集合间的包含与相等关系 9 题型五：集合的交、并、补运算（基础核心） 9 题型六：集合与排列组合综合问题（创新题） 10 题型七：利用韦恩图分析集合关系与运算 11 题型八：集合容斥原理应用问题 12 题型九：集合新定义与创新题型（压轴小题） 12 05 课后拓展精练 14 知识点一、 集合的含义与表示 1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性． 2、元素与集合的关系：，； 3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. 4、常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 知识点二、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 知识点三、集合的基本运算 1、①并集：； ②交集：； ③补集：． ④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 2、运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 知识点四、常用二级结论 （1）若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为，所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是． （2）包含关系的各种等价表示：①；②；③；④；⑤． （3）容斥原理 ． （4）牢记两个注意点 ①在应用条件时要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论. ②在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制. 1．（2025年高考北京卷数学真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025年高考全国二卷数学真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 3．（2025年高考全国一卷数学真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025年高考天津卷数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024年北京高考数学真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024年天津高考数学真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2023年北京高考数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 13．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 15．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型一：集合的概念与表示方法 【解题妙招】 (1)确定集合中的代表元素. (2)确定元素的限制条件. (3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾. 例1．下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 例2．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 例3．（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 题型二：元素与集合的从属关系 【解题妙招】 明确元素与集合的“属于”或“不属于”关系。判断时，看元素是否满足集合定义条件。若满足，则元素属于该集合；若不满足，则不属于。此关系用于界定元素与集合的归属，是集合论的基础。 例4．（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例6．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 题型三：集合中元素的三大性质（高频考点） 【解题妙招】 利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例7．（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例8．（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例9．（2026·江苏·一模）设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 变式3．（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 变式4．（2026·陕西榆林·一模）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 题型四：集合间的包含与相等关系 【解题妙招】 （1）在判定两个集合之间的关系时，我们通常会采用两种主要方法。第一种是逻辑分析法，此方法要求我们先对集合的表达式进行化简处理，再通过分析化简后的表达式来明确两个集合之间的逻辑关系。第二种方法则是列举法，具体操作是分别将两个集合中的所有元素列举出来，然后通过对比这些元素来直观地判断两个集合之间的关系。 （2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 例10．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 例11．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 例12．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知集合，，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 题型五：集合的交、并、补运算（基础核心） 【解题妙招】 在处理集合的交、并、补运算时，可视元素特性选择合适表示方法。若元素为离散型，可借助Venn图直观展示集合关系；若元素连续分布，则宜用数轴表示，同时需特别留意数轴端点的包含或排除情况。 例13．（2026·天津河西·三模）已知集合，，，则（     ） A． B． C． D． 例14．（2026·天津·模拟预测）已知全集，，则（ ） A． B． C． D． 例15．（2026·福建·三模）设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 变式6．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 变式7．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 题型六：集合与排列组合综合问题（创新题） 【解题妙招】 在运用排列与组合理论处理集合相关问题，或求解集合中元素数量时，关键在于灵活运用分析与转化的策略。通过深入剖析问题本质，将其转化为排列组合模型，从而高效地找到解决方案。 例16．（2026·陕西渭南·二模）集合，集合，，则满足的集合对有（    ）个． A． B． C． D． 例17．（2026·广东·模拟预测）已知是的某种排列，集合，，且，则这样的有序数对的个数为（    ） A． B． C． D． 例18．设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（    ） A．15 B．35 C．40 D．45 变式8．（2026·高三·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 题型七：利用韦恩图分析集合关系与运算 【解题妙招】 Venn 图是一种借助平面几何图形来直观表示集合的工具，通常以封闭曲线（多为矩形等）的内部区域来代表集合。这种图形化表达方式生动形象，能将抽象的集合问题具象化。借助 Venn 图的直观特性，可深入领会集合概念与运算公式，清晰呈现集合间的关联。 例19．（多选题）（2026·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 例20．（多选题）图中阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 例21．（多选题）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 变式9．（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 变式10．（多选题）非空集合，，均为的真子集，且，则（    ） A． B． C． D． 题型八：集合容斥原理应用问题 【解题妙招】 容斥原理 ． 例22．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 例23．（2026·高三·浙江·开学考试）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 例24．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 题型九：集合新定义与创新题型（压轴小题） 【解题妙招】 数学思维创新代表着思维品质的顶尖水准，而在新高考命题趋势中，以集合知识为载体的创新题型备受瞩目。这类题目往往围绕“问题”展开，鼓励学生通过“探究”过程，最终达成“发现”新知的成果，全面考察学生应对创新问题的理解力与解决能力。 例25．（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 例26．（2026·山东烟台·二模）设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 例27．（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 变式11．（2026·高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 1．（2026·北京顺义·三模）集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京海淀·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D．或 3．（2026·福建福州·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江西南昌·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃张掖·二模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 7．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 9．（多选题）（2026·山西临汾·二模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 11．（多选题）（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，则集合_________． 13．已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 14．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 15．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 16．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 17．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有______人． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $